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  • 2021-06-15 发布

高中数学 1_2_2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则2同步练习 新人教A版选修2-2

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选修2-2 ‎1.2.2‎ 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 ‎1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于(  )‎ A.1      B.2     ‎ C.3      D.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′‎ ‎=2(x+1)·(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1,‎ ‎∴y′|x=1=4.‎ ‎2.若对任意x∈R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)=(  )‎ A.x4 B.x4-2‎ C.4x3-5 D.x4+2‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c,又f(1)=-1‎ ‎∴1+c=-1,∴c=-2,∴f(x)=x4-2.‎ ‎3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,则数列{}(n∈N*)的前n项和是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] A ‎[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1,‎ ‎∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,‎ 即f(n)=n2+n=n(n+1),‎ ‎∴数列{}(n∈N*)的前n项和为:‎ Sn=+++…+ ‎=++…+ ‎=1-=,‎ 故选A.‎ ‎4.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎[答案] C ‎[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx,f′(x)=2ax+b,由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故‎2a>0,b>0,则f(x)=a2-,‎ 顶点在第三象限,故选C.‎ ‎5.函数y=(2+x3)2的导数为(  )‎ A.6x5+12x2 B.4+2x3‎ C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)·3x ‎[答案] A ‎[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6,‎ ‎∴y′=6x5+12x2.‎ ‎6.(2010·江西文,4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=(  )‎ A.-1 B.-2 ‎ C.2 D.0‎ ‎[答案] B ‎[解析] 本题考查函数知识,求导运算及整体代换的思想,f′(x)=4ax3+2bx,f′(-1)=-‎4a-2b=-(‎4a+2b),f′(1)=‎4a+2b,∴f′(-1)=-f′(1)=-2‎ 要善于观察,故选B.‎ ‎7.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f′(1)=(  )‎ A.0 B.-1 ‎ C.-60 D.60‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9·(-6x2)=-60x2(1-2x3)9,∴f′(1)=60.‎ ‎8.函数y=sin2x-cos2x的导数是(  )‎ A.2cos B.cos2x-sin2x C.sin2x+cos2x D.2cos ‎[答案] A ‎[解析] y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′‎ ‎=2cos2x+2sin2x=2cos.‎ ‎9.(2010·高二潍坊检测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(  )‎ A.3 B.2 ‎ C.1 D. ‎[答案] A ‎[解析] 由f′(x)=-=得x=3.‎ ‎10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(  )‎ A.- B.0‎ C. D.5‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)‎ ‎∴f′(x+5)=f′(x),∴f′(5)=f′(0)‎ 又f(-x)=f(x),∴f′(-x)(-1)=f′(x)‎ 即f′(-x)=-f′(x),∴f′(0)=0‎ 故f′(5)=f′(0)=0.故应选B.‎ 二、填空题 ‎11.若f(x)=,φ(x)=1+sin2x,则f[φ(x)]=_______,φ[f(x)]=________.‎ ‎[答案] ,1+sin2 ‎[解析] f[φ(x)]== ‎=|sinx+cosx|=.‎ φ[f(x)]=1+sin2.‎ ‎12.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f′(x)是奇函数,则φ=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] f′(x)=-sin(x+φ),‎ f(x)+f′(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)‎ ‎=2sin.‎ 若f(x)+f′(x)为奇函数,则f(0)+f′(0)=0,‎ 即0=2sin,∴φ+=kπ(k∈Z).‎ 又∵φ∈(0,π),∴φ=.‎ ‎13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.‎ ‎[答案] 32x(1+2x2)7‎ ‎[解析] 令u=1+2x2,则y=u8,‎ ‎∴y′x=y′u·u′x=8u7·4x=8(1+2x2)7·4x ‎=32x(1+2x2)7.‎ ‎14.函数y=x的导数为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] y′=(x)′=x′+x()′=+=.‎ 三、解答题 ‎15.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=xsin2x;  (2)y=ln(x+);‎ ‎(3)y=;  (4)y=.‎ ‎[解析] (1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′‎ ‎=sin2x+x·2sinx·(sinx)′=sin2x+xsin2x.‎ ‎(2)y′=·(x+)′‎ ‎=(1+)= .‎ ‎(3)y′== .‎ ‎(4)y′= ‎= ‎=.‎ ‎16.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=cos2(x2-x);   (2)y=cosx·sin3x;‎ ‎(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2.‎ ‎[解析] (1)y′=[cos2(x2-x)]′‎ ‎=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]′‎ ‎=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)′‎ ‎=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)‎ ‎=(1-2x)sin2(x2-x).‎ ‎(2)y′=(cosx·sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′‎ ‎=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.‎ ‎(3)y′=loga(x2+x-1)+x·logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+logae.‎ ‎(4)y′=′log2e=log2e ‎=.‎ ‎17.设f(x)=,如果f′(x)=·g(x),求g(x).‎ ‎[解析] ∵f′(x)= ‎=[(1+x2)cosx-2x·sinx],‎ 又f′(x)=·g(x).‎ ‎∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.‎ ‎18.求下列函数的导数:(其中f(x)是可导函数)‎ ‎(1)y=f;(2)y=f().‎ ‎[解析] (1)解法1:设y=f(u),u=,则y′x=y′u·u′x=f′(u)·=-f′.‎ 解法2:y′=′=f′·′=-f′.‎ ‎(2)解法1:设y=f(u),u=,v=x2+1,‎ ‎ ‎

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