【数学】2020届一轮复习人教A版算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入学案 11页

易错点1 忽略判断框内的条件 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为 .‎ ‎【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546.‎ ‎【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S＋29＋9.‎ ‎【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数.‎ ‎1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.‎ ‎2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.#‎ ‎1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】本题考查循环结构的程序框图，考查考生的运算能力.一般以选择题或填空题的形式出现，常考查循环结构的程序框图，循环体执行的次数是这类题的易错之处，考生应多加注意.当循环次数不多时，可以逐次列举，力争不失分.‎ 易错点2 误将类比所得结论作为推理依据 已知都是非零实数,不等式的解集分别为M,N,则“”是“M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种). ‎ ‎【错解】由知两个不等式同解,即“”是“M=N ”成立的充要条件.‎ ‎【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别. ‎  类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.%‎ ‎2． 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，bR，则a−b=0⇒a=b”类比推出“若a，bC，则a−b=0⇒a=b”；‎ ‎②“若a，b，c，dR，则复数a＋bi=c＋di⇒a=c，b=d”类比推出“若a，b，c，dQ，则a＋b=c＋d⇒a=c，b=d”；‎ ‎③若“a，bR，则a−b>0⇒a>b”类比推出“若a，bC，则a−b>0⇒a>b”．‎ 其中类比结论正确的个数是 A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小，故选C.‎ 错点3 小前提错误 判断函数的单调性． ‎ ‎【错解】指数函数是增函数，而是指数函数，所以函数是增函数． ‎ ‎【错因分析】错解中的小前提“是指数函数”是错误的，函数不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．‎ 演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.‎ ‎3．某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为 A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎【答案】C ‎【解析】∵大前提的形式是：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴‎ 推理形式错误．‎ ‎【名师点睛】演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.‎ 错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明:关于x的方程无实数根.‎ ‎【错解】假设方程有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得，而关于x的方程的根的判别式.‎ ∵,∴，∴,即关于x的方程无实数根.‎ ‎【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.&‎ ‎【试题解析】假设方程有实数根，则该方程的根的判别式，解得或 ①,而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得 ②.‎ 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程无实数根.‎ 利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立.‎ ‎4．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是 A．自然数a，b，c中至少有两个偶数 B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．自然数a，b，c都是奇数 D．自然数a，b，c都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】“恰有一个偶数”的反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”，故选B.‎ 错点5 数归纳法的应用误区——归纳假设只设不用 用数归纳法证明：.‎ ‎【错解】（1）当时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.‎ ‎（2）假设当时等式成立,即.‎ 那么，当时,需证 (*).‎ 由于等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前k+1项的和,所以左边=‎ ‎=右边,所以(*)式成立.‎ 即时等式成立,‎ 根据（1）和（2）,可知等式对任何都成立.‎ ‎【错因分析】错解在证明当等式成立时,没有用到归纳假设“当时等式成立”,故不符合数归纳法证题的要求.‎ ‎【试题解析】（1）当时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.‎ ‎（2）假设当时等式成立,即.‎ 那么，当时, ‎ ‎.‎ 即当时等式成立. ‎ 根据（1）和（2）,可知等式对任何都成立.‎ 判断用数归纳法证明数问题是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的.‎ ‎5．用数归纳法证明：.‎ ‎【答案】见解析.‎ 错点6 对复数的相关概念不理解出错 设复数a＋bi（a，b∈R）的模为，则（a＋bi）（a－bi）= .‎ ‎【错解】复数a＋bi的模为，则a2＋b2=.又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2=，故（a＋bi）（a－bi）=..‎ ‎【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z=a＋bi的模|z|=，故应为a2＋b2=3.‎ ‎【试题分析】复数a＋bi（a，b∈R）的模为，则a2＋b2=3，则（a＋bi）（a－bi）=a2－（bi）2=a2－b2i2=a2＋b2=3.‎ 复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.‎ ‎1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.‎ ‎2. 对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.‎ ‎3. 两个虚数不能比较大小.‎ ‎4. 利用复数相等a＋bi=c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.‎ ‎5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2∈C，=0，就不能推出z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.‎ ‎6．若复数z满足2z+=3-2i，其中i为虚数单位，则z=‎ A.1+2i B.1－2i C.－1+2i D.－1－2i ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】通性通法:设z=a+bi（a，b∈R），则=a-bi，故2z+=2（a+bi）+a－bi=3a+bi=3－2i，所以，‎ 解得，所以z=1－2i，故选B.‎ 光速解法:设z=a+bi（a，b∈R），由复数的性质可得z+=2a，故2z+=（z+）+z，故2z+的虚部就是z的虚部，实部是z的实部的3倍，故z=1-2i，选B.&‎ ‎【名师点睛】本题考查复数的概念、加法运算、复数相等等知识，意在考查考生基本的运算能力.常以选择题的形式考查，考生必定得分的题目之一.‎ 一、算法初步 ‎1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.‎ ‎2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.‎ ‎3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序.‎ ‎4. 关于赋值语句，有以下几点需要注意：‎ ‎（1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.‎ ‎（2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.‎ ‎（3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.‎ 二、推理与证明 ‎1．常见的类比、归纳推理及求解策略 ‎（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．‎ ‎（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.‎ ‎2．利用综合法、分析法证明问题的策略 ‎（1）综合法的证明步骤如下：①分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等；②转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.‎ ‎（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.‎ ‎（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.‎ ‎3．用反证法证明不等式要把握的三点 ‎（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．‎ ‎（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.‎ ‎（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.‎ ‎4．反证法的一般步骤 用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤: ‎（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真; ‎（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾; ‎（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.‎ ‎5．应用数归纳法的常见策略 ‎（1）应用数归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由n=k到n=k＋1时等式两边变化的项．‎ ‎（2）应用数归纳法证明不等式，关键是由n=k成立证n=k＋1时也成立．在归纳假设后应用比较法、综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧．‎ ‎（3）应用数归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数归纳法的综合应用，关键是先由合情推理发现结论，然后再证明结论的正确性.‎ 三、数系的扩充与复数的引入 ‎1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.‎ ‎2. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.‎ ‎3. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即 ‎4. 复数运算常用的性质：‎ ‎（1）①（1±i）2=±2i；②i，i.‎ ‎（2）设ω=，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③=ω2.‎ ‎（3）in＋in＋1＋in＋2＋in＋3=0（n∈N*）.‎