专题06+函数的奇偶性与周期性（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 11页

‎1．函数f(x)＝lg|sinx|是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 ‎【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．‎ ‎【答案】C ‎ ‎2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　)‎ A．－x(1－x)　　　　　　　　B．x(1－x)‎ C．－x(1＋x) D．x(1＋x)‎ ‎【解析】当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x) (1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．‎ ‎【答案】B ‎3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)(　　)‎ A．既是周期函数，又是奇函数 B．既是周期函数，又是偶函数 C．不是周期函数，但是奇函数 D．不是周期函数，但是偶函数 ‎【答案】B ‎4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是(　　)‎ A．1 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎【解析】由f(2)＝0，得f(5)＝0.‎ ‎∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.‎ ‎∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.‎ f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.‎ 故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．‎ ‎【答案】B ‎5．已知函数f(x)＝x2＋(b－)x＋‎2a－b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是(　　)‎ A．－4 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】由f(x)为偶函数，可知f(－x)＝f(x)，∴b＝，∴f(x)＝x2＋‎2a－，令g(a)＝‎2a－，问题转化为求g(a)的最大值．在坐标系中画函数y＝‎2a，y＝－的图象如图．‎ 易知当a＝2时，g(a)取最大值，g(a)max＝g(2)＝4，选D. ‎ ‎【答案】D ‎6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－2 D．±2‎ ‎【答案】A ‎7．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(‎2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,3) D. ‎【答案】A ‎8．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C. D. ‎【解析】设x>0，则－x<0.‎ ‎∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.在[1,3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2，∴m≥且n≤－2，故m－n≥.‎ ‎【答案】A ‎9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)> f(a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ B．(－1,2)‎ C．(－2,1)‎ D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．‎ 结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，‎ 得 2－a2>a，即－20的x的取值范围是________。‎ ‎【解析】由f(x)是奇函数知，f(x)的图象如图所示，‎ ‎∴f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)。‎ ‎【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎21．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.‎ ‎【解析】依题意，得f＝－f＝－f＝－f＝－2××＝－.‎ ‎【答案】－ ‎22．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f的大小关系是________．‎ ‎【答案】f0，f(2)＝(a＋1)(‎2a－3)，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】∵f(x)是周期为3的奇函数，‎ ‎∴f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)<0.‎ ‎∴(a＋1)(‎2a－3)<0，‎ 解得－10且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；‎ ‎(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－‎4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．‎ 解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.‎ ‎(1)∵f (1)>0，∴a－>0，‎ 又a>0且a≠1，∴a>1.‎ ‎∵k＝1，∴f(x)＝ax－a－x，‎ 当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，‎ ‎∴f(x)在R上为增函数，‎ 原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，‎ ‎∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，‎ ‎∴x>1或x<－4，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．‎ ‎27.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f ＝－f 成立.‎ ‎(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；‎ ‎(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值.‎ ‎(1)证明　由f ＝－f ，‎ 且f(－x)＝－f(x)，‎ 得f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，‎ 因此函数y＝f(x)是以3为周期的函数.‎ ‎(2)解　由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)＝0，‎ ‎∴f(3)＝f(0)＝0.‎ 又f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，‎ 故f(2)＋f(3)＝－2＋0＝－2.‎ ‎28.已知函数f(x)＝是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.‎ ‎29.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.‎ 解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，‎ f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x).‎ 故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称. ‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.‎ 当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎