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  • 2021-06-15 发布

甘肃省岷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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数学(理科)‎ ‎(时间120分钟,分值150分)‎ ‎ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上) ‎ ‎1.设集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.不等式的解集为(  )‎ A. B.‎ C.∪[1,+∞) D.∪[1,+∞)‎ ‎3. 已知命题甲:动点到两定点的距离之和,其中为大于0的常数;命题乙:点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的(  )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.记等差数列的前项和为 .若则(  )‎ A.16    B.24 C. 36   D. 48‎ ‎5.在,则∠等于(  )‎ A.30°或150° B.60° C.60°或120° D.30°‎ ‎6. 已知一个等比数列的前项和为48,前项和为60,则前项和为(  )‎ A. 63    B. 108    C. 75    D. 83‎ ‎7.已知锐角的内角的对边分别为等于(  )‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. 5‎ ‎8. 若抛物线上有两点,且垂直于轴,若,则抛物线的焦点到直线的距离为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 一只蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂(  )‎ A.55986只 B.46656只 C.216只 D. 36只 ‎10.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段 的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知是双曲线的左、右焦点,点在上,与轴垂直,,则的离心率为( ) ‎ A. B. C. D.2‎ ‎12.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则等于(  )‎ A.1 B. C.2 D.3 ‎ ‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.)‎ 13. ‎ 命题“若则”的逆否命题为______________.‎ 13. 已知各项均为正数的等比数列中,,则的值为______________.‎ ‎15.设集合S={|||},T={},S∪T=R,则的取值范围是____________.‎ ‎16.过双曲线:的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交于点,若点的横坐标为,则的离心率为________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)在锐角中,内角所对的边分别为.已知.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)若,且,求的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)求适合下列条件的曲线的标准方程.‎ ‎(1)经过点,且一条渐近线方程为的双曲线;‎ ‎(2)两个焦点坐标分别为,并且经过点的椭圆.‎ ‎19.已知正项等比数列,,与的等比中项为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,数列的前项和为.‎ ‎20.(本小题满分12分)如图所示,港口在港口正东方向120海里处,小岛在港口北偏东60°方向,且在港口北偏西30°方向上,一艘科学考察船从港口出发,沿北偏东30°的方向以20海里/时的速度行驶,一艘快艇从港口出发,以60海里/时的速度驶向小岛,在岛装运补给物资后给考察船送去,现两船同时出发,补给物资的装船时间为1小时,则快艇驶离港口后,最少要经过多少小时才能和考察船相遇?‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为, 的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.求证:为定值.‎ ‎22.(本小题满分12分)设函数.‎ ‎ (1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 参考答案(理科)‎ 一、选择题:(每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D C A D A B C A B 二、填空题:(每小题5分,共20分)‎ ‎13.若 中至少有一个为0,则 ‎ ‎14. 100 15. 16. ‎ 三、解答题:‎ ‎17.解:【解析】解 (1)由a=2csinA及正弦定理,‎ 得==.‎ ‎∵sinA≠0,∴sinC=.‎ 又∵△ABC是锐角三角形,∴C=.…………………………………………5分 ‎(2) c=,C=,‎ 由面积公式,得absin=,‎ 即ab=6,①…………………………………………7分 由余弦定理,得a2+b2-2abcos=7,‎ 即a2+b2-ab=7,②…………………………………………9分 由②变形得(a+b)2=3ab+7,③‎ 将①代入③得(a+b)2=25,故a+b=5.………………………………12分 ‎18.解:(1)因渐近线为4x+3y=0,故可设双曲线的方程为16x2-9y2=k,‎ 将代入得,k=225-81=144.‎ 代入①并整理得-=1.故所求双曲线的标准方程为-=1‎ ‎……………………………6分 ‎(2)因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.‎ ‎ 由椭圆的定义知,所以 又因为.‎ 因此,所求椭圆标准方程为 ...................12‎ ‎19.(1)因为正项等比数列,所以,设公比为,则.‎ 又因为与的等比中项为,所以,即,由,得,‎ 于是,数列的通项公式为.…………………………………………………4分 ‎(2)由题可知,,……………………………………………………5分 于是,——①‎ ‎ —②………………………………………6分 由①②,得 ‎…………………………………………8分 ‎ ‎ ‎.……………………………………………10分 解得………………………………………………………………12分 ‎20解 设快艇驶离港口B后,经过x小时,在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示,连接CD,则快艇沿线段BC,CD航行.在△OBC中,由题意得∠BOC=30°,∠CBO=60°,‎ 所以∠BCO=90°.………………………………………………………3分 因为BO=120,所以BC=60,OC=60.‎ 故快艇从港口B到小岛C需要1小时,所以x>1.………………6分 在△OCD中,由题意得∠COD=30°,OD=20x,CD=60(x-2).‎ 由余弦定理,得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD,‎ 所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-2×20x×60×cos 30°.‎ 解得x=3或x=,因为x>1,所以x=3.…………10分 所以快艇驶离港口B后,至少要经过3小时才能和考察船相遇.………………………12分 ‎21.(1)解 由题意,得解得 所以椭圆C的方程为+y2=1.…………………………………………5分 ‎(2)证明 由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则+4=4.‎ 当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).………………………6分 令x=0,得yM=-,‎ 从而|BM|=|1-yM|=|1+|.‎ 直线PB的方程为y=x+1.…………………………………………8分 令y=0,得xN=-,‎ 从而|AN|=|2-xN|=|2+|.‎ 所以|AN|·|BM|=|2+|·|1+|=‎ ‎==4.…………………………………………10分 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2.‎ 所以|AN|·|BM|=4.…………………………………………11分 综上,|AN|·|BM|为定值.…………………………………………12分 ‎22.解:(本小题满分12分)‎ ‎(1)解析:当时, 可得的解集为 ‎.…………………………………………5分 (2) 等价于 ‎ 而,且当时等号成立.故等价于.由可得所以的取值范围是…………………………………………10分

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