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- 2021-06-15 发布
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云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年
高二下学期期中考试(理)
[考生注意]:考试用时120分钟,满分150分。必须在答题卡上的指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效。
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求,请在答题卡相应的位置上填涂)
1.已知集合,则集合U的真子集共有 ( )
A .15个 B . 16个 C. 31 个 D. 32个
2.复数等于( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
3.已知为等差数列,若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B.
C. D.
5.在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
A. B. C. D.
第7
题图
6.执行如图所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为( )
A.105 B. 16 C. 15 D. 1
7.四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是,
其三视图如图所示,则四棱锥的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
8.设m、n是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
① 若、,则 ② 若,,则
③ 若、,则 ④ 若,,则
其中真命题的序号是( )
A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
9.如右图阴影部分面积是( )
A.e+ B.e+-1
C.e+-2 D.e-
10.已知直线y=x+b是曲线y=f(x)=ln x的切线,则b的值等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
11.为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
12.在7名运动员中,选4名运动员组成接力队,参加4×100米接力赛,那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有 种。 ( )
A.120 B.240 C.400 D.420
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案写在答题卡的相应位置上)
13.若二项式的展开式中的系数是84,则实数a= 。
14.如果实数满足条件 ,那么的最大值为 。
15.设F1、F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一个点,∠F1PF2=60。°,|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项,则该椭圆的离心率为 。
16.已知半径为的球中有一个内接正四面体,则这一正四面体的体积是 。
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分12分)已知数列的首项,通项,且成等差数列。求:
(1)的值;
(2)数列前项和
18.(满分12分)的内角,,的对边分别为,,, 已知
(1)求
(2)若,面积为2,求.
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥的底面为菱形,平面,
,分别为的中点,.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20. (满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
21. (满分12分)若函数,当时,函数有极值,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数有3个解,求实数的取值范围.
22.(满分10分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
5
女性
10
总计
50
已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢户外运动的员工的概率是
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)求该公司男、女员工各多少人;
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由.
下面的临界值表仅供参考:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案
一、选择题: 1-5:CAACC 6-10:CBDCA 11-12:CC
二、 填空题: 13. 1 14.1 15. 16.
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分12分)已知数列的首项,通项,且成等差数列。求:
(1)的值;
(2)数列前项和
解:(1)由得
(2)
18.(满分12分)的内角,,的对边分别为,,, 已知
(1)求
(2)若,面积为2,求.
解:由题设及 得 ,
故.
上式两边平方,得
整理得, 解得(舍去),.
(2)由得,故.
又,则.
由余弦定理及得
. 所以.
19.(本小题满分12分)四棱锥的底面为菱形,平面,
,分别为的中点,.
(Ⅰ)求证:平面平面.
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
证明:(Ⅰ)∵四边形是菱形,
∴.在中,,,
∴.
∴,即.
又,
∴................................................2分
∵平面,平面,
∴.又∵,
∴平面,.............................................................4分
又∵平面,
∴平面平面. ........................................6分
(Ⅱ)以为原点,、分别为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.因为,,所以,、、、,
则,,................7分
由(Ⅰ)知平面,
故平面的一个法向量为..................8分
设平面的一个法向量为,
则 ,即,令,
则. .....................................10分
∴.
所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为................................12分
20. (满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
解 (1)由得x2-4x-4b=0,(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x2-4x+4=0,
解得x=2,代入x2=4y,得y=1.
故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
21. (满分12分)若函数,当时,函数有极值,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数有3个解,求实数的取值范围.
解:求导得,
(1)由题意,得 所求解析式为
(2)由(1)可得: 令,得或
又因为 的定义域为R,当变化时,、的变化情况如下表:
—
单调递增↗
单调递减↘
单调递增↗
因此,当时,有极大值
当时,有极小值
函数的图象大致如图:
由图可知:
22.(满分10分)
户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
5
女性
10
总计
50
已知在这50人中随机抽取1人,抽到喜欢户外运动的员工的概率是
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)求该公司男、女员工各多少人;
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由.
下面的临界值表仅供参考:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
解:(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是,
所以喜欢户外运动的男女员工共30人,其中男员工20人,列联表补充如下:
喜欢户外运动
不喜欢户外运动
总计
男性
20
5
25
女性
10
15
25
总计
30
20
50
(2)该公司男员工人数为25÷50×650=325(人),则女员工有325人.
(3)K2的观测值k=≈8.333>7.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.