数学文卷·2019届湖北省宜昌市第一中学高二上学期期末考试（2018-01） 9页

宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试 文科数学试题 考试时间：120分钟 考试满分：150分 命题人：赵波 审题人：孙红波 ‎★祝考试顺利★‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.‎ ‎1．双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎2．命题“”是命题“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.若复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． ‎ ‎4.下列有关命题的说法中错误的是 ‎ A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 .‎ B．一个样本的方差是，则这组数据的总和等于60.‎ C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越差.‎ ‎ D．对于命题使得＜0，则，使.‎ ‎5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数多于反面的次数的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式 当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：然后进行求值．运行如下图所示的程序框图，能求得多项式 的值．‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎7.某四棱锥的三视图如右上图所示，则该四棱锥的体积是 ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎8.直线与椭圆恒有两个公共点，则的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是 ‎ A B C D ‎10．已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的斜率分别为，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．若曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.若函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ ‎13．某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要用系统抽样法从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机 按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，‎ ‎6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，‎ 则第8组抽出的号码应是__________；若用分层抽样方 法，则50岁以上年龄段应抽取__________人．‎ ‎14．函数在其极值点处的切线方程为____________．‎ ‎15．若在区间内随机取一个数，在区间内随机取一个数，则使方程有两个不相等的实根的概率为 ．‎ ‎16．圆经过点与圆相切于点,则圆的方程为 .‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题: “是焦点在轴上的椭圆的标准方程”；：“函数在上存在极值”；若命题“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，‎ ‎（1）求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点，记的轨迹方程所对应的曲线为，若过点且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线相切，求的值及切线方程．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中,．‎ 台体体积公式：，‎ 其中分别为台体上、下底面面积，为台体高.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若,，，三棱锥的体积，求 该组合体的体积．‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水(单位：千克)‎ 清洗该蔬菜千克后，蔬菜上残留的农药(单位：微克)的统计表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎58‎ ‎54‎ ‎39‎ ‎29‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）在坐标系中描出散点图，并判断变量与的相关性；‎ ‎（2）若用解析式作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程，‎ 令，计算平均值和，完成以下表格(填在答题卡中)，求出与 的回归方程．(精确到0.1)‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ y ‎58‎ ‎54‎ ‎39‎ ‎29‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需 要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据)‎ ‎（附：线性回归方程计算公式：， ）‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 记表示，中的最大值，如．已知函数，．‎ ‎（1）设，求函数在上零点的个数；‎ ‎（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 宜昌市第一中学2017年秋季学期高二年级期末考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D C B A B C D A D A 二、填空题 ‎ ‎13． 37 ， 8 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．(12分)解：‎ 若为真，则有，即.…………3分 若为真，则有两个相异的实数根， ‎ 即得或…………6分 由且为假，或为真得：或…………9分 实数的取值范围或或…………10分 ‎18．(12分)解：‎ ‎（1）设，，∵为线段中点 ‎ ∴，又点在圆上运动 ‎ ∴ 即 ‎ ‎ ∴点M的轨迹方程为：； ………6分 ‎（2）设切线方程为：和 ………8分 则和，解得：或 ‎∴切线方程为和. ………12分 ‎19．(12分)解：‎ ‎（Ⅰ）证明：由题可知是底面为直角三角形的直棱柱，‎ 平面, …………………………………………2分 又，,平面，‎ ‎, ……………………………………………………4分 ‎ ‎ 又，四边形为正方形，，‎ 又,平面，平面.……………………6分 ‎（Ⅱ）设刍童的高为，则三棱锥体积 ‎，所以,……………………………………………9分 故该组合体的体积为 ‎.………………………12分 ‎（注：也可将台体补形为锥体后进行计算）‎ ‎20. (12分)解：‎ ‎（1）作图省略，负相关：............2分 ‎（2）‎ ‎.....................................................4分 ‎,............6分 ‎,.............8分 ‎(3) 当时,,‎ 为了放心食用该蔬菜, 估计需要用千克的清水清洗一千克蔬菜. ............12分 ‎21．(12分)解：‎ ‎（1）由椭圆的离心率得，其中，‎ 椭圆的左、右焦点分别为又点在线段的中垂线上 ‎∴，∴解得，，，‎ ‎∴椭圆的方程为．......................................4分 ‎（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由 消去，得．设，，‎ 则，‎ 即，，...................6分 且 由已知，得,即．...................8分 化简，得 ‎∴整理得．............10分 ‎∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．.....12分 ‎22．(12分)解：‎ ‎（1）设，，‎ 令，得，递增；令，得，递减．‎ ‎∴，∴，即，∴．...........2分 设，，易知在上有两个根，‎ 即在上零点的个数为2． ......................................4分 ‎（2）假设存在实数，使得对恒成立，‎ 则对恒成立，................5分 即对恒成立，‎ ‎（i）设，，‎ 令，得，递增；令，得，递减．‎ ‎∴． ................................6分 当，即时，，∴，‎ ‎∵，∴． .................................7分 当，即时，在上递减，∴．‎ ‎∵，∴合题意.‎ 故，对恒成立． .......................9分 ‎（ii）若对恒成立，由知，等价 对恒成立，则，∴． ......................11分 由（i）及（ii）得，． ...........................12分