黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三上学期开学考试检测数学（理）试题 20页

牡一中2017级高三学年上学期开学检测 数学试题（理科）‎ 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）‎ ‎1.设集合，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等价转化为范围问题，再利用集合关系判断充分不必要条件。‎ ‎【详解】，则“”是“”的充分不必要条件 故选A ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系判断是解决问题的关键，属于基础题。‎ ‎2.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 是奇函数,但是,[−1,1]上单调增函数。‎ 不是奇函数，‎ 对于,因为,所以是奇函数,在[−1,1]上单调减函数，‎ 是偶函数,[−1,1]上单调递增。‎ 故选：C.‎ ‎3.已知是第四象限角，，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的正弦值和角所在的象限，求得的值，根据两角差的正切公式求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】因为，且为第四象限角，则，，故选D.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于基础题.‎ ‎4.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题得：，而，所以而，又，所以c最小，又，‎ 又，所以，故选C 点睛：本题较难，主要是对对数和指数的运算的考察，在比较大小时，先判定各数的符号，然后可以借助中间值0或1进行比较，也可以作差或作商进行比较 ‎5.若正数，满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 引入新元x，将a用x表示，b用x表示，a+b用x表示带入求出结果 ‎【详解】设，则 ‎【点睛】本题主要考查对数与对数函数。不能直接将a表示成b的关系式，因此考虑引入新元x.‎ ‎6.已知，且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过已知求出，再利用平方关系求的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，且，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查二倍角公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 奇函数定义域必关于原点对称，求出a的值。定义域有原点的奇函数必过原点 ‎【详解】奇函数定义域必关于原点对称，即 ‎，‎ 即，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题。‎ ‎8.若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，再利用函数与函数互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系 ‎【详解】由题意知是方程的解，是方程的解，‎ 即是函数与函数交点的横坐标，是函数与函数交点的横坐标。‎ 因为函数与函数互为反函数，图像关于对称。‎ 所以等于函数与函数交点的纵坐标，‎ 即 ‎【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点，还是函数的零点利用函数与函数互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题。‎ ‎9.已知，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】有，得，，，由于，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.‎ ‎10.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用两角和的正弦函数化简求得，再利用诱导公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 整理得，即，‎ 所以 ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当 时， ‎ 当时， ‎ 是定义在上的减函数，又 也是定义在上的减函数，故设 ，则由题 即 即，又 综上，故选B 点睛 ：本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的零点，分类讨论思想，难度极大，解题的关键是根据题意构造新函数 ‎ ‎12.已知函数,，若对任意的,存在实数满足，使得，则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，作函数与的图象如图，‎ ‎[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2017/12/26/1846776942886912/1847603319783424/EXPLANATION/6853d922fa504161bdc3340107e8492d.png]‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象如图，‎ ‎[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2017/12/26/1846776942886912/1847603319783424/EXPLANATION/50393bda076643fc92dbfb9c6e34ef2d.png]‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象如图，‎ ‎ ‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象如图，‎ ‎，不存在实数满足，使得成立，的最大值为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、数形结合思想的应用，属于难题.‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）‎ ‎13.已知，且是第一象限角，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出，的值再带入 ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查半角的正切公式。‎ ‎14.已知函数若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作函数及图像，，由图可知要使关于 方程有两个不同的实数根，须满足 考点：函数图像 ‎【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ ‎15.若，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ 即：，‎ 解方程可得：.‎ ‎16.在下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．‎ ‎①函数的最小值为；‎ ‎②已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；‎ ‎③定义在上的函数既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则；‎ ‎④已知函数，则是有极值的必要不充分条件；‎ ‎⑤已知函数，若，则．‎ ‎【答案】②③⑤‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对于①，函数中，当时，在在为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；对于②，又定义在上周期为的函数，为偶函数，故②正确；对于③，因为定义在上的函数是奇函数又是以为周期，，，‎ ‎，故③正确；对于④要使有极值，则方程一定有两个不相等的根，即当时，，‎ ‎，充分性成立，反之不然，是有极值的充分不必要条件，故命题④错误；对于命题⑤为上的增函数，又为上的奇函数，若即时，故⑤正确，综上所述，正确的命题序号为②③⑤，故答案为②③⑤．‎ 考点：1、函数的单调性和周期性；2、函数的奇偶性和对称性．‎ ‎【思路点睛】本题目综合考查函数的函数的单调性、周期性及函数的奇偶性和对称性．属于难题．对于①，主要是利用函数的单调性得出的值趋于无穷小，从而得出①错误 ；对于②，利用对称性和周期性推出是偶函数，所以正确；对于③，根据函数的奇偶性、周期性，结合解析式可得③正确；对于④，根据导函数，充要条件判断其错误；对于⑤，根据函数奇偶性、单调性可证明其正确性．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 ‎17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可得曲线的直角坐标方程为；用消参法消去参数，得直线的普通方程.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由（为参数），消去参数，得直线的普通方程.‎ 由，得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程为（为参数），‎ 代入，得.‎ 则，.‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 所以，的值为，定点到，两点的距离之积为.‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程.‎ ‎18.已知函数，关于的不等式的解集为。‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）已知，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接对不等式化简得，然后对比它的解集，即可求出m.‎ ‎(2)直接利用柯西不等式化简。‎ ‎【详解】（1），由题意，‎ 故。‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 由柯西不等式可得，‎ 所以.‎ 当且仅当，即，，时等号成立，‎ ‎ 的最小值为。‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式，属于中档题。‎ ‎19.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求点坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出，再求的值.(2)由题得，解方程组即得点B的坐标.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以=-7.‎ 由题设B(x,y),‎ 因为是钝角，所以,所以点B的坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知．，其中.为锐角，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求及的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用两点间的距离公式化简，即可得出答案。‎ ‎（2）根据，分别求出，，再利用公式。‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 得，得．‎ ‎（2）∵，∴，∴，，‎ 当时，．‎ 当时，．‎ ‎∵为锐角，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式。属于简单题。‎ ‎21.设函数偶函数. ‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由f（﹣x）＝f（x），可求得k＝2．由，即，即可求得不等式的解集；‎ ‎（2）由得，结合对勾函数的图象与性质求最值即可．‎ ‎（3）原题意可转化在上有解，即等价于在上有解.‎ ‎【详解】（1）因为是偶函数，所以恒成立，‎ 即 恒成立，也即恒成立，‎ 所以.‎ 由得，‎ 解得或，即或，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式即为，即，‎ 因为，当且仅当时，取等号.所以，‎ 由函数在上是增函数知的最小值为3，‎ 所以，故实数的取值范围是.‎ ‎（3） ‎ 在上有零点，‎ 即为在上有解，‎ 因为，所以，‎ 所以条件等价于在上有解.‎ 令，则，令，则在上单调递增，‎ 因此，，.‎ 设，任取，则，‎ ‎ .‎ 若，则，所以，即在上单调递增；‎ 若，则，所以，即在上单调递减.‎ 所以函数时取得最小值，且最小值，‎ 所以，‎ 从而，满足条件的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）证明：（为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），检验。‎ ‎（2）将恒成立转换为最值问题，求最小值大于等于0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围。‎ ‎（3）等价变形为利用函数的单调性说明。‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 因为是函数的一个极值点，故，即，当时，当经验得是函数的一个极值点，所以.‎ ‎（2）因为在上恒成立，所以。‎ 当时，在上恒成立，即在上为增函数 所以成立，即为所求。‎ 当时，令，则，令则 即在上为减函数，在上为增函数。当时，，这与矛盾.综上所述，的取值范围是。‎ ‎（3）要证，只需证。两边取自然对数得，，上式等价于，只需要证明，只需要证明，由时，在单调递增。‎ 又，，，从而原命题成立.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的相关性质，属于难题。本类题各个问题紧密相扣，一般问题就给我们指明了下一题的解题方向。‎ ‎ ‎