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- 2021-06-15 发布
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二 项 式 定 理
问题
:
(1)
今天是星期五,那么
7
天后
(4)
如果是
天后的这一天呢?
的这一天是星期几呢
?
(2)
如果是
15
天后的这一天呢?
(星期六)
(星期五)
(3)
如果是
24
天后的这一天呢?
(星期一)
回顾:
观察下面两个公式,从右边的项数、每项的
次数、系数进行研究,你会发现什么规律?
项数比左边次数多
1
;每项次数均为
左边指数,
a,b
指数
a
降
b
升;系数
尝试二项式定理的发现
:
猜想:
(a+b)
4
= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
展开后,会是什么样呢?你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗?
①
展开式中,每一项是怎样得到的?
②
既然这样,每一项的次数都应为几次?
(
4
次)
展开后具有哪些形式的项呢?
(a
4
,
a
3
b
,
a
2
b
2
,
ab
3
,
b
4
)
探索:
(a+b)
4
= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
在上面
4
个括号中:
每个都不取
b
,有
种取法,
a
4
的系数
恰有1个取
b
,有
种取法,
a
3
b
的系数
③
每一项在展开式中出现多少次,也就是展开式中各项
系数为什么?
恰有2个取
b
,有
种取法,
a
2
b
2
的系数
恰有3个取
b
,有
种取法,
ab
3
的系数
4个都取
b
, 有
种取法
, b
4
的系数
因此:
特点:
项数比次数多
1
;每项次数为左边指数
4
,
a
降
b
升;
系数为
按上述规律,我们能将
(a+b)
n
展开吗?
(一)二项式定理:
右边多项式叫
(a+b)
n
的二项展开式;
叫二项式系数;
叫二项展开式的通项,
用
T
r+1
表示即:
T
r+1
=
1
、弄清定理结构特征:项数:
n+1
次数:
n
,
a
降
b
升,和为
n
系数:
2
、二项式系数与项的系数不同
二项式系数是组合数,而项的系数是该项的数字因数
3
、①通项公式可用求展开式中任意一项,求时必需
明确
r=
?,一般地,比所说的第几项少
1
②
通项是针对
(a+b)
n
的标准形式而言,而
(b+a)
n
,
(a-b)
n
的通项则分别为
:
注意:
4
、
在定理中,令
a=1
,
b=x
,则
尝试二项式定理的应用:
例
1
:
尝试二项式定理的应用:
练习:
第三项的系数是
,
第三项的二项式系数是
。
解
:
例
2
:展开
(先化简,再展开)
计算出结果即可
例
3
:求
(x+a)
12
展开式中倒数第
4
项
分析:倒数第
4
项,是第几项?用通项公式时,
r=
?
解:展开式共
13
项,倒数第
4
项为它的第
10
项
T
9+1
=
例
4
求 展开式中的有理项
解
:
令
原式的有理项为
:
有
常
数
项
吗
?
求二项展开式的某一项
,
或者求满足某种条
件的项
,
或者求某种性质的项
,
如含有
x
项
的系数
,
有理项
,
常数项等
,
通常要用到二项
式的通项求解
.
注意
(1)
二项式系数与系数的区别
.
(2)
表示第 项
.
3
例题点评
问题探究
:
(1)
今天是星期五,那么
7
天后
(4)
如果是
天后的这一天呢?
的这一天是星期几呢
?
(2)
如果是
15
天后的这一天呢?
(星期五)
(3)
如果是
24
天后的这一天呢?
(星期六)
(星期一)
问题探究
:
余数是
1
,
所以是
星期六
(3)
今天是星期五,那么 天后
的这一天是星期几?
探究:
若将 除以
9
,则得到的余数是多少?
所以
余数是
1
,
思考:
若将 除以
9
,则得到的余数还是
1
吗?
1
、二项式定理及结构特征
2
、二项式系数与项系数不同
作用:求任一项;求某一项系数
关键:明确
r
3
、通项公式
T
r+1
=
4
、定理特例
小结: