高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 9页

第 3 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．(2012·福建)直线 x＋ 3y－2＝0 与圆 x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的 长度等于 ( )． A．2 5 B．2 3 C. 3 D．1 解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心 O 到直 线AB的距离d＝ |－2| 1＋3 ＝1，故|AB|＝2|BC|＝2 22－12 ＝2 3. 答案 B 2．(2012·安徽)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的取值 范围是 ( )． A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， ∴ |a－0＋1| 12＋－12 ≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案 C 3．(2013·潍坊模拟)若圆 x2＋y2＝r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x－y－2＝0 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是 ( )． A．( 2＋1，＋∞) B．( 2－1， 2＋1) C．(0， 2－1) D．(0， 2＋1) 解析 计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 ＝ 2>1，得到右边草图．直线 l：x－y－2＝0 与圆相交，l1，l2 与 l 平行，且与直线 l 的距离为 1，故可以看出，圆的半径应 该大于圆心到直线 l2 的距离 2＋1，故选 A. 答案 A 4．(2013·银川一模)若圆 C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆 C2：x2＋y2－2by －1＋b2＝0(b∈R)恰有三条切线，则 a＋b 的最大值为 ( )． A．－3 2 B．－3 C．3 D．3 2 解析 易知圆 C1 的圆心为 C1(－a,0)，半径为 r1＝2； 圆 C2 的圆心为 C2(0，b)，半径为 r2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切， ∴|C1C2|＝r1＋r2，即 a2＋b2＝9.∵ a＋b 2 2≤a2＋b2 2 ， ∴a＋b≤3 2(当且仅当 a＝b＝ 3 2 时取“＝”)， ∴a＋b 的最大值为 3 2. 答案 D 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．(2012·北京)直线 y＝x 被圆 x2＋(y－2)2＝4 截得的弦长为________． 解析 由题意得，圆 x2＋(y－2)2＝4 的圆心为(0,2)，半径为 2，圆心到直线 x －y＝0 的距离 d＝ 2 2 ＝ 2. 设截得的弦长为 l，则由 l 2 2＋( 2)2＝22，得 l＝2 2. 答案 2 2 6．(2011·江苏)设集合 A＝(x，y)|m 2 ≤ (x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x ＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若 A∩B＝∅，则实数 m 的取值范围是________． 解析 ∵A∩B≠∅，∴A≠∅， ∴m2≥m 2.∴m≥1 2 或 m≤0.显然 B≠∅. 要使 A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2(m≠0)与 x＋y＝2m 或 x＋y＝2m＋1 有 交点，即|2－2m| 2 ≤|m|或|1－2m| 2 ≤|m|，∴2－ 2 2 ≤m≤2＋ 2. 又∵m≥1 2 或 m≤0，∴1 2 ≤m≤2＋ 2. 当 m＝0 时，(2,0)不在 0≤x＋y≤1 内． 综上所述，满足条件的 m 的取值范围为 1 2 ，2＋ 2 . 答案 1 2 ，2＋ 2 三、解答题(共 25 分) 7．(12 分)已知：圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l：ax＋y＋2a＝0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2时，求直线 l 的方程． 解 将圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0 化成标准方程为 x2＋(y－4)2＝4，则此圆 的圆心为(0,4)，半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|4＋2a| a2＋1 ＝2，解得 a＝－3 4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB，则根据题意和圆的性质， 得 |CD|＝|4＋2a| a2＋1 ， |CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22， |DA|＝1 2|AB|＝ 2. 解得 a＝－7 或 a＝－1. 故所求直线方程为 7x－y＋14＝0 或 x－y＋2＝0. 8．(13 分)已知圆 C 经过 P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3，半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程； (2)若直线 l∥PQ，且 l 与圆 C 交于点 A，B 且以线段 AB 为直径的圆经过坐标 原点，求直线 l 的方程． 解 (1)直线 PQ 的方程为：x＋y－2＝0， 设圆心 C(a，b)半径为 r， 由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y－1 2 ＝x－3 2 ， 即 y＝x－1，所以 b＝a－1. ① 又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3，知 r2＝12＋a2， 可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2， ② 由①②得：a＝1，b＝0 或 a＝5，b＝4. 当 a＝1，b＝0 时，r2＝13 满足题意， 当 a＝5，b＝4 时，r2＝37 不满足题意， 故圆 C 的方程为(x－1)2＋y2＝13. (2)设直线 l 的方程为 y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)， 由题意可知 OA⊥OB，即OA→ ·OB→ ＝0， ∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0， 化简得 2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0. ③ 由 y＝－x＋m， x－12＋y2＝13 得 2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0， ∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝m2－12 2 . 代入③式，得 m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0， ∴m＝4 或 m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0， ∴y＝－x＋4 或 y＝－x－3. B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．(2013·南昌模拟)若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0 与曲线 C2：y(y－mx－m)＝0 有四个 不同的交点，则实数 m 的取值范围是 ( )． A. － 3 3 ， 3 3 B. － 3 3 ，0 ∪ 0， 3 3 C. － 3 3 ， 3 3 D. －∞，－ 3 3 ∪ 3 3 ，＋∞ 解析 C1：(x－1)2＋y2＝1，C2：y＝0 或 y＝mx＋m ＝m(x＋1)． 当 m＝0 时，C2：y＝0，此时 C1 与 C2 显然只有两个 交点； 当 m≠0 时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1 与直线 y＝m(x＋1)有两交点， 当圆与直线相切时，m＝± 3 3 ，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－ 3 3