【数学】2020届一轮复习人教B版 排列（理） 学案 9页

‎ 排 列 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解排列的概念.‎ ‎2．能利用计数原理推导排列数公式．‎ ‎3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、排列的概念 ‎1. 排列的定义 ‎ 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ 要点诠释：‎ ‎（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．‎ ‎（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．‎ ‎（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．‎ 要点二：排列数 ‎1.排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.‎ 要点诠释：‎ ‎ （1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；‎ ‎（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．‎ 比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数，在此题中．‎ ‎2．排列数公式 ‎ ，其中n，m∈N+，且m≤n．‎ 要点诠释：‎ ‎(1)公式特征：‎ 第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。‎ ‎(2)公式含义：‎ ‎①的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2‎ 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。‎ 第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；‎ 第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；‎ 由分步计数原理完成上述填空共有种填法，‎ ‎∴=.‎ ‎②求可以理解为：从个元素中任取个不同的元素去填空（不能重复），‎ 第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；‎ 第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；‎ 第三步：在第三个空位填一个元素，有种方法；‎ ‎…‎ 第步：在第个空位填一个元素，有种方法；‎ 依据分步记数原理，共有种方法。‎ 要点三：阶乘表示式 ‎ ‎1．全排列：‎ 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。‎ 全排列.‎ ‎2．阶乘的概念：‎ 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.‎ 规定：．‎ ‎3. 排列数公式的阶乘式：‎ ‎ 所以．‎ 要点四：排列的常见类型与处理方法 ‎1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．‎ ‎2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．‎ ‎3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。‎ ‎4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。‎ 要点诠释：‎ 当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。‎ 即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、与排列数有关的运算 例1．计算：（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）＝‎ ‎（2）＝＝‎ ‎（3）＝‎ ‎【总结升华】‎ 利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】 计算：(1) (2)；‎ ‎【答案】 (1) ＝＝360.‎ ‎(2) ．‎ ‎【变式2】若，则 ， ．‎ ‎【答案】由排列数定义，n是连乘式中最大的数，m是因数个数, 故17，14。‎ 类型二、排列的定义及其理解 例2． 判断下列问题是否是排列问题：‎ ‎ （1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？‎ ‎ （2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？‎ ‎ （3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？‎ ‎ （4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？‎ ‎ （5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？‎ ‎ 【思路点拨】‎ ‎ ‎ 判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．‎ ‎ 【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．‎ ‎【总结升华】‎ ‎ 判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】判断下列问题是否是排列问题：‎ ‎ （1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？‎ ‎ （2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？‎ ‎【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．‎ ‎ （2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．‎ ‎ 综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．‎ 例3．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？‎ ‎【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。‎ ‎【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182. ‎ ‎【总结升华】‎ 当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？‎ ‎【答案】120；‎ 问题可以看作5个元素的全排列；‎ ‎【变式2】‎ ‎(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ ‎ ‎(2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？‎ ‎【答案】‎ ‎(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是=5×4×3=60. ‎ ‎(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125. ‎ ‎【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，‎ ‎①能够组成多少个没有重复数字的三位数？‎ ‎②能够组成多少个三位数？‎ ‎【答案】‎ ‎① 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：（个）‎ ‎∴能组成60个无重复数字的三位数。‎ ‎② 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有种不同的排法；第三步排个位也有种不同的排法，由分步计数原理有：（个）‎ ‎∴能够组成125个三位数。‎ ‎【高清课堂：排列 389320例3】‎ ‎【变式4】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．‎ ⑴ ‎ 第114个数是多少？ ⑵ 3796是第几个数？‎ ‎【答案】3968，95‎ ⑴ ‎ 因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．‎ ⑵ ‎ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．‎ ‎ 类型三、简单排列应用题的解法 例4． 有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？‎ ‎ （1）甲排在正中间；‎ ‎ （2）甲不在排头，乙不在排尾；‎ ‎ 【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．‎ ‎ 【解析】‎ ‎ （1）甲排在正中间位置，其他6人排在余下的六个位置上，共有种排法．‎ ‎ （2）分四类考虑：‎ ‎ ①甲不在排头，乙不在排尾，甲也不在排尾，乙也不在排头：（即甲、乙在中间5个位置上），有种排法；‎ ‎ ②乙在排头，甲不在排头也不在排尾，有种排法；‎ ‎ ③甲在排尾，乙不在排头也不在排尾，有种排法；‎ ‎ ④甲在排尾且乙在排头，共有种排法．‎ ‎ 根据分类计数原理，共有（种）．‎ ‎ 【总结升华】‎ ‎ 本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？‎ ‎【答案】首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个位置上有种不同的排法，则总数有N=1，（种）。‎ ‎【变式2】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】‎ 解法一：（从特殊位置考虑）；‎ 解法二：（从特殊元素考虑）若选：；若不选：，‎ 则共有种；‎ 解法三：（间接法）‎ 例5. 求下列不同的排法种数：‎ ‎(1)6男2女排成一排，2女相邻； ‎ ‎(2)6男2女排成一排，2女不能相邻；‎ ‎(3)5男3女排成一排，3女都不能相邻. ‎ ‎【思路点拨】显然题（1）是一个相邻问题，题（2）（3）是一个不相邻问题。‎ ‎【解析】 (1)捆绑法：‎ 把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，‎ 组外排列为，女生组内排列为，‎ 因此排法种数为. ‎ ‎(2)法一：从总体排法数中除去2女相邻的排法，即得2女不相邻的排法种. ‎ 法二：插空法 ‎6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有种排法. ‎ ‎(3)插空法：‎ ‎5男先排实位，再在6个空位中排3女，共有种排法. ‎ ‎【总结升华】‎ 某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”． ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？‎ ‎（1）三个女生排在一起；‎ ‎ （2）三个女生两两都不相邻．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）（捆绑法）分两步：先把三个女生算一个元素与其他四个男生排，有种排法，再排三个女生有种排法，由分步计数原理，有种不同排法．‎ ‎（2）（插空法）分两步：先排四个男生有种排法，再让三个女生插入5个空中，有种插法，由分步计数原理，共有种不同排法．‎ ‎【变式2】有不同的数学书、语文书各5本，求下列不同的排法种数。‎ ‎(1)数学书必须排在一起；‎ ‎(2)数学书、语文书分别排在一起；‎ ‎(3)数学书不全排在一起；‎ ‎(4)任何两本数学书都不相邻；‎ ‎【答案】 ‎ ‎(1)将数学书捆在一起与语文书进行排列，有A66种排法，而数学书本身有A55种排法，故共有A65·A55种排法.‎ ‎(2)同上法，有A22·A55·A55种排法.‎ ‎(3)从反面考虑：10本书共有排法A1010种，剔除数学书全在一起的A66·A55种排法，故有A1010-A66·A55种排法.‎ ‎(4)先将语文书排好，有A55种排法，再将5本数学书插到语文书形成的6个空档之中，有A65种排法，故共有A55·A65种排法.‎ ‎【变式3】（2019 惠州模拟）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。‎ A．24 B．48 C．72 D．120‎ ‎【答案】由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻的方法数为种。‎ 故选B。‎ ‎【变式4】(2018 辽宁) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　 )‎ ‎　 A． 144 B． 120 ‎ C． 72 D． 24‎ ‎【答案】‎ ‎3人全排，有＝6种方法，‎ 形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，‎ 根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4＝24种．‎ 故选：D．‎ 例6. 由0，1，2，3这四个数字，‎ ‎（1）能够组成多少个无重复数字的三位数？‎ ‎（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？‎ ‎【思路点拨】‎ ‎ 该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有种不同的排法；由乘法原理可得： 总数：‎ 解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：第一类是不含0，则可组成个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种不同的排法，再从1，2，3中任选两个排在剩余的两位置上有种不同的排法，那么含0的三位数有个，由加法原理可得：总数=6+12=18（个）。‎ 解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有个，然后从所求不重复三位数字的排列数中将它减去，有：（个）‎ ‎（2）符合要求的四位偶数可分为三类：‎ ‎ 第一类：0在个位时有个；‎ ‎ 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；‎ ‎ 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．‎ ‎ 由分类计数原理知，共有四位偶数：（个）．‎ ‎【总结升华】‎ ‎ 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】用数字0，l，2，3，4，5组成没有重复数字的数．‎ ‎ （l）能组成多少个六位数？‎ ‎（2）能组成多少个六位奇数？‎ ‎【答案】‎ ‎（l）第一位不能是0，有种方法，其他各位有种方法，共有六位数的个数是 ‎（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，所以所求六位奇数的个数是 ‎【变式2】 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中 ‎⑴ 能被25整除的数有多少个？ ‎ ‎⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？‎ ‎【答案】‎ ⑴ ‎ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有 个，所以一共有＋＝21个．‎ ‎ 注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．‎ ‎⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有个．‎ ‎【高清课堂：排列 389320例3 练习】‎ ‎【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）‎ ‎【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．‎