【推荐】专题05 解密等差数列和等比数列的证明技巧-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（必修5）x 32页

一、解答题 ‎1．【辽宁省本溪市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列中， ， ，数列中， ，其中；‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件，可得（2）先根据等差数列前n项和得，再利用裂项相消法求和 ‎(2) ，‎ 即 ‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，‎ 裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎2．【天津市滨海新区2017届高三上学期八校联考】已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3） 试题解析：（1）当时， 当时， ，‎ 综上， 是公比为2，首项为2的等比数列， ‎（2）∵，∴，∵ ，∴ 综上， 是公差为1，首项为1的等差数列， .‎ ‎（3）令 ‎①②，得 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎3．【黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三第二次月考】已知数列{an}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．‎ ‎（1）求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（2）在（1）中，设bn=，求证：当c=﹣时，数列{bn}是等差数列．‎ ‎【答案】（1），（2）略 ‎（2）证明：当时， =，‎ ‎∴bn+1﹣bn=2（n+1）﹣2n=2，‎ ‎∴{bn}是以2为首项，公差为2的等差数列. ‎ ‎【点睛】证明数列为等差数列有两种方法，第一根据定义，当时，证明为一个常数，第二可借助等差中项，当时，证明.‎ ‎4．【江苏省海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】设数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证： 为定值；‎ ‎（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在 ‎【解析】试题分析：（1）依据题设探求出，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出， ，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：‎ ‎（2）因为，所以，‎ 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，‎ 从而， ，‎ 所以.‎ ‎（3）假设中存在第项成等差数列，‎ 则，即.‎ 因为，且，所以.‎ 因为，‎ 所以，故矛盾，‎ 所以数列中不存在三项成等差数列.‎ 点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力。‎ ‎5．【安徽省合肥市2018届高三调研性检测】数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ） 解：（Ⅰ）若，则，这与矛盾，‎ ‎∴，‎ 由已知得，‎ ‎∴，‎ 故数列是以为首项，2为公差的等差数列. ‎ ‎ ‎ ‎6．【2017北京卷】设和是两个等差数列，记 ，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若， ，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时， ；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求，观察规律，再证明当时， ‎ ，所以关于单调递减. 所以，从而得证；（Ⅱ）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ .‎ 当时， ，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎③当时，‎ 当时，有.‎ 所以 ‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时， .‎ ‎【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生.‎ ‎7．【安徽省“皖南五十校”2016-2017学年高一下学期末联考】设为数列的前项和，对任意的，都有，数列满足， .‎ ‎（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析， ；（2）；（3）.‎ 试题解析:（1）当时， ，解得，‎ 当时， ，即，‎ ‎∴.‎ ‎∴数列是首项为1，公比为的等比数列，即.‎ ‎（2）.‎ ‎∵，∴，即.‎ ‎∴是首项为，公差为1的等差数列.‎ ‎∴，即.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列、等比数列、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎8．【2017江苏卷】对于给定的正整数k,若数列{an}满足 ‎=2kan对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”. ‎ ‎(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；‎ 若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列性质得，即得 ，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得， ，再将条件集中消元： ， ，即得，最后验证起始项也满足即可．‎ 试题解析：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而，当时， ， 所以，‎ 因此等差数列是“数列”.‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，‎ 所以数列是等差数列.‎ 点睛:证明为等差数列的方法：①用定义证明： 为常数）；②用等差中项证明： ；③通项法： 为关于的一次函数；④前项和法： ．‎ ‎9．【河北省武邑中学2017届高三下学期四模】已知数列的前项和为，且对一切正整数恒成立.‎ ‎（1）试求当为何值时，数列是等比数列，并求出它的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当为何值时，数列的前项和取得最大值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）当=9时，数列的前项和取最大值.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）已知数列项与前项和的关系式， ，可再写出时， ，两式相减可得的递推式，本题得，因此只要也有，则数列是等比数列；（2）由（1）得， ，数列是递减数列，要使最大，则只要，由此可得最大时的值．‎ ‎（2）易得数列是一个递减数列，‎ 所以 由此可知当=9时，数列的前项和取最大值.‎ ‎10．【四川省遂宁市2016-2017学年高一下学期期末】已知数列中，，‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设数列满足：，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）数列是首项为1，公差为3的等差数列（2）（3）‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎… ‎ ‎ … ‎ ‎… ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11．【福建省莆田第六中学2017届高三下学期二模】数列是公差为的等差数列， 为其前n项和， 成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值。‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析：要证明成等比数列，只需证明成立，根据等差数列满足成等比数列，得出，代入和中，计算后二者相等；根据，写出等差数列通项公式，写出，再用分组求和法求出数列的前项的和.‎ ‎【点睛】解决等差数列问题，一般列出关于首项和公差的两个方程，解方程组求出首项和公差，然后写出通项公式；有关数列求和问题常用方法有4种，倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎12．【陕西省西安电子科技中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知数列的首项， ， …．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，可得，即可证明数列是等比数列；（2）由由（1）知， ，利用分组求和，‎ 再利用错位相减法，即可求出数列的前项和.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查根据递推公式求数列的通项以及分组求和、错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎13．【山东省济南外国语学校2017-2018学年高二10月月考】设数列的前项和为，已知.‎ ‎（1）设，证明数列是等比数列（要指出首项、公比）；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用的求解方法可将转化为数列的递推公式，进而可得到，说明数列是等比数列；（2）由数列是等比数列求得，从而确定，数列求和时采用错位相减法求和.‎ ‎（2）由（1）知，从而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减得： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14．【云南省玉溪市玉溪一中2018届高三上学期第二次月考】在数列中，，当时，其前项和满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求的前项和．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中所给的递推关系证得，则数列是等差数列；‎ ‎(2)结合(1)中的结论求得通项公式，然后错位相减可得.‎ ‎（2）结合(1)的结论可得：数列的通项公式为：，‎ 则：，①‎ ‎，②‎ ‎①-②整理可得：.‎ ‎15．【四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开学考】已知正项数列的前项和为，对任意且.‎ ‎（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为；‎ ‎(2)结合(1)的结论裂项求和可得数列的前项和为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，∴，又 ‎，∴，所以数列是公差为2的等差数列，又，∴.‎ ‎（2）由（1）知，∴ .‎ ‎16．【四川省雅安中学2018届高三上学期第一次月考】已知数列{an}满足al=﹣2，an+1=2an+4．‎ ‎（I）证明数列{an+4}是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先调整条件得an+1+4=2（an+4），再根据等比数列定义得数列{an+4}是等比数列；（2）先解出an+4=2n，得an=2n﹣4，再研究an符号：只有第一项为负，分两种情况讨论求和 ‎17．【河北省大名县第一中学2018届高三第一次月考】已知数列{an}满足a1=,an+1=3an-1(n∈N*).‎ ‎(1)若数列{bn}满足bn=an-,求证:{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn. ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）。‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先依据题设得到an+1=3 (n∈N*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,然后运用等比数列的定义分析推证；（2）先借助（1）的结论及题设条件求出Sn=30++3++…＋3n-1+，然后运用等比数列的前n项和求解.‎ 解：(1) 由题可知an+1=3 (n∈N*),从而有bn+1=3bn,b1=a1-=1,‎ ‎ 所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.‎ ‎ (2) 由第1问知bn=3n-1,从而an=3n-1+,‎ ‎ 有Sn=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n=.　　‎ ‎18．【湖北省浠水县实验高级中学2017届高三数学（文）测试题】已知数列的前项和为，，且满足（）.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）得：‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19．【浙江省名校协作体2017-2018学年高二】数列满足： ‎ ‎ (Ⅰ)求，并证明数列是等比数列； ‎ ‎ (Ⅱ)求数列前2项和。‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）令n=3,n=4分别求得，当， 时， 由线性关系可得，又,即证数列是等比数列。（2）由（1）当n为偶数时，当n为奇数时， ，为等差数列，可求得，所以对奇偶分别求和。‎ ‎ ， ‎ ‎ .‎ ‎20．【山西省怀仁县第一中学（两校区）2016-2017学年高一下学期期末】已知数列满足，且，．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前项和，若对任意的都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题中的递推关系计算可得后项与前项的比值为定值，计算首项为即可证得数列为等比数列；‎ ‎(2)原问题转化为对任意的都成立，分类讨论可得：实数的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，‎ 则 ‎ ‎ ．‎ 又 ，‎ 要使对任意的都成立，‎ 即（*）对任意的都成立．　‎ ‎①当为正奇数时，由（*）得，，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以对任意的正奇数都成立，‎ 当且仅当时，有最小值1，‎ 所以．‎ ‎ ‎ ‎21．【四川省泸州市2016-2017学年高一下学期期末】已知数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上．数列为等差数列，且满足， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求出它的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）（）‎ ‎【解析】【试题分析】（Ⅰ）先依据题设条件求出再运用等比数列的定义推得 即数列是以2为首项，公比为2的等比数列，进而求出其通项公式；（Ⅱ）先求出 解（Ⅰ）设数列的公差为，首项为 ‎∴ ‎∴ ∴ ‎∴ 又∵ ∴ ‎∴是以2为首项，公比为2的等比数列 ‎∴ ‎ ‎ ‎22．【江苏省兴化一中2017届高三下学期期中】已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，‎ 都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n． ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：{an}为等比数列；‎ ‎（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk．‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）本题采用赋值法，在已知等式中令得得出的关系；（2）也采用赋值法，本题难点在于已知条件中的平方的处理，为此先取和，所得两联立结合（1）可得，然后令得，令得，此两式相除得，因此，即 ‎，下面处理方法大家应该很清楚了，由此式有，相应两式相减可证得结论；（3）用反证法证明，由（1），若，不妨设， ，则， ，这与已知Tp＝Rp矛盾，从而，于是，则，依次可证明题设结论.‎ 从而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．‎ 所以an＋3＝2an＋2，故当n≥3时，{an}是公比为2的等比数列．‎ 又因为a3＝2a2＝4a1，从而an＝a1·2 n－1，n∈N*．‎ 显然，an＝a1·2 n－1满足题设，‎ 因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． 10分 ‎（方法二）在(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中，‎ 令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n． ①‎ 令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2， ②‎ 在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③‎ ‎②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2(－)， ④‎ ‎③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2(－)， ⑤‎ 由④⑤得a2n＋1＝． ⑥ 8分 ‎⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，‎ 所以＝＝2．又＝2，‎ 从而an＝a1·2 n－1，n∈N*．‎ 显然，an＝a1·2 n－1满足题设，‎ 因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． 10分 考点：赋值法，等比数列的证明，反证法.‎ ‎23．【内蒙古赤峰二中2016-2017学年高一下学期第二次月考】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.‎ ‎(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) an＝－ (－)n－1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项， 为公比的等比数列得证；‎ ‎（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．‎ 试题解析：‎ ‎(1)b1＝a2－a1＝1，‎ 当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－ (an－an－1)＝－bn－1，‎ ‎∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．‎ ‎ ‎ ‎24．【2017学年度第二学期江苏省扬州市高一数学期末】已知数列满足：对于任意且时，，．‎ ‎（1）若，求证：为等比数列； ‎ ‎（2）若．‎ ‎① 求数列的通项公式；‎ ‎② 是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①，②.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由等比数列的定义可证得为常数 ，则为等比数列；‎ ‎(2)由题意累加可得 ‎(3)假设存在实数k，得到关于k的不等式组，求解不等式组可得存在满足题意.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，且 ‎∴为常数 ‎ ‎∴为等比数列. ‎ ‎② 假设存在满足条件的，不妨设，‎ ‎ ∴ （*）‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ 即 由（1）得且 ∴ ∴‎ 若，代入（*），解得：（舍） ‎ ‎∴即 ∴‎ ‎∴ ∴ ∴‎ ‎∵ ∴可取 代入（*）检验，解得：‎ ‎ ∴存在满足题意．‎ ‎25．【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考】已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由得，所以。（2） （） （）‎ 所以（）且。所以得证。（3）‎ ‎（Ⅱ）证明：因为（）‎ 所以（）‎ ‎ （）‎ ‎ （）‎ 所以（）‎ 因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎ ‎ ‎26．【江苏省张家港市沙洲中学2016-2017学年高一第二学期期中】已知数列满足：‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅲ）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用条件 可求；（2）再写一式 与已知条件相减可得，即 ，从而有 ，所以可证数列 是等比数列；（3）由（2） 可得 ，进而可得数列 的通项，考查其单调性，从而求得最大值，故可求实数的取值范围. ‎ 试题解析：（I）‎ ‎（II）由题可知： ①‎ ‎ ②‎ ‎②-①可得 ‎ 即：，又 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 故有最大值 ‎ 所以，对任意，有 ‎ 如果对任意，都有，即成立，‎ 则，故有：， ‎ 解得或 ‎ 所以，实数的取值范围是