2017-2018学年湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试数学（理）试题 12页

‎2017-2018学年湖南省益阳市第六中学高二上学期期中考试 数 学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是，则等于(　　)‎ A. B. C． D．‎ ‎4．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）‎ A. B. C． D．‎ ‎5．为了调查教师对第十九大了解程度，益阳市拟采用分层抽样的方法从三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知学校中分别有180,270,90名教师，则从学校中抽取的人数为（ ）‎ A. B. C． D．‎ ‎6．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是 ‎15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有(　　)‎ A. B. C． D．‎ ‎7．下列各组数中最小的数是（ ）‎ A. B. C． D．‎ ‎8．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)‎ 是 否 A. B. C． D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是(　　) ‎ A. B. C． D．‎ ‎11．下列判断错误的是(　　) ‎ ‎ A.命题“若则”与命题“若”互为逆否命题 ‎ B. “”是“”的充要条件 ‎ C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假 D．命题“或”为真（其中为空集）‎ ‎12. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)‎ A. B. C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知命题：，则是 .‎ ‎14．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于 .‎ ‎15．已知是两个命题，如果是的充分条件，那么是的 条件.‎ ‎16．设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于，若，则椭圆的离心率等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为 求 ‎（1）双曲线C的方程；‎ ‎（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程 ‎18．（12分）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ ‎19．（12分）设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．‎ ‎（1）如果是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围 ‎20．（12分）益阳市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 人数 ‎24‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎14‎ 赞成人数 ‎12‎ ‎14‎ ‎3‎ ‎（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若从年龄在内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自内的概率.‎ ‎21． (12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据: ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？‎ ‎（注：)‎ ‎22．（12分）如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线：y＝x＋2与以原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(0,2)的直线与椭圆C交于G，H两点，设直线的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形？如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 参考答案 数 学（理科）‎ 姓名： 班级： ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则（A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ B ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是，则等于(　D　)‎ A. B. C． D．‎ ‎4．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ B ）‎ A. B. C． D．‎ ‎5．为了调查教师对第十九大了解程度，益阳市拟采用分层抽样的方法从三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知学校中分别有180,270,90名教师，则从学校中抽取的人数为（ A ）‎ A. B. C． D．‎ ‎6．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有(　D　)‎ A. B. C． D．‎ ‎7．下列各组数中最小的数是（ A ）‎ A. B. C． D．‎ ‎8．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　C　)‎ A. B. C． D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是(　B　) ‎ A. B. C． D．‎ ‎11．下列判断错误的是(　B　) （ B ）‎ ‎ A.命题“若则”与命题“若”互为逆否命题 ‎ B. “”是“”的充要条件 ‎ C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假 D．命题“或”为真（其中为空集）‎ ‎12. 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　B　)‎ A. B. C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知命题，则是 .‎ ‎14．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是男生或都是女生的概率等于 .‎ ‎15．已知是两个命题，如果是的充分条件，那么是的 必要 条件.‎ ‎16．设椭圆 的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于，若，则椭圆的离心率等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为 求 ‎（1）双曲线C的方程；‎ ‎（2）写出双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、渐近线方程 分析（1）解：设双曲线方程为 ‎ 由已知得 故双曲线C的方程为 ‎ （2）离心率；实轴长；虚轴长；渐近线方程 ‎18．（12分）抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ 分析：由题意，得抛物线方程为x2＝2ay (a≠0)．‎ 设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，‎ 则|MA|＝|AN|，而|AN|＝.‎ ‎∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)．‎ ‎∵N点在抛物线上，∴5＝‎2a·(±2)，即‎2a＝±，‎ 故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.‎ 抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.‎ 抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.‎ ‎19．（12分）设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．‎ ‎（1）如果是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围 分析：（1）若为真，即恒成立，‎ 则，有 ‎（2）令，由得的值域是.‎ 若为真，则.‎ 由为真，且为假，知，一真一假.‎ 当真假时，不存在：当假真时，.‎ ‎20．（12分）益阳市为了缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进行整理，制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 人数 ‎24‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎14‎ 赞成人数 ‎12‎ ‎14‎ ‎3‎ ‎（1）若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若从年龄在内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自内的概率.‎ 分析：（1）经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为 ‎，因为样本中的赞成率为，所以，解得.‎ ‎（2）记“选中的人中至少有人来自内”为事件.设年龄在内的为调查者分别为，年龄在内的为调查者分别为，则从这位被调查者中抽出人的情况有，共个基本事件，且每个基本事件等可能发生.其中事件包括，共个基本事件.所以选中的人中至少有人来自内的概率.‎ ‎21． (12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据: ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？‎ ‎ (注：＝，＝－)‎ 分析：（1）散点图如图；‎ ‎（2）方法一：设线性回归方程为，则 ‎∴时， 取得最小值，‎ ‎,即，∴‎ 时,‎ 取得最小值．所以线性回归方程为．‎ 方法二：由系数公式可知，‎ ‎，所以线性回归方程为．‎ ‎（3）时，，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤．‎ ‎22．（12分）如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点，设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形？如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ 分析：(1)由e2＝＝，得a2＝2b2，‎ ‎∵直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝b2相切，‎ ‎∴＝b，解得b＝，则a2＝4.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)在x轴上存在点P(m,0)，使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．‎ 理由如下：‎ 设l1的方程为y＝kx＋2(k>0)，‎ 由得(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0.‎ 因为直线l1与椭圆C有两个交点，‎ 所以Δ＝64k2－16(1＋2k2)＝16(2k2－1)>0，‎ 所以k2>，又因为k>0，所以k>.‎ 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝.‎ 所以＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)‎ ‎＝(x1＋x2－‎2m，y1＋y2)‎ ‎＝(x1＋x2－‎2m，k(x1＋x2)＋4)，‎ ＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．‎ 由于等腰三角形中线与底边互相垂直，‎ 则(＋)·＝0.‎ 所以(x2－x1)[(x1＋x2)－‎2m]＋k(x2－x1)[k(x1＋x2)＋4]＝0.‎ 故(x2－x1)[(x1＋x2)－‎2m＋k2(x1＋x2)＋4k]＝0.‎ 即(x2－x1)[(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－‎2m]＝0.‎ 因为k>0，所以x2－x1≠0.‎ 所以(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－‎2m＝0.‎ 所以(1＋k2)()＋4k－‎2m＝0，‎ 解得m＝＝.‎ 设y＝＋2k，当k>时，‎ y′＝－＋2＝>0，‎ 所以函数y＝＋2k在(，＋∞)上单调递增，‎ 所以y>＋2×＝2，‎ 所以m＝>＝－.‎ 又因为k>0，所以m<0.‎ 所以－