2017-2018学年陕西省安康市高二上学期期末数学文试题（解析版） 11页

安康市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合，‎ ‎，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎2. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】A、存在与不平行的情况，错误；‎ B、存在与不平行的情况，错误；‎ C、存在与不垂直的情况，错误；‎ D、正确。‎ 故选D。‎ ‎3. 若满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 16 B. 20 C. 24 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 过时，取最大值24。故选C。‎ ‎4. 已知命题，；，，则在命题，，和中，真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于命题，当时，命题成立；为真 对于命题，当时，命题不成立.为假.‎ 所以，为真.‎ 故选B.‎ ‎5. 设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，故选A。‎ ‎6. 设函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. -1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，求导得：，得.‎ 曲线在点处的切线的斜率为-1，即，所以 所以.‎ 故选A.‎ ‎7. 已知是等差数列的前项和，，，若成等比数列，则正整数（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以，得，‎ 又，即，得，故选D。‎ ‎8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，外接球直径为，即半径为，‎ 所以，故选B。‎ ‎9. 执行如图所示程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，令，，‎ 所以，故选C。‎ ‎10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，且，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线，‎ ‎，所以，得，‎ 所以，故选A。‎ 点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系。本题中根据题目条件，得到直线方程，联立直线和双曲线，求出交点位置，解得面积。解析几何题型关键是分析解题逻辑，本题中只要得到直线，求出交点，就可以求出面积。‎ ‎11. 已知点，，且点是圆上的动点，则面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，得直线AB的方程为：.‎ 圆即的圆心到直线的距离为：.‎ 点是圆上的动点，点到直线AB的最大距离为：.‎ 则面积的最大值为.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系以及求最值问题.解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.‎ ‎12. 已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，若，，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线：，‎ ‎，得，所以，‎ ‎，得，所以，‎ 得，所以。故选C。‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知非零向量满足，，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，得，所以，‎ 所以夹角是。‎ ‎14. 已知的内角满足，，则角__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可知，，‎ 又，‎ 所以。‎ ‎15. 若函数恰好有两个零点，且，则的值为 __________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】函数，求导得，‎ 有,,单调递增；‎ ‎,,单调递减；‎ ‎,,单调递增.‎ ‎. 且，‎ 若函数恰好有两个零点，则.所以.‎ 故答案为：4.‎ ‎16. 已知是椭圆上异于点，的一点，的离心率为，则直线与的斜率之积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，有，且，得，‎ ‎。‎ 点睛：本题考查椭圆的几何性质。由离心率，得到的比例关系。本题中由题意可知，题目由点的位置决定，所以设，得到斜率关系 ‎，为定值。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为内角的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到，从而得解；‎ ‎（2）由余弦定理得，结合即可得最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴由正弦定理可得，‎ ‎∵在中，，∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由余弦定理得，∴，‎ ‎∵，∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴，‎ 即面积的最大值为.‎ ‎18. 如图，为正方形的中心，四边形是平行四边形，且平面平面，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：解：(1)在正方形中，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴平行四边形为菱形，∴.‎ 又∵平面平面，∴平面，∴，‎ 而，∴平面.‎ ‎(2)存在线段的中点，使平面.‎ 若是线段的中点，为中点，∴∥.‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ 此时的值为1.‎ 考点：线面垂直，线面平行 点评：主要是考查了线面的位置关系的运用，属于基础题。‎ ‎19. 某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到了不同程度的损坏，其可见部分信息如下，据此解答下列问题：‎ ‎（1）求参加此次高校自主招生面试的总人数，面试成绩的中位数及分数在内的人数；‎ ‎（2）若从面试成绩在内的学生中任选两人进行随机复查，求恰好有一人分数在内的概率.‎ ‎【答案】（1）4；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）面试成绩在内的频数为2，由，得；中位数为；分数在内的人数为.（2）将内的4人编号为，内的2人编号为，由穷举法可知恰好有一人分数在内的概率为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）面试成绩在内的频数为2，由，得.‎ 由茎叶图可知面试成绩的中位数为.‎ 由频率分布直方图可以看出，分数在内有2人，‎ 故分数在内的人数为.‎ ‎（2）将内的4人编号为，内的2人编号为，在内任取两人的基本事件为：，，，共15个，其中恰好有一人分数在内的基本事件为：，，共8个，‎ ‎∴恰好有一人分数在内的概率为.‎ ‎20. 已知数列的前项和，数列的前项和.‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，当时，代入化简求解即可；‎ ‎（2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ，‎ 当时，也符合，∴.‎ ‎∵，∴当时，，两式相减得，∴，‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎（2）由（1）可知，设数列的前项和为，‎ 则， ，‎ 相减得 ，‎ ‎∴，即数列的前项和为.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎21. 已知椭圆的焦距为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交于、两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，进而可得椭圆方程；‎ ‎（2）设、，由题知直线的斜率不可能是0，设，与椭圆联立得， 利用坐标结合韦达定理求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设、，由题知直线的斜率不可能是0，设，‎ 联立，消去得，‎ ‎∴，，‎ ‎ ，解得，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ ‎22. 设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先求函数的导数，再借助导数知识求解；（2）依据题设先求导数借助函数与单调性之间的关系建立不等式，再分离参数构造函数运用导数知识分析求解：‎ ‎（Ⅰ）定义域为.当时，且.‎ 令，则，故在定义域上是减函数，注意到，当时，，此时；‎ 当时，，此时.‎ 的极大值为，无极小值.‎ ‎（Ⅱ）当时，，故，‎ 令，，‎ 由得，由得，‎ 故的最大值为，，.‎