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- 2021-06-15 发布
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专题14+导数在函数研究中的应用
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－.经检验，
x＝－时函数取极小值，所以x＝－.
答案：B
2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值是( )
A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
解析：由导函数f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，当00，
所以函数f(x)的极小值为f(0)＝c.
答案：D
3．函数y＝xex的最小值是( )
A．－1 B．－e
C．－ D．不存在
解析：y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1时，ymin＝－.
答案：C
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
5．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，] B．(－∞，3]
C．[，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥(x＋)在[1，4]上恒成立．
因为y＝(x＋)在[1，4]上单调递增，
所以t≥(4＋)＝.
答案：C
6．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上的单调情况是________．
解析：在 (0，2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，
所以f(x)在(0，2π)上单调递增．
答案：单调递增
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．
解：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.
答案：32
8．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f(1)＝，f＝，
f(－1)＝，f(2)＝7，
故f(x)min＝，∴a<.
答案：(－∞，)
9．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
10．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
解：(1)f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
11．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
解：(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝＝，
f′(x)＝
＝，
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0.
当－r0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)．
(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．
因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.
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