数学卷·2018届河南省八市重点高中高二上学期第一次月考数学试卷（文科）（解析版） 15页

‎2016-2017学年河南省八市重点高中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎2．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．‎ ‎3．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3‎ ‎6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎7．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（　　）‎ A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1‎ ‎8．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（　　）‎ A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3‎ C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎10．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（　　）‎ A．（1，） B．（，+∞） C．（1，3） D．（3，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），则关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集为　　．‎ ‎14．在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　　．‎ ‎15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　　元．‎ ‎16．已知a∈[﹣2，2]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则x的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＞0．‎ ‎18．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎20．正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎21．如图，D是Rt△BAC斜边BC上的一点，AC=DC．‎ ‎（1）若BD=2DC=2，求AD的长．‎ ‎（2）若AB=AD，求角B．‎ ‎22．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省八市重点高中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果 ‎【解答】解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，‎ 故选B ‎　‎ ‎2．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等比数列，a2=2，a5=，‎ 设出等比数列的公比是q，‎ ‎∴a5=a2•q3，‎ ‎∴==，‎ ‎∴q=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；‎ B、1＞﹣2，但是，故B不正确；‎ C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；‎ D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC ‎【解答】解：根据正弦定理，，‎ 则 故选B ‎　‎ ‎5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（　　）‎ A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值 ‎【解答】解：画出可行域如图阴影区域：‎ 目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，‎ 数形结合可知，当动直线过点A时，z最小 由得A（0，2）‎ ‎∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4‎ 故选B ‎　‎ ‎6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ ‎∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，‎ ‎∴a2≤b2+c2﹣bc，‎ ‎∴bc≤b2+c2﹣a2‎ ‎∴cosA=≥‎ ‎∴A≤‎ ‎∵A＞0‎ ‎∴A的取值范围是（0，]‎ 故选C ‎　‎ ‎7．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（　　）‎ A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】对q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：q=1时不满足条件，舍去．‎ q≠1时，∵S4=5S2，则=，‎ ‎∴1﹣q4=5（1﹣q2），‎ ‎∴（q2﹣1）（q2﹣4）=0，q≠1，‎ 解得q=﹣1，或±2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（　　）‎ A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3‎ C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【分析】根据正弦定理可先求出4个三角形的面积，再由三角面积公式可求出正方形的边长进而得到面积，最后得到答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4××1×1×sinα=2sinα 由余弦定理可得正方形边长为：‎ 故正方形面积为：2﹣2cosα 所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案．‎ ‎【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，‎ 所以q3=2，‎ 所以===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最小值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】先画出满足的平面区域，再把|PQ|的最小值转化为点P到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1即可．‎ ‎【解答】解：由题可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到（0，﹣2）的最小值减去圆的半径1，‎ 点（0，﹣2）到直线x﹣2y+1=0的距离为=；‎ 由图可知：|PQ|min=﹣1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．‎ ‎【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，‎ 所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，）．C．‎ 所以sinB==．‎ 所以sinC=sin2B=2×=，‎ cosC==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（　　）‎ A．（1，） B．（，+∞） C．（1，3） D．（3，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵m＞1‎ 故直线y=mx与直线x+y=1交于点，‎ 目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值 其关系如下图所示：‎ 即，‎ 解得1﹣＜m＜‎ 又∵m＞1‎ 解得m∈（1，）‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），则关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集为　　．‎ ‎【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】由已知可得函数f（x）=x2+ax+b的图象开口朝上，且有两个零点2和1，由韦达定理，可得a，b的值，进而可将不等式bx2+ax+1＞0化为：2x2+x﹣1＞0，解得答案．‎ ‎【解答】解：∵关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），‎ ‎∴函数f（x）=x2+ax+b的图象开口朝上，且有两个零点2和1，‎ ‎∴a=﹣3，b=2，‎ 故bx2+ax+1＞0可化为：2x2﹣3x+1＞0，‎ 解得：x∈，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　（﹣1，﹣）　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，‎ ‎∴，即，解得：，‎ 综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．‎ ‎　‎ ‎15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为　2300　元．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．‎ ‎【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，‎ 则 目标函数为z=200x+300y．‎ 作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．‎ ‎　‎ ‎16．已知a∈[﹣2，2]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立，则x的取值范围为　（﹣∞，0）∪（4，+∞）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】将不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0（﹣2≤a≤2）恒成立转化为（x﹣2）a+x2﹣4x+4＞0（﹣2≤a≤2），构造函数g（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4（﹣2≤a≤2），由即可求得x的取值范围．‎ ‎【解答】解：a∈[﹣2，2]，不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0恒成立⇔（x﹣2）a+x2﹣4x+4＞0恒成立（﹣2≤a≤2），‎ 令g（a）=（x﹣2）a+x2﹣4x+4（﹣2≤a≤2），‎ 则，即，解得：x＞4或x＜0．‎ 故x的取值范围为：（﹣∞，0）∪（4，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＞0．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】将原不等式化为（x﹣1）（ax﹣1）＞0，再对参数a的取值范围进行讨论，从而求出不等式的解集．‎ ‎【解答】解：原不等式可化为（x﹣1）（ax﹣1）≥0，‎ 当a＞0时，不等式可化为（x﹣1）（x﹣）≥0，‎ 该不等式对应方程的两个实数根为1和；‎ 若a＞1，则1＞，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；‎ 若a=1，则1=，不等式化为（x﹣1）2＞0，解集为{x|x≠0}；‎ 若0＜a＜1，则1＜，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；‎ 当a=0时，不等式化为﹣x+1＞0，解集为{x|x＜1}；‎ 当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）＜0，且＜1，‎ 解集为{x|＜x＜1}．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：‎ ‎（Ⅰ）p，q的值；‎ ‎（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．‎ ‎【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．‎ ‎（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，‎ ‎∴2p+q=3，①‎ 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，‎ ‎∴3+25p+5q=25p+8q，②‎ 联立①②求得 p=1，q=1‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n ‎∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinA=，‎ 又A为锐角，‎ 则A=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，‎ ‎∴bc=，又sinA=，‎ 则S△ABC=bcsinA=．‎ ‎　‎ ‎20．正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，‎ 可得（an﹣2n）（an+1）=0‎ 所以an=2n．‎ ‎（2）因为an=2n，bn=，‎ 所以bn=‎ ‎=‎ ‎=，‎ Tn=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 数列{bn}的前n项和Tn为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，D是Rt△BAC斜边BC上的一点，AC=DC．‎ ‎（1）若BD=2DC=2，求AD的长．‎ ‎（2）若AB=AD，求角B．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知可求DC，AC，cosC的值，利用余弦定理即可得解AD的值．‎ ‎（2）设AB=AD=1，则由余弦定理可得BD=2cosB，进而可求BC，CD，AC，可得，利用同角三角函数基本关系式化简可得sinB=﹣+2sin2B，解得sinB，结合B的范围即可得解B的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵BD=2DC=2，AC=DC=．‎ ‎∴cosC==，‎ ‎∴AD===．‎ ‎（2）∵设AB=AD=1，则由余弦定理可得：BD=2cosB，‎ ‎∴，，‎ 又∵AC=tanB，‎ ‎∴，化简可得：sinB=﹣+2sin2B，‎ 化简可得：，或﹣（舍去），‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．‎ ‎（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且 解得d=2，q=2．‎ 所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，①‎ Sn=，②‎ ‎①﹣②得Sn=1+2（++…+）﹣，‎ 则===．‎ ‎　‎