2018届二轮复习 空间几何体的三视图、表面积及体积 课件（全国通用） 87页

第一讲 空间几何体的三视图、 表面积及体积 【 必备知识 】 1. 空间几何体的三视图 (1) 空间几何体 三视图的画法规则 : ① 长对正 , 即正 ( 主 ) 视图和 _______ 的长相等 ; ② 高平齐 , 即正 ( 主 ) 视图和 ___________ 的高相等 ; 俯视图 侧 ( 左 ) 视图 ③ 宽相等 , 即侧 ( 左 ) 视图和 _______ 的宽相等 ; ④ 看不见的轮廓线要用虚线表示 . 俯视图 (2) 空间几何体三视图的摆放规则 : 俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面 ; 侧 ( 左 ) 视图放在正视图的右面 . 2. 空间几何体的表面积 (1) 多面体的表面积为各个面的 _________. (2) 圆柱的表面积公式 :S=___________=_________ ( 其中 ,__ 为底面半径 ,_ 为圆柱的高 ). (3) 圆锥的表面积公式 :S=_________ = ________( 其中 圆锥的底面半径为 __, 母线长为 _). 面积的和 2πr 2 +2πr l 2πr(r+ l ) r l πr 2 +πr l r l πr(r+ l ) (4) 圆台的表面积公式 :S=__________________( 其中 圆台的上、下底面半径分别为 ____ 和 __, 母线长为 _). (5) 球的表面积公式 :S=_____( 其中球的半径为 __). π(r′ 2 +r 2 +r′ l +r l ) r′ r l 4πR 2 R 3. 空间几何体的体积 (1)V 柱体 =___(__ 为底面面积 ,__ 为高 ). (2)V 锥体 =_____(__ 为底面面积 ,__ 为高 ). (3)V 球 =_______( 其中 __ 为球的半径 ). Sh S h S h R 【 真题体验 】 1.(2016· 天津高考 ) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥 , 得到的几何体的正视图与俯视图如图所示 , 则该几何体的侧视图为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由题意得截去的是长方体前右上方顶点 , 该几何体的侧视图为 B. 2.(2016· 全国卷 Ⅲ) 如图 , 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三视图 , 则该多面体的表面积为　 ( 　　 ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 【 解析 】 选 B. 根据三视图可知原几何体是一个斜四棱 柱 , 上下底面为边长为 3 的正方形 , 左右为底边长为 3, 侧棱为 3 的矩形 , 前后为底边为 3, 侧棱为 3 的平 行四边形 , 且底边上的高为 6, 所以 S=9+9+18+18+9 +9 =54+18 . 3.(2015· 全国卷 Ⅰ)《 九章算术 》 是我国古代内容极 为丰富的数学名著 , 书中有如下问题 :“ 今有委米依垣 内角 , 下周八尺 , 高五尺 . 问 : 积及为米几何 ?” 其意思 为 :“ 在屋内墙角处堆放米 ( 如图 , 米堆为一个圆锥的 四分之一 ), 米堆底部的弧长为 8 尺 , 米堆的高为 5 尺 , 问 米堆的体积和堆放的米各为多少 ?” 已知 1 斛米的体 积约为 1.62 立方尺 , 圆周率约为 3, 估算出堆放的米约 有　 ( 　　 ) A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【 解析 】 选 B. 设米堆的底面半径为 r 尺 , 则 ×2×πr =8, 所以 r= , 所以米堆的体积为 故堆放的米约为 ÷1.62≈22( 斛 ). 4.(2015· 全国卷 Ⅱ) 一个正方体被一个平面截去一部分后 , 剩余部分的三视图如图 , 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 由三视图得 , 在正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 截去四面体 A-A 1 B 1 D 1 , 如图所示 , 设正方体棱长为 a, 则 故剩余 几何体体积为 所以截去部分体积与剩 余部分体积的比值为 5.(2015· 全国卷 Ⅱ) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点 , ∠AOB=90°,C 为该球面上的动点 , 若三棱锥 O -ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为　 ( 　　 ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【 解析 】 选 C. 如图所示 , 当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时 , 三棱锥 O -ABC 的体积最大 , 设球 O 的半径为 R, 此时 V O -ABC =V C-AOB = 故 R=6, 则球 O 的表面积为 S=4πR 2 =144π. 【 大数据易错点 】 排序 1: 观察不仔细致误 . 在做由几何体的三视图还原几何体的时候 , 很容易因为观察不仔细导致失误 , 出现判断错误 , 例如在三视图中看不见的画虚线 , 看见的画实线 , 观察时忽略这一点导致错误 . 排序 2: 找错相关数据致误 . 由三视图求几何体的表面 积和体积的时候因为找不准几何体对应的相关数据 , 出现错误 . 排序 3: 表面积、体积公式记忆错误致误 . 在求几何体 的表面积和体积的时候 , 把公式记错导致错误 , 例如 锥体的体积公式漏掉 而使得计算错误 . 热点考向一　空间几何体的三视图和直观图的对应关系 命题解读 : 主要考查利用三视图的画法规则及摆放规则 , 根据空间几何体确定其三视图或根据三视图还原其对应直观图或根据三视图的其中两个确定另一个 , 以选择题、填空题形式出现 . 【 典例 1】 (1) 下列三视图所对应的直观图是　 ( 　　 ) (2)(2017· 肇庆一模 ) 已知底面为正方形的四棱锥 , 其一条侧棱垂直于底面 , 那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的　 ( 　　 ) (3)“ 牟合方盖”是我国古代数学家 刘徽在研究球的体积的过程中构造 的一个和谐优美的几何体 . 它由完全 相同的四个曲面构成 , 相对的两个曲面在同一个圆柱 的侧面上 , 好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形伞 ( 方 盖 ). 其直观图如图 , 图中四边形是为体现其直观性所 做可能是　 ( 　　 ) 世纪金榜导学号 92494074 【 解题导引 】 (1) 直接利用三视图 , 逐一判断看是否符合图中的三视图 . (2) 正确画出几何体的直观图 , 进而分析其三视图的形状 , 容易判断选项 . (3) 根据几何体形状及轮廓线的虚、实情况判断 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 由题意可知 , 几何体的直观图下部是长方体 , 上部是圆柱 , 并且高相等 , 所以 C 选项符合题意 . (2) 选 C. 由题意该四棱锥的直观图如图所示 : 则其三视图如图 : (3) 选 B. 因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 , 好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形伞 ( 方盖 ). 所以其正视图和侧视图都是一个圆 , 因为俯视图是从上向下看 , 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 , 所以俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形 . 【 规律方法 】 1. 由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认 . 2. 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正 ( 主 ) 视图或侧 ( 左 ) 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 , 调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【 变式 1+1】 1.(2017· 南宁一模 ) 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示 , 则其俯视图可能是　 ( 　　 ) ① 长、宽不相等的长方形 ;② 正方形 ;③ 圆 ;④ 椭圆 . A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 【 解析 】 选 B. 由题设条件知 , 正视图中的长与侧视图中的长不一致 , 对于① , 俯视图是长方形是可能的 , 比如此几何体为一个长方体时 , 满足题意 ; 对于② , 由于正视图中的长与侧视图中的长不一致 , 故俯视图不可能是正方形 ; 对于③ , 由于正视图中的长与侧视图中的长不一致 , 故俯视图不可能是圆形 ; 对于④ , 如果此几何体是一个椭圆柱 , 满足正视图中的长与侧视图中的长不一致 , 故俯视图可能是椭圆 . 综上知①④是可能的图形 . 2.( 新题预测 ) 如图 1 所示 , 是一个棱长为 2 的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图 , 其中 DD 1 =1, AB=BC=AA 1 =2, 若此几何体的俯视图如图 2 所示 , 则可以作为其正视图的是　世纪金榜导学号 92494075( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由直观图和俯视图知 , 正视图中点 D 1 的射影是 B 1 , 所以正视图是选项 C 中的图形 .A 中少了虚线 , 故不正确 . 【 加练备选 】 1.(2017· 上海二模 ) 一个几何体的正视图和侧视图如图所示 , 则这个几何体的俯视图不可能是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 如果该几何体是一个底面是等腰直角三角形 , 且侧棱与底面垂直的直三棱柱 , 故 A 可能 ; 如果该几何体是一个圆柱 , 则其俯视图必为圆 , 故 B 可能 ; 如果该几何体是一个正方体 , 则其俯视图必为正方形 , 故 C 可能 ; 如果该几何体是一个长方体 , 则其正视图和侧视图中必有一个为长方形 , 故 D 错误 ; 根据排除法可知 , 选项 D 正确 . 2.(2017· 北京一模 ) 某几何体的三视图中的三角形都是直角三角形 . 如图所示 . 则该几何体中直角三角形的个数为　 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 D. 依题意 , 该几何体是一个底面为直角三角形 , 一条侧棱垂直于底面的三棱锥 , 其四个面均为直角三角形 . 热点考向二　空间几何体的表面积和体积 类型一 根据三视图计算空间几何体的表面积和体积 【 典例 2】 (1)(2017· 郑州二模 ) 某几何体的三视图 如图所示 , 其中俯视图为扇形 , 则该几何体的体积为 　 ( 　　 ) (2)(2017· 双鸭山一模 ) 一个几何体的三视图如图所示 , 其中正视图是一个正三角形 , 则这个几何体的外接球的表面积为　世纪金榜导学号 92494076( 　　 ) 【 解题导引 】 (1) 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分 , 再把数据代入圆锥的体积公式计算 . (2) 由已知中几何体的三视图得出这个几何体的外接球的球心位置 , 得到球的半径 , 代入球的表面积公式 , 即可得到答案 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 由三视图知几何体是圆锥的一 部分 , 由俯视图与侧视图可得 : 底面扇形的圆心角为 120°, 又由侧视图知几何体的高为 4, 底面圆的半径 为 2, 所以几何体的体积 V= (2) 选 A. 由已知几何体的正视图是一个 正三角形 , 侧视图和俯视图均为三角形 , 可得该几何体有一个侧面 PAC 垂直于底 面 , 高为 , 底面是一个等腰直角三角形的三棱锥 , 如图 . 则这个几何体的外接球的球心 O 在高线 PD 上 , 且是等边 三角形 PAC 的中心 , 这个几何体的外接球的半径 R= 则这个几何体的外接球的表面积为 S=4πR 2 = 类型二 由空间几何体的结构特征计算表面积和体积 【 典例 3】 (2017· 长沙一模 ) 如图 , 在斜三棱柱 ABC- A 1 B 1 C 1 中 , 侧面 ACC 1 A 1 与侧面 CBB 1 C 1 都是菱形 ,∠ACC 1 = ∠CC 1 B 1 =60°,AC=2. 　世纪金榜导学号 92494077 (1) 求证 :CC 1 ⊥AB 1 . (2) 若 AB 1 = , 求四棱锥 A-BB 1 C 1 C 的体积 . 【 题目拆解 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成三个小题 . (ⅰ) 找过点 A 与底面 BB 1 C 1 C 相交且垂直的直线并证明 ; (ⅱ) 求 S □ BB 1 C 1 C 的值 ; (ⅲ) 求四棱锥 A-BB 1 C 1 C 的体积 . 【 规范解答 】 (1) 连接 AC 1 ,CB 1 , 则△ ACC 1 和△ B 1 CC 1 都是正三角形 . 取 CC 1 中点 O, 连接 OA,OB 1 , 则 CC 1 ⊥OA,CC 1 ⊥OB 1 , 又因为 AO∩B 1 O=O, 所以 CC 1 ⊥ 平面 OAB 1 , 所以 CC 1 ⊥AB 1 . (2) 由 (1) 知 ,OA=OB 1 = , 又 AB 1 = . 所以 OA 2 +B 1 O 2 = AB 1 2 , 所以 OA⊥OB 1 . 又因为 OA⊥CC 1 ,OB 1 ∩CC 1 =O, 所以 OA⊥ 平面 BB 1 C 1 C. S □ BB 1 C 1 C =BC×BB 1 sin 60°= 故 【 母题变式 】 1. 在本例 (2) 的条件下 , 若 A 1 B 1 = 求斜三棱柱 ABC- A 1 B 1 C 1 的表面积 . 【 解析 】 在 △ ABC 中 ,AB=A 1 B 1 = AC=BC=2, cos∠ACB= 所以 sin∠ACB= 所以 S △ABC = S △A 1 B 1 C 1 = ×AC×BC×sin∠ACB= 而 又因为 A 1 B 1 = AB 1 = AA 1 =2, 所以 A 1 B 1 2 =AB 1 2 +AA 1 2 所以 AB 1 ⊥AA 1 , 所以 S □ ABB 1 A 1 =AB 1 · AA 1 = ×2=2 . 因此该三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的表面积为 : 2. 在本例 (2) 的条件下 , 求三棱锥 B -A 1 B 1 C 1 的体积 . 【 解析 】 由 (2) 解析知 OA⊥ 平面 BB 1 C 1 C, 又因为 AA 1 ∥ 平面 BB 1 C 1 C, 所以点 A 1 到平面 BB 1 C 1 C 的距离 h 等于点 A 到平面 BB 1 C 1 C 的距离 OA, 即 h=OA= 又 所以 3. 在本例 (2) 的条件下 , 求点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离 . 【 解析 】 由题 (2) 知 OA⊥ 平面 CB 1 C 1 , 所以 在△ AB 1 C 1 中 ,AB 1 = AC 1 =2,B 1 C 1 =2. cos∠AC 1 B 1 = 所以 sin∠AC 1 B 1 = 故 设点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离为 d, 则由 点 C 到平面 AB 1 C 1 的距离为 . 【 规律方法 】 1. 求解几何体的表面积及体积的技巧 (1) 求三棱锥的体积 : 等体积转化是常用的方法 , 转化原则是其高易求 , 底面放在已知几何体的某一面上 . (2) 求不规则几何体的体积 : 常用分割或补形的思想 , 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . (3) 求表面积 : 关键思想是空间问题平面化 . 2. 根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1) 根据给出的三视图还原该几何体的直观图 . (2) 由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量 . (3) 套用相应的面积公式与体积公式计算求解 . 【 通关 1+1】 1.(2017· 郴州三模 ) 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均 在某球面上 ,PC 为该球的直径 ,△ABC 是边长为 4 的等边 三角形 , 三棱锥 P-ABC 的体积为 则该三棱锥的外接 球的表面积为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 根据题意作出图形 设球心为 O, 球的半径为 r, 过 A,B,C 三点的小圆的圆心 为 O 1 , 则 OO 1 ⊥ 平面 ABC, 延长 CO 1 交球于点 D, 则 PD⊥ 平面 ABC. 因为 CO 1 = 所以 OO 1 = 所以高 PD=2OO 1 = 因为△ ABC 是边长为 4 的正三角形 , 所以 S △ABC = 所以 V 三棱锥 P-ABC = 所以 r 2 = 则球 O 的表面积为 4πr 2 = 2.( 新题预测 ) 如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AD= AB=3,E,F 分别为 AB 边、 CD 边上一点 , 且 AE=DF=1, 现将矩形 ABCD 沿 EF 折起 , 使得平面 ADFE⊥ 平面 BCFE, 连接 AB,CD, 则所 得三棱柱 ABE-DCF 的侧面积比原矩形 ABCD 的面积大约 多 ( 取 ≈ 2.236) 　世纪金榜导学号 92494078( 　　 ) A ． 68% B ． 70% C ． 72% D ． 75% 【 解析 】 选 D. 将矩形 ABCD 沿 EF 折起 , 使得平面 ADFE⊥ 平面 BCFE, 可得三棱柱 ABE-DCF,( 如图 ) 侧面积增加的部分为四边形 ABCD, 因为 EB⊥BC,△ABE 是直角三角形 , 所以 AB⊥BC. 同理可证四边形 ABCD 是矩形 . 因为在原矩形 ABCD 中 ,AE=DF=1,AB=3,AD= 所以 BE=2, 所以在几何体中 AB= 故得侧面积增加的部分为 S= 侧面积比原矩形 ABCD 的面积大约多出 ≈ 75%. 【 加练备选 】 1.(2017· 西安一模 ) 某几何体的三视图 如图所示 , 且该几何体的体积是 则正视图中的 x 的 值是　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 由三视图可知 : 原几何体是一个四棱锥 , 其中底面是一个上、下、高分别为 1,2,2 的直角梯形 , 一条长为 x 的侧棱垂直于底面 . 则体积为 解得 x= 2.( 新题预测 ) 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体中 , 面积最大的侧面的面积为　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由三视图可知 , 几何体的直观图如图所示 , 平面 AED⊥ 平面 BCDE, 四棱锥 A-BCDE 的高为 1, 四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形 ,