【推荐】专题10-3+抛物线-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 22页

真题回放 ‎1. 【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【考点】抛物线的简单性质 ‎【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ‎2. 【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。‎ ‎【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。 ‎ ‎3. 【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线ON的方程为，联立求得点 的坐标，证明.‎ ‎【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系 ‎【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量. ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 中心在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、考查利用定义求弦长、最值、轨迹等，通常以选择、填空形式出现。2、通常在选择题中考查求标准方程，也可能在解答题中作为第一问进行考查。3、考查抛物线的焦点、准线等，常以选择、填空形式出现。4、直线与抛物线相交的弦长问题，中点弦问题，直线与抛物线的交点个数问题。5、常结合向量、三角等考查有关弦长公式的定值、最值、范围、曲线经过的定点等。 ‎ 知识链接 ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 融会贯通 题型一　抛物线的定义及应用 命题点1　利用定义求轨迹方程 典例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ ‎【答案】　4‎ ‎【解析】如图，‎ 过点B作BQ垂直准线于点Q，‎ 交抛物线于点P1，‎ 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ 引申探究 ‎1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ ‎【答案】2 ‎【解析】由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．‎ ‎∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，‎ ‎∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ‎＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2. ‎ ‎2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．‎ ‎【答案】3－1.‎ 解题技巧与方法总结 ‎　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ ‎【变式训练】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　如图，‎ 易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，‎ 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．‎ 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，‎ 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，‎ 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，‎ 此时最小值为＝.‎ 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点1　求抛物线的标准方程 典例2　已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎【答案】　D 命题点2　抛物线的几何性质 典例3　已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，‎ 得＋＝＝(定值)．‎ ‎(3) 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.‎ 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ ‎(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.‎ ‎(2)设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，‎ 由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.‎ ‎|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.‎ 又ab≤()2，‎ 所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，‎ 得到|AB|≥(a＋b)，‎ 所以≤＝，‎ 即的最大值为. ‎ 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点1　直线与抛物线的交点问题 典例4已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.‎ ‎【答案】　2‎ 命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题 典例5　(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】(1)证明　由题意知，F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A，B，P，Q，‎ R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝.‎ 由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，‎ 所以，所求轨迹方程为y2＝x－1(x≠1)． ‎ 解题技巧与方法总结 ‎　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ ‎【变式训练】(2017·北京东城区质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y ‎＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x. （2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎【解析】　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝.‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，‎ 解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．‎ 故MN的中点为E(＋2m2＋3，－)，‎ ‎|MN|＝ |y3－y4|＝，‎ 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，‎ 即4(m2＋1)2＋(2m＋)2＋(＋2)2‎ ‎＝，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. ‎ 练习检测 ‎1．（江苏省南京市溧水高级中学2018届高三上学期期初模拟）已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由抛物线定义得： 又点位于第一象限，因此从而 考点：抛物线定义 ‎2．（浙江省名校协作体2018届高三上学期考试）已知是抛物线的焦点， 是上一点， 的延长线交轴于点. 若，则_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎ ‎ ‎3．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测）已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平行线且相交于点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则由抛物线的定义可得，故由题设可得；设直线代入整理可得，则由根与系数的关系可得，联立可得，代入可解得，则弦长；不妨设，则 ， ，又依题意和互补，故，即是直角三角形，所以 ,则，应选答案C。‎ 点睛：本题在求解时，充分借助题设条件及抛物线的定义求出两横坐标之间的关系，然后再设直线代入整理可得，则由根与系数的关系可得，联立可得，代入可解得，进而求出弦长。 ‎ ‎4. （河北省邯郸市2018届高三上学期摸底考试）直线与抛物线相交于两点， ，给出下列4个命题： 的重心在定直线上； 的最大值为； 的重心在定直线上； 的最大值为.其中的真命题为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 据此可得： 的最大值为；‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. （安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟2018届高三摸底考试）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线上异于点的两点满足，直线与交于点， 和的面积满足，则点的横坐标为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】点在抛物线上，故a=1‎ 设点P(x1, ),Q(x2, )，∵满足，∴，即 设R(m,n).使得和的面积满足，‎ 所以，又PQ∥OA，故，即，又，∴‎ 故选：B ‎6. （黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎7. （浙江省名校协作体2018届高三上学期考试）如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.‎ ‎（II）设则可得切线， 的方程，进而可得 所以直线的方程为. ‎ 联立由韦达定理得，可求得．‎ 进而求得点到直线的距离． 则的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.．‎ 试题解析：（Ⅰ） 的方程为 其准线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设， ， ， ‎ 则切线的方程： ，即，又，‎ 所以，同理切线的方程为，‎ 又和都过点，所以，‎ 所以直线的方程为. ‎ 联立得，所以。‎ 所以．‎ 点到直线的距离． ‎ 所以的面积 所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2. ‎ ‎8. （山东省青岛市2017届高三期初调研检测）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎ ‎