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- 2021-06-15 发布
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2019至2020学年度下学期5月份月考高二年级数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数
A. B. C. D.
3.已知,,且,则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
4.若,则cos2α=( )
A. B. C. D.
5.已知,,,则( )
A. B. C. D.
6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至县区的概率为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的,分别是( )
A.12,23 B.23,12 C.13,22 D.22,13
(第7题图) (第8题图) (第9题图)
8.如上图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩,则下列判断正确的是( )
A.,甲比乙成绩稳定 B.,乙比甲成绩稳定
C.,甲比乙成绩稳定 D.,乙比甲成绩稳定
9.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
10.在等比数列中,,且,,则等于( )
A.6 B. C. D.
11.若函数的图象的一条对称轴为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为、,为坐标原点,是双曲线上在第一象限内的点,直线、分别交双曲线左、右支于另一点、,,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.设变量满足约束条件,则的最大值是_________.
14.求曲线在点处的切线方程是________.
15.的展开式中的系数为__________.
16.已知函数是定义在R上的偶函数,满足,若时,,
则函数的零点个数为___________.
三、解答题
17.已知数列的前项和为.
(1)求这个数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟):
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽个/分钟.当,且时,称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述5名学生中,随机抽取3人,求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.
19.已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
20.已知椭圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点,求点到直线距离的最大值.
21.已知函数在处取得极值.
(1)求的值,并讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
22.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,,,求证:.
2019至2020学年度下学期5月份月考高二年级数学理科试题答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
C
A
B
B
D
A
B
C
B
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.)
(13) 18 ( 14) (15) 9 (16)2
三、解答题(本大题共6个小题,共70分)
17. 解:(1)当且时,…①
当时,,也满足①式数列的通项公式为:
(2)由(1)知:
18. 解:(1)设高一年级有人,高二年级有人.
采用分层抽样,有.所以高一年级有人,高二年级有人.
(2)从上表可知,从高二抽取的5名学生中,编号为1,2,5的学生是“运动达人”.
故从高二年级的学生中任选一人,该学生为“运动达人”的概率估计为.
(3)的所有可能取值为.
,,.
所以的分布列为
故的期望.
19. 解:(1)证明:连结交于点,连结.因为为菱形,所以,且为、的中点,因为,所以,
因为且平面,所以平面,
因为平面,所以.
因为平面, 平面,且平面平面,
所以,所以.
(2)由(1)知且,因为,且为的中点,
所以,所以平面,所以与平面所成的角为,
所以,所以,因为,所以.
分别以, , 为轴,建立如图所示空间直角坐标系,设,则
,
所以.
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记平面的法向量为,则,
令,则,所以,
记二面角的大小为,则.
所以二面角的余弦值为 .
20. 解:(1)由题意,得,结合,得,,
所以椭圆的方程为;
(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,
代入椭圆方程,整理得,
由得,
设,,则,,
因为,所以,所以,
即,
其中,
,
代入整理得,即,
当时,直线过点,不合题意;
所以,此时满足,
则直线的方程为,直线过定点,
所以当时,点到直线的最大距离;
当直线的斜率不存在时,设其方程为,由,,
代入可得,
结合可得或(舍去), 当时,点到直线的距离为,
综上,点到直线的最大距离为.
21. 解:(1)由题知,又,即,
∴ ,令,得;令,得,
所以函数在上单调递增,在单调递减.
(2)依题意知,当时,恒成立,即,
令,只需即可,
又,令,,
所以在上递增,∴ ,∴ ,所以在上递增,
∴ ,故.
22.解:(1).
当时,由,解得,此时;当时,不成立;
当时,由,解得,此时.
综上所述,不等式的解集为;
(2)要证,即证,
因为,,所以,,,
.
所以,.故所证不等式成立.