专题41 妙用线性规划巧解最优化问题-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 20页

‎ 考纲要求:‎ ‎ 1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．　‎ ‎ 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．　‎ ‎ 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．二元一次不等式(组)的解集 ‎ 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 ．‎ ‎2．二元一次不等式所表示的平面区域 ‎ 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，则把边界画成实线．‎ ‎3．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 ‎ 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.‎ 4． 线性规划中的基本概念 约束条件：由变量x，y组成的不等式组. ‎ 线性约束条件：由x，y的线性不等式(或方程)组成的不等式组；‎ 目标函数：关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等；‎ 线性目标函数：关于x，y的线性目标函数.‎ 可行解：满足线性约束条件的解.‎ 可行域：所有可行解组成的平面区域.‎ 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 应用举例:‎ 类型一、二元一次不等式(组)表示平面区域 ‎【例1】【内蒙古呼和浩特市2018届高三11月质量普查考试】已知满足条件，则目标函数从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【例2】【2017河北正定一中高三月考】不等式组所围成的平面区域的面积为(　　)‎ A．3　　　　 B．6 C．6 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4,4)，C ‎(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.‎ 图2‎ ‎【例3】如图2阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为__________．　‎ ‎【答案】 类型二、求线性目标函数的最值 ‎【例4】【2018年高考2017年11月份衡水联考文数】若实数， 满足不等式组则的最大值为（ ）‎ A. 12 B. 10 C. 7 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域：‎ 当动直线经过C点时，z最大，‎ 即 故选：B 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎【例5】【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【例6】【2017四川省成都市高三摸底】若实数满足条件，则的最大值是（ ）‎ A．10 B．‎8 ‎ C．6 D．4‎ ‎【答案】C 类型三、求非线性目标函数的最值 ‎【例7】【安徽省蒙城县“五校”2018届高三上学期联考】已知变量满足约束条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，画出约束条件所表示的平面区域 如图所示 ‎ 又，‎ 设，当取可行域内点时，此时取得最大值，‎ 由，得，此时，‎ 所以的最大值为．‎ ‎【例8】【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟考试】已知变量满足则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎ 类型四、求参数的值 ‎【例9】【福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中考试】已知实数， 满足，若使 得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．‎ ‎【例10】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段考试】若满足，且 有最大值，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例11】【2017江苏省泰州中学高三摸底】已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此,因为在上单调递增，所以，不等式恒成立等价于 点评：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ 类型五、线性规划解决实际问题 ‎【例12】【天津市河东区2017届高三二模】制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎【答案】投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大 考点：利用线性规划求目标函数的最值.‎ 方法、规律归纳:‎ ‎ 1．求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎ 2．常见的目标函数有：‎ (1) 截距型：形如z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：‎ ‎ y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2. (3)斜率型：形如z＝.‎ ‎3．解线性规划应用题的步骤 ‎(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；‎ ‎ (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题 ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ 实战演练:‎ ‎1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考】若正数满足约束条件，‎ 则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊】设实数满足约束条件则目标函数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 3．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（ ）‎ A. B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】作可行域如图，则直线过点B时，z取得最大值， ‎ ‎，选B. ‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. ‎ ‎4．【江西省南昌县莲塘一中2018届高三11月质量检测】若存在实数使不等式组与不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5．【2018届高三南京市联合体学校调研测试】若不等式组所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎ 6．【江西省宜春市2017届高三下学期第五次调研考试】已知实数满足，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式表示的平面区域，如下图，‎ ‎ ‎ ‎7．【重庆市第一中学2018届高三11月月考】已知， 满足约束条件若的最大值为4，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎ 8．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】已知实数满足，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可行域是由A围成的三角形及其内部， 表示点 与区域中的点 之间距离的平方，在点B处， 取得最大值为9，最小值即为点到直线的距离 的平方，‎ ‎ 故的取值范围为 故答案为 ‎9．【天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试】某餐厅装修，需要大块胶合板 张，小块胶合板张，已知市场出售两种不同规格的胶合板。经过测算， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张.已知种规格胶合板每张元， 种规格胶合板每张元.分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数.‎ ‎（1）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）根据施工需求， 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.‎ ‎【答案】（1）；（2）种胶合板5张， 种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元.‎ ‎ ‎ ‎（2）由设花费资金，由（1）得，由图可知当时， （元），答： 型木板张， 型木板张，付出资金最少为元.‎ ‎10．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成1800件包裹的配送任务，该配送站有8名新手快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送240件包裹，日工资320元；每个老快递员每天可配送300件包裹，日工资520元.‎ ‎(Ⅰ)求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；‎ ‎(Ⅱ)该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀”，则其下个月的日工资比这个月提高12%.那么新手快递员至少连续几个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员?‎ ‎(参考数据: ， ， .)‎ ‎【答案】(1) 该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为2560元;(2) 新手快递员至少连续5 个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)设新手快递员连续个月被评为“优秀”，日工资会超过老员工.‎ 则由题意可得.‎ 整理得，‎ 两边取对数可得，‎ 所以 ，‎ 又因为，所以的最小值为5.‎ 即新手快递员至少连续5 个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员.‎ ‎ ‎