河北省九校2019届高三上学期第二次联考试题 理科数学(解析版) 11页

河北省九校 2019 届高三上学期第二次联考试题 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知复数 z 满足( 1) 2ii z   （i 是虚数单位），则 z 的共轭复数是（ ） A．i 1 B．1 i C．1 2i D．1 i 1．答案：B 解析： 22i 2i(i 1) 2i(i 1) i i 1 i, 1 ii 1 (i 1)(i 1) 2z z               ． 2．已知集合 2{ | 2}, { | 0}M x x N x x x     ，则下列正确的是（ ） A． RM N  B． R RM N  C． R RN M  D． M N M 2．答案：B 解析： 2{ | 0} { | 0 1}N x x x x x      ，所以 { | 0R ≤N x x 或 1}≥x ，所以 R RM N  ． 3．已知向量 (1, ), (3, 2)a m b    ，且 a b b    ，则 m  （ ） A． 8 B． 6 C．6 D．8 3．答案：D 解析：因为 (1, ), (3, 2)a m b    ，所以 (4, 2)a b m    ，又 a b b    ， 所以  3 4 ( 2)( 2) 0a b b m          ，解得 8m  ． 4．圆C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线3 4 4 0x y   与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A． 2 2 2 3 0x y x    B． 2 2 4 0x y x   C． 2 2 4 0x y x   D． 2 2 2 3 0x y x    4．答案：C 解析：由题意设所求圆的方程为 2 2( ) 4 ( 0)x m y m    ，则 3 4 25 m   ，解得 2m  或 14 3m   （舍 去），故所求圆的方程为 2 2( 2) 4x y   ，即 2 2 4 0x y x   ． 5．如图，矩形的长为 6，宽为 4，在矩形内随机撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96，以此试验 数据为依据可估计出椭圆的面积为（ ） A．16.32 B．15.32 C．8.68 D．7.68 5．答案：A 解析：由题意，可估计椭圆的面积为 961 6 4 16.32300        ． 6．函数 3 2lny x xx   的单调递减区间是（ ） A．( 3,1) B．(0,1) C．( 1,3) D．(0,3) 6．答案：B 解析：定义域为(0, ) ，令 2 2 2 2 3 2 2 3 ( 3)( 1)1 0x x x xy x x x x           ，得0 1x  ． 7．将偶函数 ( ) sin(3 ) (0 )  f x x    的图象向右平移 12  个单位长度后，得到的曲线的对称中心为 （ ） A． ,0 ( )3 4 Z k k     B． ,0 ( )3 12 Z k k     C． ,0 ( )3 6 Z k k     D． 7 ,0 ( )3 36 Z k k     7．答案：A 解析：因为函数 ( ) sin(3 )f x x  为偶函数且 0    ，所以 2   ， ( )f x 的图象向右平移 12  个单 位长度后得到 ( ) sin 3 sin 312 2 4   g x x x                 ，令3 ,4 Z  x k k    ， 得 ,3 4 Z kx k   ，所以曲线 ( )y g x 的对称中心为 ,0 ( )3 4 Z k k     ． 8．执行如图所示的程序框图， 如果输入的 , ,a b k 分别为 1，2，4， 输出的 15 8M  ，那么判断框中应填入的条件为（ ） A． n k B． ≥n k C． 1n k  D． 1≥n k  开始 输入a,b,k 1n  1M a b  a b b M 1n n  输出M 结束 是 否 8．答案：A 解析： 1 3 3 2 8 3 81, 2, 4, 1 1 , 2, , 2 2 , , , 32 2 2 3 3 2 3a b k n M a b n M a b n                  3 3 15 8 15, , , 42 8 8 3 8M a b n        结束循环，输出 15 8M  ，此时 4n  ，而输入的 4k  ， 故结合选项知，判断框应填入 n k ． 9．第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出 3 名男记者和 2 名女记 者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑” 四项工作，每项工作至少一人参加，但 2 名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案书共有（ ） A．150 B．126 C．90 D．54 9．答案：B 解析：根据题意，“负重扛机”可由 1 名男记者或 2 名男记者参加，当由 1 名男记者参加“负重扛机”工 作时，有 1 3C 种方法，剩余 2 男 2 女记者可分为 3 组参加其余三项工作，共有 2 3 4 3C A 种方法，故由 1 名男记 者参加“负重扛机”工作时，共有 1 2 3 3 4 3 108C C A  种方法； 当由 2 名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余 1 男 2 女 3 名记者各参加一项工作，有 2 3 3 3 18C A  种方 法．故满足题意的不同安排方案数共有108 18 126  种． 10．若函数 ( ) xf x kx x e   有两个正实数零点，则 k 的取值范围是（ ） A．(0, ) B． 10, e      C．(0,1) D．(0, )e 10．答案：C 解析：令 ( ) 0xf x kx x e    ，得 xkx x e  ， 当 0x  时， 11 x x x ek x xe    ，令 1( ) 1 xg x xe  ，则 2 1( ) 0x xg x x e    ，所以 ( )g x 在(0, ) 上单 调递增，且当 0x  时， ( )g x   ；当 x   时， ( ) 1g x  ，作出 ( )y g x 的图象如图所示， 由题意知，直线 y k 与 ( )y g x 的图象有两个交点，所以0 1k  ． 1 O 11．已知点 ( ,0) ( 0)F c c  是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的左焦点，过 F 且平行于双曲线渐近线的 直线与圆 2 2 2x y c  交于点 F 和另一个点 P ，且点 P 在抛物线 2 4y cx 上，则该双曲线的离心率是 （ ） A． 5 B． 3 5 2  C． 5 1 2  D． 5 1 2  11．答案：C 解析：如图，由 2 2 2x y c  及 2 4y cx 及题意可取 (( 5 2) , 2 5 2 )P c c  ，又点 P 在过 F 与渐近线 平行的直线 ( )by x ca  上，所以 2 5 2 [( 5 2) ]bc c ca    ， 2 5 2 5 1 b a    ， 2 2 2 2 2 2 2 2 4( 5 2) 5 1 5 11 1 ,2 26 2 5 c a b be ea a a               ． 12．已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在平面截球面所得圆 的大小相同，若球O 的表面积为 20 ，则三棱柱的体积为（ ） A．6 3 B．12 C．12 3 D．18 12．答案：A 解析：设球O 的半径为 R ，则由 24 20R  ，得 2 5R  ，设正三棱柱的高为 h ，底面边长为 a ，五个面 截球所得小圆半径均相等，设为 r ，则 2 2 24r a h  ， 3 3r a ，所以 2 23a h ， 又 2 2 2 2 2 2 2 2 5 52 3 4 4 4 h a h h hR r h           ，可得 2h  ，所以 2 12a  ， 所以三棱柱的体积 23 3 12 2 6 34 4V a h     二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13．已知点 (sin 35 , cos35 )P   为角 终边上一点，若0 360≤   ，则  ． P F O 13．答案：55 解析：由题意知cos sin 35 cos55 , sin cos35 sin 55         ，点 P 在第一象限， 55   ． 14．已知两条不同的直线 ,m n ，两个不重合的平面 ,  ，给出下面五个命题： ① // ,  m n m n   ； ② // , , //   m n m n   ； ③ // , // // m n m n ； ④ , //   m m   ； ⑤ // , // ,   m n m n   ．其中正确命题的序号是 ． 14．答案：①④⑤ 解析：命题①，显然正确；命题②， ,m n 可能为异面，故②为假命题； 命题③，可能 n  ，故③为假命题；命题④由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真 命题；命题⑤，由 // ,m n m  ，得 n  ，又 //  ，所以 n  ，故⑤为真命题． 综上，正确的命题为①④⑤． 15．学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁 四位同学对这四项参赛作品预测如下， 甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是 C 作品获得一等奖” ． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 15．答案：B 解析：若获得一等奖的是 A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都是错； 若获得一等奖的是 B，则乙、丙两位同学说的对，符合题意； 若获得一等奖的是 C，则甲、丙、丁三位同学说的都对； 若获得一等奖的是 D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是 B． 16．已知 ABC△ 中， 2 , 7sin 4sinB A A C  ，则cos A  ． 16．答案： 11 4 解析：在 ABC△ 中，由7sin 4sinA C 及正弦定理可得7 4a c ，即 7 4c a ， 因为 2B A ，所以sin sin 2 2sin cosB A A A  ，结合正弦定理得 sincos 2sin 2 B bA A a  ， 又 2 2 2 2 2 2 249 7 49 32 cos 216 4 2 16 4 ba b c bc A b a b a a ba          ， 2 211 11,4 2b a b a   ， 11cos 2 4 bA a   ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知{ }na 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 nS ，且 nS 为 na 与 1 na 的等差中项． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 ( 1)n n n b a  ，求{ }nb 的前 n 项和 nT ． 17．解析：（1）由题意知， 12 n n n S a a  ，即 22 1n n nS a a  ， ① 当 1n  时，由①式可得 1 1S  ； 当 2n≥ 时， 1n n na S S   ，代入①式，得 2 1 12 ( ) ( ) 1n n n n nS S S S S     ， 整理得 2 2 1 1n nS S   ，所以数列 2{ }nS 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 2 1 1nS n n    ． 因为{ }na 各项均为正数，所以 nS n ，………………………………………………………………4 分 所以 1 1 ( 2)n n na S S n n n     ≥ ，又 1 1 1a S  也符合上式， 1na n n    ……6 分 （2） ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 n n n n n b n na n n          ， 当 n 为奇数时， 1 ( 2 1) ( 3 2) ( 1 2) ( 1)nT n n n n n                ； 当 n 为偶数时， 1 ( 2 1) ( 3 2) ( 1 2) ( 1)nT n n n n n               ． 所以{ }nb 的前 n 项和为 ( 1)n nT n  ．………………………………………………………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 等边三角形 ABC 的边长为 3，点 ,D E 分别是边 ,AB AC 上的点，且满足 1 2 AD CE DB EA  ，如图甲，将 ADE△ 沿 DE 折起到 1A DE△ 的位置，使二面角 1A DE B  为直二面角，连接 1 1,A B AC ，如图乙． （1）求证： BD  平面 1A DE ． （2）在线段 BC 上是否存在点 P ，使平面 1PA E 与平面 1A BD 所成的角为 60 ？若存在，求出 PB 的长； 若不存在，请说明理由． A B C D E E CB D A1 甲 乙 18．解析：（1）因为等边三角形 ABC 的边长为 3，且 1 2 AD CE DB EA  ，所以 1, 2AD AE  ， 在 ADE△ 中， 60DAE   ，由余弦定理得 2 2 21 2 2 1 2 cos 60 3DE         ， 从而 2 2 2AD DE AE  ，所以 AD DE ，即 BD DE ．……………………………………2 分 因为二面角 1A DE B  是直二面角，所以平面 1A DE  平面 BCED ， 又平面 1A DE  平面 ,BCDE DE BD DE  ，所以 BD  平面 1A DE ．…………………………6 分 （2）存在． 由（1）的证明可知， 1, ,BD DA DE 两两垂直，以 D 为坐标原点，分别以 1, ,DB DE DA 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ． 设 2PB a ，作 PH BD 于点 H ，连接 1 1, ,A H A P PE ，则 , 3 , 2BH a PH a DH a    ， 所以 1(0,0,0), (0,0,1), (2 , 3 , 0), (0, 3,0)D A P a a E ， 所以 1 1(2 , 3 , 1), (0, 3, 1)A P a a A E       ， 显然平面 1A BD 的一个法向量为 (0,1,0)m   ，设 ( , , )n x y z 为平面 1PA E 的一个法向量， 由 1 1 (2 ) 3 0 3 0 n A P a x ay z n A E y z                ，得 3 (2 ) 3( 1) 0 z y a x a y       ， 取 2y a  ，则 3( 1)x a  ， 3( 2)z a  ， ( 3( 1), 2, 3( 2))n a a a     ，……8 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 1cos 60 cos , 23( 1) ( 2) 3( 2) 3( 1) 4( 2) m n a am n m n a a a a a                        ， 2 2 23( 1) 4( 2) 4( 2)a a a      ，解得 1a  ． 所以存在点 P ，且 2PB  ，使平面 1PA E 与平面 1A BD 所成的角为60 ．…………………………12 分 E CB D A1 x y z P 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    的离心率为 2 2 ，点 (0,1)P 在短轴CD 上，且 1PC PD     ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 P 的直线l 与椭圆 E 交于 ,A B 两点，若 1 2PB AP   ，求直线l 的方程． 19．（1）由题意知， 2 2 ce a  ，得 2 2a c b  ，不妨取 (0, ), (0, )C b D b ，则 2 2( 1)( 1) 1 1, 2, 2PC PD b b b b a               ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 2 x y  ．……………………………………………………………………4 分 （2）当直线l 的斜率不存在时， 1(0, 2 1), (0, 2 1), 2PB AP PB AP         ，不符合题意．…6 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 1y kx  ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ． 联立方程得 2 2 14 2 1 x y y kx       ，整理得 2 2(1 2 ) 4 2 0k x kx    ， 由根与系数的关系，得 1 2 1 22 2 4 2,1 2 1 2 kx x x xk k      ，……………………………………8 分 由 1 2PB AP   ，得 2 2 1 1 2 1 1 1( , 1) ( ,1 ),2 2x y x y x x       ， 2 1 12 2 8 4,1 2 1 2 k kx xk k     ，解得 2 1 14,14 14k k    ， 所以直线l 的方程为 14 114y x   ．……………………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 1 3 ，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试 验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果 种子没有发芽，则称该次试验是失败的． （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望； （3）第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连 续失败的概率． 20．解析：（1）该小组恰有两次失败的概率 2 2 2 4 1 2 24 8 3 3 81 27P C             ．…………………………3 分 （2）由题意可知 X 的取值集合为{0,2,4}， 则 2 2 2 4 1 2 24 8( 0) 3 3 81 27P X C              ， 3 3 1 3 4 4 1 2 1 2 32 8 40( 2) 3 3 3 3 81 81P X C C                   ， 4 42 1 16 1 17( 4) 3 3 81 81P X               ．………………………………………………………………7 分 故 X 的分布列为： X 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 8 40 17 148( ) 0 2 427 81 81 81E X        ，即所求的数学期望为148 81 ．………………………………9 分 （3）由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有 3 6 20C  （个）基本事件，而满足恰 有两次连续失败的基本事件共有 2 4 12A  （个），从而由古典概型可得所求概率 12 3 20 5P   ．……12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) xf x xe x ax b    ，曲线 ( )y f x 在点(0, (0))f 处的切线方程为 4 2 3 0x y   ． （1）求 ,a b 的值； （2）证明： ( ) lnf x x ． 21．解析：（1） ( ) ( 1) 2xf x x e a a     ，由题意知 (0) 1 2 3(0) 2 f a f b        ， 解得 31, 2a b   ．…………………………………………………………………………………………4 分 （2）由（1）知 2 3( ) 2 xf x xe x x    ，设 2( ) lnxh x xe x x x    ，则只需证明 3( ) 2h x  ． 21 2 1 ( 1)(2 1) 1( ) ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2x x x xx x x xh x x e x x e x e x ex x x x                        ， 设 1( ) 2xg x e x   ，则 2 1( ) 0, ( )xg x e g xx      在(0, ) 上单调递增． 11 341 12 4 0, 2 3 04 3g e g e                  ，存在 0 1 1,4 3x     ，使得 0 0 0 1( ) 2 0xg x e x    ， 且当 0(0, )x x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )g x h x h x  单调递减， 当 0( , )x x  时， ( ) 0, ( ) 0, ( )g x h x h x  单调递增， 0 2 min 0 0 0 0 0( ) ( ) lnxh x h x x e x x x      ，由 0 0 12 0xe x   ，得 0 0 1 2xe x  ， 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) 2 ln 1 lnh x x x x x x x xx               ．……………………………………9 分 设 2 1 1( ) 1 ln , ,4 3x x x x x         ，则 1 (2 1)( 1)( ) 2 1 x xx x x x       ， 所以当 1 1,4 3x     时， ( ) 0, ( )x x   在 1 1,4 3      上单调递减， 2 0 0 1 1 1 1 7 3( ) ( ) 1 ln ln 33 3 3 3 9 2h x x                     ， 因此 3( ) 2h x  ，即 ( ) lnf x x ．………………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 2: sin 2 cos  C a ( 0)a  ，过点 ( 2, 4)P   的直线 22 2: 24 2 x t l y t         （t 为参数）与曲线C 相交于 ,M N 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若 , ,PM MN PN 成等比数列，求实数 a 的值． 22．解析：（1）由 2sin 2 cosa   ，得 2 2sin 2 cosa    ，由 cos , sinx y     ， 得曲线C 的直角坐标方程为 2 2 ( 0)y ax a  ，……………………………………………………3 分 由 22 2 24 2 x t y t         （t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为 2 0x y   ．…………………5 分 （2）将 22 2 24 2 x t y t         （t 为参数）代入 2 2y ax ，整理得 2 2 2(4 ) 8(4 ) 0t a t a     ．……7 分 设 ,M N 两点对应的参数分别为 1 2,t t ，则 1 2 1 22 2(4 ), 8(4 )t t a t t a     ，………………8 分 由题意知， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) 4MN PM PN t t t t t t t t        ， 2 1 2 1 2( ) 5t t t t   ， 28(4 ) 5 8(4 ), 1a a a       ．……………………………………………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1 1f x x x    ． （1）解不等式 ( ) 2f x  ； （2）记函数 ( ) ( ) ( )g x f x f x   ，若对任意的 Rx ，不等式 1 ( )k g x  恒成立，求实数 k 的取值范 围． 23．解析：（1）依题意得 13 , 2 1( ) 2, 12 3 , 1 x x f x x x x x           ≤ ≥ ， 于是得 1 2 3 2 x x     ≤ 或 1 12 2 2 x x       或 1 3 2 x x    ≥ ，解得 2 3x   或 0 1x  或 1x≥ ． 故不等式 ( ) 2f x  的解集为 2, (0, )3        ．……………………………………………………5 分 （2） ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 ( 1) ( 1) (2 1) (2 1) 4g x f x f x x x x x x x x x                  ≥ 当且仅当 ( 1)( 1) 0 (2 1)(2 1) x x x x      ≤ ≤0 ，即 1 1,2 2x      时取等号， 若对任意的 Rx ，不等式 1 ( )k g x  恒成立，则 min1 ( ) 4k g x   ，所以 4 1 4k    ， 解得 3 5k   ，即实数 k 的取值范围为 ( 3, 5) ．……………………………………………………10 分