2017-2018学年安徽省蚌埠市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版 12页

蚌埠二中2017—2018学年度高二第一学期期中考试 数学（文科）试题 ‎（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）‎ 注意事项： ‎ 第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是 A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 两个圆锥 D. 一个圆台 ‎【答案】C ‎【解析】以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是两个圆锥 故选：C ‎2. 下列命题正确的是 A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. 一个棱柱至少有五个面 ‎【答案】D ‎【解析】A不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；‎ B不对，三棱柱的底面是三角形 C不对，棱柱的侧棱一定相等 D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面 故选D ‎3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中，则原平面图形的面积为 A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】还原后的图形可知OB=2，OA=1，所以面积为 ‎4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体为半个球，球半径为1.‎ 所以其表面积为 故选：B 点睛：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎5. 下列命题正确的是 A. 四边形确定一个平面 B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C. 经过三点确定一个平面 D. 经过一条直线和一个点确定一个平面 ‎【答案】B ‎【解析】当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，不在同一直线上的三个点才能确定一个平面，直线和直线外一点有且只有一个平面，因此排除A、C、D，选B.‎ ‎6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，若，可能相交、平行、异面，A错；对于B，若，、可能相交、平行，B错；对于C，若，、可能相交、平行，C错；对于D, 若，根据线面垂直的性质定理可得，D正确；故选D ‎7. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设底面半径为，侧面展开图半径为；‎ 底面周长等于侧面半圆周长，即 选A ‎8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得，当时，，的边上的高为，只有B选项符合，当不垂直平面时，没有符合条件的选项，故选B.‎ 点睛：‎ ‎1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 ‎9. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线的斜率为1‎ 所以倾斜角为 故选：B ‎10. 已知圆的圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直径的两个端点分别A（a，0）B（0，b）．圆心C为点（2，﹣3），‎ 由中点坐标公式得，a=4，b=﹣6，‎ ‎∴r=，‎ 则此圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，‎ 即x2+y2﹣4x+6y=0．‎ 故选：A．‎ ‎11. 已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点关于直线的对称点坐标 ‎,解得：‎ 故选：C ‎12. 如图，正方体中，有以下结论：‎ ‎①平面； ②； ③平面；‎ ‎④直线与所成的角为．‎ 其中正确的结论个数是 ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正方体的性质得， ，所以， 平面 ，故①正确．由正方体的性质得 ，而 是 在底面 内的射影，由三垂线定理知， ，故②正确．由正方体的性质得 ，由②知， ，所以， ，同理可证 ，故 垂直于平面内的两条相交直线，所以， ⊥平面 ，故③正确．异面直线与所成的角就是直线 与 所成的角，故 为异面直线与所成的角，在等腰直角三角形 中， ，故④正确．‎ 点睛：求异面直线所成角的常见方法——平移法.将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）.常利用平行四边形或三角形中位线来构造平行线.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13. 已知圆：和直线：，则圆心到直线的距离为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】圆方程可化为 圆心.‎ ‎..................‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与棱AA1异面的有：BC，CD，C1D1，B1C1‎ 故答案为：4．‎ ‎15. 直线与直线平行，则的值是_________.‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】试题分析：由直线平行的充要条件得：，解得.故答案为0或.‎ 考点：直线平行的充要条件.‎ ‎16. 已知正方体的一个面在半径为的半球底面上，四个顶点，，，都在半球面上，则正方体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：如下图所示，设正方体边长为，则，根据勾股定理有，解得，所以正方体体积为.‎ 考点：球的有关几何体.‎ ‎【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.构造跟半径有关的直角三角形，解这个直角三角形来求.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题10分，第18~22题每题12分）‎ ‎17. 已知菱形中，，，边所在的直线经过点.‎ ‎（1）求边所在的直线方程；‎ ‎（2）求对角线所在的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出；（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出.‎ 试题解析：(1)，∵，∴，∴直线方程为，即.‎ ‎(2)，∵菱形对角线互相垂直，∴，∴，而中点，也是的中点，∴直线的方程为，即 ‎18. 已知动圆经过点，.‎ ‎（1）求周长最小的圆的一般方程；‎ ‎（2）求圆心在直线上的圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，此时，求得圆心坐标和半径，可得圆的方程．‎ ‎（2）设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．由题意利用待定系数法求得a、b、r2的值，可得圆心在直线2x﹣y﹣4=0上的圆的方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）以线段为直径的圆的周长最小，中点坐标，，‎ 圆的标准方程为，一般方程为；‎ ‎（2）线段中垂线的斜率为，中垂线方程为，‎ 联立方程，得圆心坐标，半径，‎ 标准方程为 ‎19. 四边形是正方形，是正方形的中心，平面，是的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；‎ ‎（2）要证，就是要证平面。 ‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接，，则经过正方形中心点，由是的中点，是的中点，得，又平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）由平面，得，又正方形对角线互相垂直，即，点，平面，所以平面，得．‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20. 如图，多面体中，，，，平面平面，为的中点．‎ ‎（1）若是线段的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若，，，求证：平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证平面，取的中点，只需证明平面平面；（2）要证：平面，只需证明，即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取的中点，连接，，由是的中点，得，‎ 又，得，平面，所以平面，同理可证，平面，而点，所以平面平面，‎ 从而平面；‎ ‎（2）连接，，，由，为的中点，得，又 平面平面，平面平面，平面，所以平面，则，‎ 由勾股定理，在中，，，得，在中，，，得，在直角梯形中，由平面几何知识计算得 ‎，所以，即，而点，所以平面．‎ ‎21. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：在棱上存在一点，使得平面平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（2）使得平面，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用VE﹣ABC=S△ABC•AA1，可求三棱锥E﹣ABC的体积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由侧棱垂直于底面，平面，得，又，‎ 点，所以平面，从而平面平面；‎ ‎（2）取中点，连接，，由为的中点，知，‎ 平面，得平面，‎ 因为，，所以四边形为平行四边形，‎ 则，平面，得平面，而点，‎ 平面平面，即存在中点，使得平面平面；‎ ‎（3）点到底面的距离即为侧棱长，在中，，，，所以，，‎ 所以.‎ ‎22. 如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），是圆柱底面圆周上不与，重合的一个点.‎ ‎（1）求证：无论点如何运动，平面 平面；‎ ‎（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）欲证平面A1BC⊥平面A1AC，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1BC内一直线与平面A1AC垂直，根据侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，则AC⊥BC，又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，则AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AC，而BC属于平面A1BC，满足定理所需条件；‎ ‎（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件，为底面圆的直径，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点，所以，又圆柱母线平面，则，点，‎ 所以平面，从而平面 平面；‎ ‎（2）设圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的体积为，‎ 当点是弧的中点时，为等腰直角三角形，面积为，‎ 三棱锥的体积为，‎ 三棱柱的体积为，‎ 则四棱锥的体积为，‎ 四棱锥与圆柱的体积比为．‎ 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎