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- 2021-06-15 发布
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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题;2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 以线段A1A2为直径的圆是x2+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
所以圆心(0,0)到直线的距离d==a,整理为a2=3b2即=.
∴e=====.
答案 A
2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 ]
y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析 由题设知=,①
又由椭圆+=1与双曲线有公共焦点,
易知a2+b2=c2=9,②
由①②解得a=2,b=,则双曲线C的方程为-=1.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
解析 如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
答案 6
4.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解 设P(x,y),M(x0,y0),
则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0),
由=得x0=x,y0=y,
因为M(x0,y0)在C上,所以+=1,
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)证明 由题意知F(-1,0),设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,
=(m,n),=(-3-m,t-n),
由·=1,得-3m-m2+tn-n2=1,
又由(1)知m2+n2=2.故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥,
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
考 点 整 合
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离).
温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误.
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上);
(2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y
轴上);
(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).
3.圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e==.
②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e==.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0).
②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程x=-.
②抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,准线方程y=-.
4.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交的弦长
设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|=.
(2)过抛物线焦点的弦长
抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2017·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A
在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
(2)(2017·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,且AB∥CD,CD=2AB=4,∠ADC=60°,则点A到抛物线的焦点的距离是________.
解析 (1)依题意知c=2,=tan 60°=,又a2+b2=c2=4,解得a2=1,b2=3,
故双曲线方程为x2-=1.
(2)由题意设A(x1,1),D(x1+,2),
所以1=2px1,4=2p(x1+)⇒p=,x1=,
所以点A到抛物线的焦点的距离是x1+=+=.
答案 (1)D (2)
探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化,使解答简捷、明快.
2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
(2)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是________.
解析 (1)依题意得=,①
又a2+b2=c2=5,②
联立①②得a=2,b=1.
∴所求双曲线的方程为-y2=1.
(2)由椭圆的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.
又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,且∠PF2F1为直角,
所以S△PF1F2=|F1F2||PF2|=×2×1=.
答案 (1)A (2)
热点二 圆锥曲线的几何性质
【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
解析 (1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l的方程为+=1,即bx+cy-bc=0.
由题意=b,且a2=b2+c2,
得b2c2=b2a2,所以e==.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
由根与系数的关系得y1+y2=p,
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴p=p,即=⇒=.
∴双曲线渐近线方程为y=±x.
答案 (1)B (2)y=±x
探究提高 1.分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.
2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值,也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
【训练2】 (1)(2017·德州二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若S△AOB=2,则双曲线的离心率e=( )
A. B.
C.2 D.
(2)(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC
所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.
解析 (1)∵抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
不妨设点A在点B的上方,则A,B.
∴|AB|=.
又S△AOB=×1×=2,
∴b=2a,则c==a,
因此双曲线的离心率e==.
(2)取B为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=|OB|=2,
又∠AOB=,
∴=tan=1,即a=b.
又a2+b2=c2=8,∴a=2.
答案 (1)D (2)2
热点三 直线与圆锥曲线
命题角度1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
解 (1)如图,由已知得M(0,t),P,
又N为M关于点P的对称点,故N,
故直线ON的方程为y=x,
将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,
解得x1=0,x2=,因此H.
所以N为OH的中点,即=2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点,理由如下:
直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,
解得y1=y2=2t,
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外,直线MH与C没有其它公共点.
探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N,H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立,根据方程组的解的个数进行判断.
2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
【训练3】 (2016·江苏卷改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)当p=1时,若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ
的中点M的坐标.
解 (1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l:x-y-2=0上,
得-0-2=0,即p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)当p=1时,曲线C:y2=2x.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).
因为点P和Q关于直线l对称,
所以直线l垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为-1,设其方程为y=-x+b.
由消去x得y2+2y-2b=0.
因为P和Q是抛物线C的两相异点,得y1≠y2.
从而Δ=4-4×1×(-2b)=8b+4>0.(*)
因此y1+y2=-2,所以y0=-1.
又M(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.
所以点M(1,-1),此时b=0满足(*)式.
故线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).
命题角度2 有关弦的中点、弦长问题
【例3-2】 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)过点P(2,1),且离心率e=.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.
解 (1)∵e2===,∴a2=4b2.
又+=1,∴a2=8,b2=2.
故所求椭圆C的方程为+=1.
(2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y得x2+2mx+2m2-4=0,
判别式Δ=16-4m2>0,即m2<4.
又x1+x2=-2m,x1·x2=2m2-4,
则|AB|=×
=,
点P到直线l的距离d==.
因此S△PAB=d|AB|=××
=≤=2,
当且仅当m2=2时上式等号成立,
故△PAB面积的最大值为2.
探究提高 1.在涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|=|x2-x1|,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解,以简化运算.
2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.
【训练4】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解 由题意可知F,[来源: ]
设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,
R.
(1)证明 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,
记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,
所以k1=,k2==-b,又因为ab+1=0,
所以k1=====-b,
所以k1=k2,即AR∥FQ.
(2)解 设直线AB与x轴的交点为D(x1,0),
所以S△ABF=|a-b||FD|=|a-b|,
又S△PQF=,
所以由题意可得S△PQF=2S△ABF,
即=2×·|a-b|·,
解得x1=0(舍)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).
又=,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.
1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不等的常数,
A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭圆;B>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB<0时表示双曲线.
2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础.
3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:方法一:直接求出a,c,计算e=;方法二:根据已知条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求.
4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的,此公式可以记忆,也可以在解题的过程中,利用两点间的距离公式推导.
5.求中点弦的直线方程的常用方法
(1)点差法,设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),分别代入圆锥曲线方程,两式作差,式中含有x1+x2,y1+y2,三个量,则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系,借助弦的中点坐标即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线与圆锥曲线的方程,化为一元二次方程,用根与系数的关系求解.
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1
C. D.2
解析 因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0).
又因为PF⊥x轴,所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y=(k>0),即=2,所以k=2.
答案 D
2.(2017·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
解析 由题设知b=c=,a=2,
∴椭圆的标准方程为+=1.[来源: ]
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A. B.
C. D.
解析 由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),
将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以|PF|=3.
又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.
答案 D
4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B.
C. D.
解析 设双曲线的一条渐近线y=x,化成一般式bx-ay=0,圆心(2,0)到直线的距离为=,
又由c2=a2+b2得c2=4a2,e2=4,e=2.
答案 A
5.(2017·新乡模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点B是虚轴上的一个顶点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且||=4,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析 设A(x,y),∵右焦点为F(c,0),点B(0,b),线段BF与双曲线C的右支交于点A,且=2,
∴x=,y=,
代入双曲线方程,得-=1,且c2=a2+b2,
∴b=.
∵||=4,∴c2+b2=16,∴a=2,b=,
∴双曲线C的方程为-=1.
答案 D
二、填空题
6.(2017·北京卷)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.
解析 由题意知=e2=3,则m=2.
答案 2
7.(2017·邯郸质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|等于________.
解析 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点
F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.
答案 3
8.(2017·石家庄三模)已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M(1,t)(t>0)到焦点的距离为5,双曲线-=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为________.
解析 由题设1+=5,∴p=8.不妨设点M在x轴上方,则M(1,4),由于双曲线的左顶点A(-a,0),且直线AM平行一条渐近线,∴=,则a=3.
答案 3
三、解答题
9.(2017·佛山调研)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
解 (1)依题意可得解得
∴椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;
②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).
联立得方程组
消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,
∴x1+x2=,x1·x2=.
∴y1·y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.
∵OM⊥ON,∴·=0.
∴x1·x2+y1·y2==0,∴k=±.
故直线l的方程为y=±(x-1).
10.(2017·全国Ⅰ卷)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4.
于是直线AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.
设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.[来源:]
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为x-y+7=0.
11.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;[来源:学,科,网]
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D
作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
(1)解 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
由题意得解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明 设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).
由题设知m≠±2,且n≠0.
直线AM的斜率kAM=,
故直线DE的斜率kDE=-.
所以直线DE的方程为y=-(x-m).
直线BN的方程为y=(x-2).
联立
解得点E的纵坐标yE=-.
由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2,
所以yE=-n.
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,
S△BDN=|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.