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- 2021-06-15 发布
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临沂第十九中学2017-2018学年高二上学期第二次学情调研考试数学卷
一、选择题
1.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4 B. C.4 D.
3.等差数列{an}前n项和为Sn,公差d=﹣2,S3=21,则a1的值为( )
A.10 B.9 C.6 D.5
4.在△ABC中,若b2+c2﹣a2=bc,则角A的值为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.无穷数列1,3,6,10…的通项公式为( )
A.an= B.an= C.an=n2﹣n+1 D.an=n2+n+1
6.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9等于( )
A.30 B.24 C.18 D.12
7.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=4,满足条件的△ABC( )
A.无解 B.有解 C.有两解 D.不能确定
8.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9. 两个等差数列{an}和{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,且 ,则 等于( )
A. B. C. D.
10.在△ABC中,acosA=bcosB,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
11.某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为8海里,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为( )
A.20海里 B.8海里 C.23海里 D.24海里
12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S19>0,S20<0,则,,,…,中最大项为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则∠B的大小是 .
14.已知数列{an}的前n项和Sn满足4an﹣3Sn=2,其中n∈N*.则数列{an}的通项公式为 .
15.在△ABC中,角A, B,C的对边分别为a,b,c,且,
则cosC﹣2sinB的最小值为 .
16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为 .若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为 .
三、解答题
17.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
(1)求角B的大小;
(2)若b=,且△ABC的面积为,求a+c的值.
18.已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.
19.在△ABC中,A、B、C的对边分别为a,b,c,已知A≠,且3sinAcosB+bsin2A=3sinC.
(I)求a的值;
(Ⅱ)若A=,求△ABC周长的最大值.
20.Sn表示等差数列{an}的前n项的和,且S4=S9,a1=﹣12
(1)求数列的通项an及Sn;
(2)求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
21.如图,某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地,图中∠B=,AB=a,BC=a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A'MN).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点M与点A,B均不重合,A'落在边BC上且不与端点B,C重合,设∠AMN=θ.
(1)若θ=,求此时公共绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN,A'N的长度最短,求此时绿地公共走道MN的长度.
22.已知数列的前n项和为,点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前n项和为,并求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
一、选择题 DABBA BABDC BC
二、填空 13. 14. 15. ﹣1 16.
17.解:(1)由正弦定理可得,,可得2cosBsinA=sin(B+C),
∵A+B+C=π,
∴2cosBsinA=sinA,
∴cosB=,
∵B为三角形的内角,
∴B=…6分
(2)b=,B=,由面积公式可得: =,即ac=6,①
由余弦定理,可得: =7,即a2+c2﹣ac=7②,
由②变形可得:(a+c)2=3ac+7,③
将①代入③可得(a+c)2=25,故解得:a+c=5…12分
18.解:(Ⅰ)由题设,,两式相减
,由于,所以 …………6分
(Ⅱ)由题设=1,,可得,由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,{}为等差数列:由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得{}为等差数列. ………12分
19.解:(I)∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC,
∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB,
∴bsinAcosA=3cosAsinB,
∴ba=3b,
∴a=3;
(Ⅱ)由正弦定理可得==,
∴b=2sinB,c=2sinC
∴△ABC周长=3+2(sinB+sinC)=3+2 [sin(﹣C)+sinC]=3+2sin(+C)
∵0<C<,
∴<+C<,
∴<sin(+C)≤1,
∴△ABC周长的最大值为3+2.
20.解:(1)∵S4=S9,a1=﹣12,
∴4×(﹣12)+6d=9×(﹣12)+36d
解得d=2…
∴…
(2)当n≤6时,an<0,|an|=﹣an,
Tn=﹣(a1+a2+…=13n﹣n2,…
当n≥7时,an≥0,
Tn=﹣(a1+a2+…+a6)+(a7+…
=Sn﹣2(a1+a2+…+a6)
=n2﹣13n+84…
21.解:(1)∵△AMN≌△A'MN,∴∠AMN=∠A′MN=,
∴∠BMA′=,∴BM=A′M=AM.
∴AM==,
∵AB=a,BC=,∠B=,∴∠A=,
∴△AMN是等边三角形,
∴S=2S△AMN=2×=.
(2)∵∠BMA′=π﹣2θ,AM=A′M,
∴BM=A′Mcos∠BMA′=﹣AMcos2θ.
∵AM+BM=a,即AM(1﹣cos2θ)=a,
∴AM==.
在△AMN中,由正弦定理可得:,
∴,
令f(θ)=2sinθsin(﹣θ)=2sinθ(cosθ+sinθ)=sin2θ+=sin(2θ﹣)+.
∵,∴当即时f(θ)取最大值,
∴当θ=时AN最短,此时△AMN是等边三角形,.
22.解:(Ⅰ)由题意,得 …………1分
故当时, …………4分
当n=1时,, 所以 . …………5分
(Ⅱ). …………6分
所以.…8分
由于,因此单调递增, …………9分
故.令,得,所以. …………12分