【数学】2020届一轮复习（理，鲁津京琼）人教B版1-3-1等式与不等式的性质学案 15页

‎ ‎ 第3节　相等关系与不等关系 第1课时　等式与不等式的性质 考试要求　梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.等式的性质 ‎(1)对称性：若a＝b，则b＝a.‎ ‎(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.‎ ‎(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.‎ ‎(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.‎ ‎3.不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；‎ ‎(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；‎ ‎(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.‎ ‎2.有关分数的性质 ‎(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).‎ ‎(2)若ab>0，且a>b⇔<.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)‎ ‎(2)a＝b⇔ac＝bc.(　　)‎ ‎(3)若>1，则a>b.(　　)‎ ‎(4)01，但a(＋)2，∴＋>＋.‎ 答案　>‎ ‎4.(2018·衡阳联考)若a，b，c为实数，且a D.a2>ab>b2‎ 解析　c＝0时，A项不成立；‎ －＝>0，选项B错；‎ －＝＝<0，选项C错.‎ 由aab>b2.D正确.‎ 答案　D ‎5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”说法不正确的一组整数a，b，c的值依次为________.‎ 解析　因为a>b>c，所以a>c，b>c，则a＋b>2c.所以a＋b>c不一定正确.因为2c与c的大小关系不确定，当c＝0时，2c＝c；当c>0时，2c>c；当c<0时，2ca B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)‎ A.MN C.M＝N D.不确定 ‎(3)(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A.a0，‎ ‎∴b>a，∴c≥b>a.‎ ‎(2)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1‎ ‎＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0.所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.‎ ‎(3)法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝‎ log6251 024>1，所以b>c.即c0，得0e.‎ ‎∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.‎ ‎∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.‎ 答案　(1)A　(2)B　(3)B 规律方法　1.作差法一般步骤：‎ ‎(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.‎ ‎2.作商法一般步骤：‎ ‎(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.‎ ‎3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.‎ ‎4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.‎ ‎【训练1】 (1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空).‎ ‎(2)若00，b>0且a≠b，‎ ‎∴(a－b)2>0，a＋b>0，‎ ‎∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，‎ 即a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎(2)∵01且2a<1，‎ ‎∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋<.即a<2ab<.‎ 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，‎ 即a2＋b2>.‎ ‎∵　(2)a<2ab<ac B.c(b－a)<0‎ C.cb20‎ ‎(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ 解析　(1)由c0.‎ 由b>c，得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.‎ 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.‎ 法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；‎ ‎②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；‎ ‎③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，‎ 所以a－＞b－，故③正确；‎ ‎④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　解决此类题目常用的三种方法：‎ ‎(1)直接利用不等式的性质逐个验证；‎ ‎(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；‎ ‎(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.‎ ‎【训练2】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>；②acloga(b－c).‎ 其中所有正确结论的序号是(　　)‎ A.① B.①② C.②③ D.①②③‎ 解析　(1)a>|b|能推出a>b，进而得a3>b3；当a3>b3时，有a>b，但若b|b|不成立，所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由不等式性质及a>b>1，知<，又c<0，‎ ‎∴>，①正确；‎ 构造函数y＝xc，‎ ‎∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，‎ 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，‎ ‎∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.‎ 答案　(1)A　(2)D 考点三　不等式及其性质的应用　多维探究 角度1　不等式在实际问题中的应用 ‎【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：‎ ‎(1)男学生人数多于女学生人数；‎ ‎(2)女学生人数多于教师人数；‎ ‎(3)教师人数的两倍多于男学生人数.‎ ‎①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________.‎ ‎②该小组人数的最小值为________.‎ 解析　令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则440 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 解析　由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h，故选D.‎ 答案　D ‎2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)‎ A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)‎ C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化 解析　f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x).‎ 答案　B ‎3.若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0⇒/ －>0.故选A.‎ 答案　A ‎4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A.a－b>0 B.a3＋b3>0‎ C.a2－b2<0 D.a＋b<0‎ 解析　由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，‎ 当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，所以a＋b<0，故选D.‎ 答案　D ‎5.(2019·北京东城区综合练习)已知x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是(　　)‎ A.2x>2y B.lg x>lg y C.> D.x2>y2‎ 解析　因为2x>2y⇔x>y，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A确；lg x>lg y⇔x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B错误；“>”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件.‎ 答案　A ‎6.(2018·湖州质检)若实数m，n满足m>n>0，则(　　)‎ A.－<－ B.－< C.> D.m2N B.M0，1＋b>0，1－ab>0，‎ 所以M－N＝＋＝>0.故选A.‎ 答案　A ‎8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且09‎ 解析　由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)‎ 得解得 则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，‎ 由0”“<”或“＝”).‎ 解析　分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2<＋，所以<.‎ 答案　<‎ ‎10.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.‎ 解析　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，‎ 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.‎ 于是得解得 ‎∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).‎ 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 答案　[5，10]‎ ‎11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题：‎ ‎①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.‎ 其中正确的命题是________(填序号).‎ 解析　∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.‎ 答案　①②③‎ ‎12.已知a>0，b>0，a≠b，则aabb与(ab)的大小关系是________.‎ 解析　＝.‎ 当a>b>0时，>1，>0，‎ 则>1，∴aabb>(ab).‎ 当b>a>0时，0<<1，<0，‎ 则>1，∴aabb>(ab).‎ 答案　aabb>(ab) 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎13.已知00 B.2a－b< C.log2a＋log2b<－2 D.2＋< 解析　由题意知02＝2，所以2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，得ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)n≥2，所以mn≥4；‎ 结合定义及p⊕q≤2，可得或 即qa>ab，则实数b的取值范围是________.‎ 解析　因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；当a<0时，b2<1b>c，求的取值范围.‎ 解　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，‎ 所以b＝－(a＋c).又a>b>c，‎ 所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，‎ 所以1>－>，即1>－1－>.‎ 所以解得－2<<－.‎ 即的取值范围为 新高考创新预测 ‎17.(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　)‎ A.b＞0＞a B.0＞a＞b C.a＞0＞b D.a＞b＞0‎ 解析　运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，B、D正确.又正数大于负数，A正确，C错误，故选A，B，D.‎ 答案　ABD