2018-2019学年河南省八市学评高二12月测评数学（文）试题 解析版 19页

绝密★启用前 河南省八市学评2018-2019学年高二12月测评数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知等差数列中，，，则的值是（ ）‎ A． 15 B． 30 C． 31 D． 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质“若，则”建立等式，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 数列是等差，‎ ‎，即，‎ ‎，故选A .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于基础题.‎ ‎2．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标性质、结合对数的运算法即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中，每项均是正数，且，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，以及对数的运算法则，属于基础题.解答与等比数列有关的问题时，往往利用等比数列的性质：“若，则”.‎ ‎3．若，且，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断3x与3y的符号，利用基本不等式建立关系，结合x+y＝5，可求出3x+3y的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由3x＞0，3y＞0，‎ ‎∴3x+3y≥2‎ 所以3x+3y的最小值为18‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎4．给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，则；④当时，的最小值为；其中正确命题的个数为（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法判断①；利用特值法判断②、③；利用基本不等式等号成立的条件判断④.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为，，，‎ ‎，‎ 所以，故此命题正确；‎ ‎②令，，命题不正确；‎ ‎③设， 成立，但是 均无意义，此命题不正确；‎ ‎④ 设，则，当且仅当，时等号成立，因为，所以最小值不是，此命题不正确，综上可得正确的命题个数为1，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差法比较大小以及特值法、基本不等式的应用，属于中档题. 利用已条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断；（4）作差法判断.‎ ‎5．不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式等价于,解出二次不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 不等式等价于,即 ‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了二次不等式的解法，较为基础,注意因式分解的应用.‎ ‎6．在中，若，则是（ ）‎ A． 等边三角形 B． 等腰三角形 C． 不等边三角形 D． 直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，即,故A=B，三角形为等腰三角形，选B。‎ 考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。‎ 点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。‎ ‎7．已知命题，则是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，所以，全称命题 的否定为特称命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎8．若椭圆经过点，且焦点为，，则这个椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点坐标求出的值，根据椭圆过的定点，结合性质得到的值，再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 椭圆焦点为，‎ 设椭圆方程为，‎ 又椭圆经过点，‎ 解得或，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ ‎9．在各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则等于（ ）‎ A． 2 B． 4 C． 8 D． 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质得到，数列是等比数列，故=16.‎ ‎【详解】‎ 等差数列中,,故原式等价于-解得或 各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的性质，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎10．若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．‎ ‎【详解】‎ 若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，‎ ‎∴a1﹣a2＝﹣1．‎ 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．‎ ‎∴‎ 故答案为：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎11．数列满足：，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，数列满足：，即，是首项为1，公比为4的等比数列，所以，，=，故选B。‎ 考点：本题主要考查等比数列的通项公式。‎ 点评：中档题，本题有一定的难度，关键是构造等比数列。‎ ‎12．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，经过一分钟后，其位置在点，且，再过二分钟后，该物体位于点，且，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． 以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设PQ＝x，则QR＝2x，∠POQ＝90°，∠QOR＝60°∠OPQ+∠R＝30°，即∠R＝30°﹣∠OPQ,在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理表示OQ＝,OQ＝＝xsin∠OPQ从而∴整理可求。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点 ‎∴设PQ＝x，则QR＝2x，‎ 又∵∠POQ＝90°，∠QOR＝60°‎ ‎∠OPQ+∠R＝30°，即∠R＝30°﹣∠OPQ 在△ORQ中，由正弦定理得 OQ＝在△OPQ中，由正弦定理得OQ＝‎ ‎＝xsin∠OPQ∴‎ 整理可得， ，.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 ‎13．已知、满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力．‎ 画出约束条件表示的可行域，推出目标函数经过的点，求出最大值和最小值 ‎14．已知，，若“非”是“非”的充要不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“非”是“非”的充要不充分条件故是的充分不必要条件，求解即可；‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ ‎“非”是“非”的充要不充分条件 是的充分不必要条件 ‎ ‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎15．在中，角的对边分别为，角.‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，利用正弦定理可得，结合，可得，解得，从而可得结果；(2)利用（1），由余弦定理得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以由正弦定理，得 ‎ 由于，故 ‎ 解得.‎ 所以角，角.‎ ‎（2）由余弦定理得 所以 故，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎.‎ 故周长的最大值为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎16．已知数列是等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列公差为，则，可求得公差和首项，进而得到通项；（2）由，错位相减即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列公差为，则，‎ 又，，所以.‎ ‎（2）解：由，，得 ‎，①‎ ‎，②‎ 将①代入②式，得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎17．如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.‎ ‎（1）设，，求用表示的函数关系式；‎ ‎（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又该在哪里？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y＝（1≤x≤2）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先根据三角形面积求出AE：，即，再根据余弦定理得，最后根据边长限制条件确定定义域：（Ⅱ）由基本不等式可得当且仅当取最小值，由对勾函数值，当且仅当取最大值.‎ 试题解析：（1）在中，①‎ 又 ②‎ ‎②代入①得，‎ ‎∴‎ ‎（2）如果是水管，‎ 当且仅当，即时“=”成立，故，且.‎ 如果是参观线路，记，‎ 可知函数在上递减，在上递增，‎ 故，∴.‎ 即为中线或中线时，最长.‎ 考点：函数实际应用，基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎18．已知椭圆的一个焦点，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被点平分，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据椭圆的一个焦点，且点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 、即可得结果； (2) 设，即.由得 ‎,利用韦达定理以及中点坐标公式列方程可求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆的一个焦点，且点在椭圆上，‎ 所以，解得，‎ 即椭圆的方程为.‎ ‎（2）易知直线的斜率一定存在，设，即.‎ 设，，由得.‎ ‎、为上述方程的两根，则①‎ ‎.‎ 的中点为，，.‎ ‎，解得.‎ 代入①中，‎ 直线符合要求.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出 ‎，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎19．设，是函数图象上任意两点，且，已知点的横坐标为.‎ ‎（1）求点的纵坐标；‎ ‎（2）若，其中且.‎ ‎①求；‎ ‎②已知，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的最小正整数值.‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 依题意由知为线段的中点,的横坐标为1,;(2) ①根据首尾相加为常数1可得到数列的和；②根据上一问得到数列通项，进而得到，由恒成立恒成立，由不等式求得最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意由知为线段的中点.‎ 又的横坐标为1，，，即 即的纵坐标为定值.‎ ‎（2）①由（1）知，‎ 又 ‎（且）‎ ‎②当时，‎ 又，也适合.‎ ‎ ‎ 由恒成立恒成立 而（当且仅当取等号）‎ ‎，的最小正整数为1.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ 评卷人 得分 三、填空题 ‎20．“点在曲线上”是“点到两坐标轴距相等”的________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要。既不充分又不必要）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线的性质可得，充分性成立；通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由“点在曲线上”一定能推出“点到两坐标轴距离相等”,‎ 但当“点到两坐标轴距离相等”时，点不一定在曲线上，‎ 此时,点也可能在曲线上，‎ 故“点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等” 的充分不必要条件，‎ 故答案为充分不必要.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件、充要条件的定义和判断方法,属于基础题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎21．若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由n＝1，2，3，4，5，6，分别求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，然后总结规律，求出a2014．‎ ‎【详解】‎ 由 得a3＝2，‎ a2＝a3＝2，‎ 由，得a4＝4，‎ 由，得a5＝4，‎ a4＝a5＝4，‎ 由，得a6＝8，‎ 由，得a7＝8．‎ a6＝a7＝8…‎ 由此可知a2018＝a2019‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列递推式，解答此题的关键在于分析出数列的项规律出现，是中档题．‎ ‎22．在中，角的对边分别为，已知的长度是底面半径为3，侧面积为的圆锥的母线长，又，且为锐角，则面积的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥的侧面积求得，由利用正弦定理可得，由余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ 即最大面积为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎