甘肃省岷县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 8页

数学（理科）‎ ‎（时间120分钟，分值150分）‎ ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) ‎ ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．不等式的解集为(　　)‎ A． B．‎ C．∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)‎ ‎3. 已知命题甲：动点到两定点的距离之和，其中为大于0的常数；命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4.记等差数列的前项和为 .若则(　　)‎ A．16　　　 B．24 C． 36　　 D． 48‎ ‎5.在，则∠等于(　　)‎ A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°‎ ‎6. 已知一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为(　　)‎ A． 63　　　 B． 108　　　 C． 75　　　 D． 83‎ ‎7.已知锐角的内角的对边分别为等于(　　)‎ A． 10 B． 9 C． 8 D． 5‎ ‎8. 若抛物线上有两点，且垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线的距离为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 一只蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)‎ A．55986只 B．46656只 C．216只 D． 36只 ‎10.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段 的中点到轴的距离为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（ ） ‎ A． B． C． D．2‎ ‎12.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则等于(　　)‎ A．1 B． C．2 D．3 ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）‎ 13． ‎ 命题“若则”的逆否命题为______________.‎ 13． 已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为______________.‎ ‎15．设集合S＝{|||}，T＝{}，S∪T＝R，则的取值范围是____________．‎ ‎16．过双曲线：的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知.‎ ‎(1)求角的值；‎ ‎(2)若，且，求的值．‎ ‎18.（本小题满分12分）求适合下列条件的曲线的标准方程．‎ ‎(1)经过点，且一条渐近线方程为的双曲线；‎ ‎(2)两个焦点坐标分别为，并且经过点的椭圆.‎ ‎19.已知正项等比数列，，与的等比中项为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，数列的前项和为.‎ ‎20.（本小题满分12分）如图所示，港口在港口正东方向120海里处，小岛在港口北偏东60°方向，且在港口北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东30°的方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口出发，以60海里/时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为， 的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值．‎ ‎22.（本小题满分12分）设函数．‎ ‎ (1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若，求的取值范围．‎ 参考答案（理科）‎ 一、选择题：(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D C A D A B C A B 二、填空题：(每小题5分，共20分)‎ ‎13.若 中至少有一个为0，则 ‎ ‎14. 100 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：【解析】解　(1)由a＝2csinA及正弦定理，‎ 得＝＝.‎ ‎∵sinA≠0，∴sinC＝.‎ 又∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.…………………………………………5分 ‎(2)　c＝，C＝，‎ 由面积公式，得absin＝，‎ 即ab＝6，①…………………………………………7分 由余弦定理，得a2＋b2－2abcos＝7，‎ 即a2＋b2－ab＝7，②…………………………………………9分 由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7，③‎ 将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.………………………………12分 ‎18.解：（1）因渐近线为4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为16x2－9y2＝k，‎ 将代入得，k＝225－81＝144.‎ 代入①并整理得－＝1.故所求双曲线的标准方程为－＝1‎ ‎……………………………6分 ‎（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.‎ ‎ 由椭圆的定义知，所以 又因为.‎ 因此，所求椭圆标准方程为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12‎ ‎19.（1）因为正项等比数列，所以，设公比为，则.‎ 又因为与的等比中项为，所以，即，由，得，‎ 于是，数列的通项公式为.…………………………………………………4分 ‎（2）由题可知，，……………………………………………………5分 于是，——①‎ ‎ —②………………………………………6分 由①②，得 ‎…………………………………………8分 ‎ ‎ ‎.……………………………………………10分 解得………………………………………………………………12分 ‎20解　设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中，由题意得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，‎ 所以∠BCO＝90°.………………………………………………………3分 因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60.‎ 故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.………………6分 在△OCD中，由题意得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2).‎ 由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，‎ 所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.‎ 解得x＝3或x＝，因为x>1，所以x＝3.…………10分 所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.………………………12分 ‎21.(1)解　由题意，得解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.…………………………………………5分 ‎(2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则＋4＝4.‎ 当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．………………………6分 令x＝0，得yM＝－，‎ 从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1.…………………………………………8分 令y＝0，得xN＝－，‎ 从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|.‎ 所以|AN|·|BM|＝|2＋|·|1＋|＝‎ ‎＝＝4.…………………………………………10分 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2.‎ 所以|AN|·|BM|＝4.…………………………………………11分 综上，|AN|·|BM|为定值．…………………………………………12分 ‎22.解：（本小题满分12分）‎ ‎（1）解析：当时， 可得的解集为 ‎．…………………………………………5分 （2） 等价于 ‎ 而，且当时等号成立．故等价于．由可得所以的取值范围是…………………………………………10分