高中数学必修1奇偶型习题 7页

‎1.3.2　奇偶性 ‎1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)‎ ‎　　　 　　　　　 　　　　　 ‎ ‎ A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ‎2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)， 则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ ‎ A．f(－1)＜f(－3) B．f(2)＜f(3) C．f(－3)＜f(5) D．f(0)＞f(1)‎ ‎3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．‎ 其中正确的命题个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．已知f(x)、g(x)都是定义域内的非奇非偶函数，而f(x)·g(x)是偶函数，写出满足条件的一组函数为：f(x)＝__________，g(x)＝__________.‎ 课堂巩固 ‎1．(2008全国高考卷Ⅱ，理3文4)函数f(x)＝－x的图象关于(　　)‎ A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 ‎2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)等于(　　)‎ A．1 B. C．－1 D．－ ‎3．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0且x1＋x2＞0，则(　　)‎ A．f(－x1)＞f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)‎ C．f(－x1)＜f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定 ‎4．已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在(2,5)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．有增有减 D．增减性不确定 ‎5．已知f(x)＝ax7－bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝________.‎ ‎6．若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是__________．‎ ‎7．(2008上海高考，文9)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ ‎8．判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝；‎ ‎(2)f(x)＝a(x∈R)；‎ ‎(3)f(x)＝ ‎9．已知函数f(x)＝x2－2|x|.‎ ‎(1)判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎(2)判断函数f(x)在(－1,0)上的单调性并加以证明．‎ ‎1．f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是……‎ ‎(　　)‎ A．bf(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)‎ ‎8．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________， b＝________.‎ ‎9．已知函数f(x)具有如下两个性质：①对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有>0；②图象关于点(1,0)成中心对称图形．写出函数f(x)的一个解析表达式为______________________________________．‎ ‎10．如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么 f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．‎ ‎11．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性．‎ ‎(2)确定f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，＋∞)上呢？请证明你的结论．‎ 答案与解析 ‎1．3.2　奇偶性 课前预习 ‎1．B　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．‎ 又x∈(－a，a)关于原点对称，‎ ‎∴F(x)是偶函数．‎ ‎2．D　∵f(－3)＝f(3)，‎ ‎∴f(3)＜f(1)．‎ ‎∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．‎ ‎3．A　函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；‎ 函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；‎ 函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．‎ ‎4．x－1　x＋1(答案不唯一)‎ 课堂巩固 ‎1．C　∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－＋x＝－f(x)，‎ ‎∴该函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．‎ ‎2．C　∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.‎ ‎3．A　f(x)是R上的偶函数，‎ ‎∴f(－x1)＝f(x1)．‎ 又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x2＞－x1＞0，‎ ‎∴f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．‎ ‎4．B　∵f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴m＝0.∴f(x)＝－x2＋3.‎ ‎∴在(2,5)上为减函数．‎ ‎5．－13　整体思想：f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，‎ ‎∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.‎ ‎6．{x|0＜x＜2}　偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法求解．‎ 画图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，‎ ‎∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．‎ ‎7．－2x2＋4　f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.‎ ‎∵f(x)是偶函数，∴2a＋ab＝0，‎ 解得a＝0或b＝－2.‎ 当a＝0时，f(x)＝bx2，这与f(x)∈(－∞，4]相矛盾，故a≠0.‎ 当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2∈(－∞，4]，得2a2＝4，此时f(x)＝－2x2＋4.‎ ‎8．解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．‎ ‎(2)函数的定义域为R，当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a≠0时，f(－x)＝a＝f(x)，即f(x)是偶函数．‎ ‎(3)函数的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，此时f(－x)＝(－x)2[1＋(－x)]＝x2(1－x)＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，此时f(－x)＝(－x)2[1－(－x)]＝x2(1＋x)＝f(x)；‎ 当x＝0时，－x＝0，此时f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)．‎ 综上，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．‎ ‎9.解：(1)是偶函数．定义域是R，‎ ‎∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．‎ ‎(2)f(x)是单调递增函数．‎ 证明：当x∈(－1,0)时，f(x)＝x2＋2x，‎ 设－1－2，即x1＋x2＋2>0.‎ ‎∵f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)‎ ‎＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)<0，‎ ‎∴f(x1)f(6)＝f(10)．‎ ‎8.　0　偶函数定义域关于原点对称，‎ ‎∴a－1＋2a＝0.∴a＝.‎ ‎∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.‎ 又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.‎ ‎9．y＝x－1，y＝(x－1)3，y＝(x－1)5，…，y＝(x－1)n(n为正奇数)‎ ‎①对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有>0，则函数在R上为增函数，而函数y＝x3在R上为增函数；②图象关于(1,0)点成中心对称图形，则函数y＝x3向右平移一个单位，即函数y＝(x－1)3的图象关于(1,0)点成中心对称图形．另外，函数y＝x－1，y＝(x－1)3，y＝(x－1)5，…，y＝(x－1)n(n为正奇数)都是符合题意的函数．‎ ‎10．解：f(x)在[－7，－2]上是增函数．证明如下：‎ 任取x1，x2∈[－7，－2]，且x1＜x2，则2≤－x2＜－x1≤7.‎ 因为f(x)在区间[2,7]上是增函数，‎ 所以f(－x2)＜f(－x1)．‎ 又因为f(x)是奇函数，所以f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，‎ 即－f(x2)＜－f(x1)，f(x1)＜f(x2)．‎ 所以函数f(x)在[－7，－2]上是增函数．‎ 于是其最大值为f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值为f(－7)＝－f(7)＝－10.‎ 点评：奇函数的图象关于原点对称，它们在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数的图象关于y轴对称，它们在关于原点对称的区间上的单调性恰好相反．‎ ‎11．解：(1)因为f(x)的定义域为R，‎ 又f(－x)＝＝＝f(x)，‎ 所以f(x)为偶函数．‎ ‎(2)f(x)在(－∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．‎ 证明：取x10，x1＋x2<0，‎ 且x＋1>0，x＋1>0.‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)