数学文卷·2018届江西省新余市高二上学期期末考试（2017-01） 9页

新余市2016—2017学年度上学期期末质量检测 高二数学试题卷(文科)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.设（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎2.某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是 （ ）‎ A．与具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 ‎ C．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为 ‎ D．若该大学某女生身高增加，则其体重约增加 ‎3.在数列 中，，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.九江气象台统计,5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 中，，则的面积等于（ ）‎ A． B． C. 或 D．或 ‎ 6.数列中，对所有的正整数都有，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知等差数列的前项和为，且，那么（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在锐角中，角所对的边长分别为.向量，且.若面积为，则的周长为（ ）‎ A．10 B．20 C. 26 D．40‎ ‎10.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知关于的不等式的解集；且函数的定义域为，则的范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.一组数据中,经计算，回归直线的斜率为0.6，则利用回归直线方程估计当时， ． ‎ ‎14.在锐角中，角所对的边分别为，若，，则的值为 ．‎ ‎15.已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为 ．‎ ‎16.对一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为取整函数.若为数列的前项和，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关.表是一次调查所得的数据.‎ ‎（1）将本题的联表格补充完整；‎ ‎（2）甲提示的公式计算，每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 提示：‎ 患心脏病 未患心脏病 合计 每一晚都打鼾 ‎3‎ ‎17‎ 不打鼾 ‎2‎ ‎128‎ 合计 ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券.赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛（最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据.‎ 比分 易建联技术统计 投篮命中 罚球命中 全场得分 真实得分率 中国91-42新加坡 ‎12‎ ‎59.52%‎ 中国76-73韩国 ‎20‎ ‎60.53%‎ 中国84-67约旦 ‎26‎ ‎58.56%‎ 中国75-62哈萨克斯坦 ‎15‎ ‎81.52%‎ 中国90-72黎巴嫩 ‎19‎ ‎71.97%‎ 中国85-69卡塔尔 ‎13‎ ‎55.27%‎ 中国104-58印度 ‎21‎ ‎73.94%‎ 中国70-57伊朗 ‎13‎ ‎55.27%‎ 中国78-67菲律宾 ‎11‎ ‎33.05%‎ 注：（1）表中表示出手次命中次；‎ ‎（2）（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：‎ ‎ ‎ ‎（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中超过50%的概率；‎ ‎（2）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在这两场比赛中至少有一场超过60%的概率；‎ ‎（3）用来表示易建联某场的得分，用来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断与之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，扇形，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设.‎ ‎（1）若点为的中点，试求的正弦值；‎ ‎（2）求面积的最大值及此时的值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：‎ 已知，求证：.‎ ‎【证明】构造函数，则，‎ 因为对一切，恒有.‎ 所以，从而得.‎ ‎（1）若，请写出上述结论的推广式；‎ ‎（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且，对任意，都有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程解集中恰有一个元素，求的值；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ ‎ ‎ 试卷答案【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 一、选择题（12×5=60分）‎ ‎1—5 ACCBC 6—10 ADABC 11—12 AC 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13、 5.2 14、 15、 16、 100 ‎ 三、简答题（17题10分，18——22题每题12分，共70分）‎ ‎17、【答案】解：（1）根据表中数据，得； a=3+17=20， b=2+128=130， c=3+2=5， d=17+128=145， n=a+b=20+130=150；---（4分） （2）根据表中数据，计算得； K2==9.8，---（8分） ∵9.8＞6.635， 对照数表得，有99%的把握说 “每一晚都打鼾与患心脏病有关”．---（10分）‎ ‎18、解：（1）设易建联在比赛中%超过50%为事件A，则共有8场比赛中%超过50%，‎ 故．…………………4分 ‎（2）设“易建联在这两场比赛中%至少有一场超过60%”为事件B，则从上述9场中随机选择两场共有36个基本事件，其中任意选择两场中，两场中%都不超过60%的共有10个基本事件，‎ 故．……………………8分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（3）不具有线性相关关系. ……………………10分 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围．篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛.‎ ‎……………………….12分 ‎19、解：‎ ‎（1）在△POC中，∠OCP=，OP=2，OC=1， 由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos得PC2+PC-3=0，解得PC=． …………3分 由正弦定理可得：sinθ=． ………………..6分 ‎ （2）解法一：∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=-θ， 在△POC中，由正弦定理得， 即，∴CP=sinθ． 又，∴OC=sin（-θ）． …………8分 记△POC的面积为S（θ），则S（θ）=CP•OCsin=•sinθ•sin（-θ）×=sinθ•sin（-θ）=sinθ（cosθ-sinθ）=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-=（sin2θ+）-，10 分 ∴θ=时，S（θ）取得最大值为．………12分 解法二：cos==-，即OC2+PC2+OC•PC=4．……………8 分 又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立， 所以S=CP•OCsin≤××=， …………….10分 ∵OC=PC， ∴θ=时，S（θ）取得最大值为．……………….12分 ‎20、解：（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1， 求证：a12+a22+…+an2≥， ………………..4分 ‎（2）证明：构造函数 f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2 =nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2 =nx2-2x+a12+a22+…+an2 ……………………..8分 因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a12+a22+…+an2）≤0‎ ‎ 从而证得：a12+a22+…+an2≥ ……………………12分 ‎21．解法一：（1）‎ 两式相减得：‎ 即，得……………4分 ‎……………6分 解法二：由nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，得 n(Sn＋1－Sn)＝Sn＋n(n＋1)，‎ 整理得，nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)，‎ 两边同除以n(n＋1)得，－＝1.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴数列是以＝0为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴＝0＋n－1＝n－1. ∴Sn＝n(n－1)．‎ 又适合上式，‎ ‎……………7分 ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ …….(1)‎ ‎…….(2)‎ ‎(1)—（2）得：‎ ‎……………12分 ‎22、解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1， ∴2，化为：，解得0＜x＜1， 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．………………… 3分 ‎（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x-1=0，… 5分 若a=0，化为x-1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1． 若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程 f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1． 综上可得：a=0或 ………………… 7分 （3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减， ∴ ………………9分化为： ，对一切恒成立。 ‎ ‎ 当时……………… 11分 ∴． ∴a的取值范围是．……………… 12分