山西省朔州市怀仁县第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题 18页

文科数学 一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)‎ ‎1.已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.‎ 详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.‎ 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.‎ ‎2.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（ ）‎ A. 结论不正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 大前提：余弦函数是偶函数，正确；‎ 小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；‎ 结论：是偶函数，正确．‎ 故选：C ‎3.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．‎ 详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”‎ 点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：‎ 结论词 没有 至少有一个 至多一个 不大于 不等于 不存在 反设词 有 一个也没有 至少两个 大于 等于 存在 ‎4. 执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )‎ A. [－3,4] B. [－5,2]‎ C. [－4,3] D. [－2,5]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：此程序为分段函数，当时，，当时，，所以函数的值域为：，故选A．‎ 考点：程序框图 ‎5.已知变量，之间具有线性相关关系，其回归方程为，若,则的值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. －3 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知条件计算出样本点中心,再根据回归直线经过样本点中心,列方程可解得结果.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 因为,所以,‎ 又因为样本点中心在回归直线上,‎ 所以,即,解得,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了回归直线经过样本点中心,解题关键是根据样本点中心在回归直线上,本题属于基础题.‎ ‎6.极坐标方程分别是两个圆的圆心距离是（ ）‎ A. 2 B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵极坐标方程表示圆心（1,0）半径为1的圆，极坐标方程表示圆心(0,2)半径为2的圆,∴两圆心的距离为，故选D ‎7.已知点P的极坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用点P的直角坐标是，过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程，得到答案．‎ 详解：点P的直角坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，‎ 化为极坐标方程为，即，‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，是解题的关键．‎ ‎8.曲线在点处的切线方程为，则等于（ ）‎ A. －1 B. 1 C. －3 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求出切线的斜率和方程,与已知切线方程比较可得的值.‎ ‎【详解】由得,所以,‎ 又,‎ 所以曲线在点处的切线方程为,‎ 即,即.‎ 所以,所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,属于基础题 ‎9.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,再求出切线在两坐标轴上的截距,再由三角形面积公式可求得答案.‎ ‎【详解】由得,所以曲线在点处的切线的斜率为2,‎ 所以切线方程为:,即,‎ 令得,令,得,‎ 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,三角形的面积公式,属于基础题.‎ ‎10. f（x）=2lnx﹣x2，则f′（x）＞0的解集为（ ）‎ A. （0，1） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （1，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】∵f（x）=2lnx﹣x2，‎ ‎∴函数的定义域为（0，+∞），‎ 则f（x）=，‎ 由f′（x）=＞0，‎ 得x2﹣1＜0，‎ 即0＜x＜1，‎ 即不等式的解集为（0，1），‎ 故选A．‎ ‎11.已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．‎ ‎【详解】由f（x）＝，‎ ‎∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．‎ 又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，‎ 故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．‎ ‎12.已知函数，若，且，使得 ‎.则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,‎ 然后利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,结合图象分析可得答案.‎ ‎【详解】因为，且，使得,‎ 所以函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,‎ 因为,‎ 由,得或,‎ 由得,‎ 所以函数在,上单调递增,在上单调递减,‎ 所以函数极大值为,极小值为,‎ 函数的图象如图所示:‎ 由图可知,.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了转化划归思想,数形结合思想,利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,‎ 由函数图象的交点个数求参数,本题属于中档题.‎ 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)‎ ‎13.观察下列各式：，，，，，，…，则_________‎ ‎【答案】123‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前6个式子的右边分析可知,从第三个式子的右边开始,每个式子的右边等于它前两个式子的右边之和,由此可推得答案.‎ ‎【详解】设第个式子的右边为,则,,,‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案为:123.‎ ‎【点睛】本题考查了从特殊到一般的归纳推理,由前6个式子找出规律来是解题关键,本题属于基础题.‎ ‎14.在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，同时将直线的极坐标方程也化为普通方程为，计算圆心到直线的距离，有，说明直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离为．‎ 考点：1．极坐标方程与普通方程的互化；2．直线与圆的位置关系．‎ ‎15.已知函数，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，，解得，故，故答案为.‎ ‎16.设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,进而求出,再由累乘法可得答案.‎ ‎【详解】由得,所以切线的斜率为,所以切线方程为,‎ 令,解得,即,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,累乘法,本题属于中档题.‎ 三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分)‎ ‎17.已知,分别求,,值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ，则函数值的和为 ，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.‎ 试题解析：由，得 ‎ ‎,,‎ ‎. ‎ 归纳猜想一般性结论为 ‎ 证明如下：‎ ‎ ‎ ‎【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎18.为了比较注射,两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物.下表1和表2分别是注射药物和药物后的实验结果.（疱疹面积单位：）‎ 表1：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ 表2：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎(1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；‎ ‎(2）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.‎ 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物 注射药物 合计 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎001‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）图见解析，注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数. （2）表见解析，有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据中位数使得直方图中左右两边面积为0.5,列式可求得两个中位数,再比较大小,‎ ‎(2)完成列联表后,根据表格中数据代入公式计算可得,再利用临界值表可得答案.‎ ‎【详解】（1）频率分布直方图如图所示:‎ 设注射药物后的疱疹面积的中位数为,注射药物后的疱疹面积的中位数为,‎ 则由,解得,‎ 由,解得,‎ 所以注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数.‎ ‎（2）表3‎ 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物 ‎100‎ 注射药物 ‎100‎ 合计 ‎105‎ ‎95‎ ‎，由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.‎ ‎【点睛】本题考查了绘制直方图,根据直方图计算中位数,考查了独立性检验,本题属于基础题.‎ ‎19.在直角坐标系中，圆:,以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线:与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1） （2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用可化得;‎ ‎(2)联立射线:与圆的极坐标方程,可解得点的极径, 联立射线:与直线的极坐标方程可解得点的极径,再用两个极径作差可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）圆的普通方程为，‎ 即 ,化为极坐标方程为 ‎（2）由解得 ,所以；‎ 由解得,所以 从而 ‎【点睛】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程,考查了利用点的极径求弦长,属于基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎ （I）若处取得极值，求实数a的值；‎ ‎ （II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求导数，把代入导函数为零可得关于的方程，解之可得实数的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案.‎ 试题解析：（I）‎ 由题意得，经检验满足条件 ‎ ‎（II）由（I）知 ‎ 令（舍去） ‎ 当x变化时，的变化情况如下表： ‎ x ‎－1‎ ‎(－1,0)‎ ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎－1‎ ‎↘‎ ‎－4‎ ‎↗‎ ‎－3‎ ‎∵关于x的方程上恰有两个不同的实数根 ‎ ‎ ‎∴实数m的取值范围是 ‎ ‎21.设函数，其中．‎ ‎（1）若，求在上最值；‎ ‎（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）.;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据题设先求导再运用导数与函数单调性之间的关系分析求解；（2）依据导函数的零点就是极值点这一关系建立不等式分析求解：‎ ‎（1）,令（舍），在上单调递减，在上单调递增，，‎ ‎（2）在上有两不等实根，即在上有两不等实根，令则．‎ 点睛：解答本题的第一问时，直接对函数求导，求出极值点再分别代入求出其函数值，再求最值；求解第二问时，依据题设条件可导函数有两个零点等价于方程有两个不相等的实数根，借助二次方程的判别式建立不等式进行等价转化，再通过解不等式使得问题获解．‎ ‎22.设函数，其中为正实数．‎ ‎（Ⅰ）若是函数的极值点，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在上无最小值，且在上是单调增函数，求 的取值范围，并由此判断曲线与曲线在交点个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间为；‎ ‎（Ⅱ）的取值范围为，曲线与曲线在交点个数为0．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由得，而，所以函数的增区间为，减区间为；（Ⅱ）求出的导函数，讨论的范围，由条件得时；由的导函数在上恒成立，即，所以的取值范围为；此时即，令，由函数单调性知的极小值为，故两曲线没有公共点．‎ 试题解析：（Ⅰ）由得 的定义域为：‎ 函数的增区间为，减区间为 ‎（Ⅱ）由 若则在上有最小值 当时，在单调递增无最小值 ‎∵在上是单调增函数，∴在上恒成立 ‎∴‎ 综上所述的取值范围为 此时即，令，‎ 则在单减，在单增，‎ 极小值为．故两曲线没有公共点 考点：1、函数的单调性；2、函数的极值与最值；3、分类讨论的思想．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查的是利用导数的代数意义，研究函数的单调性、极值与最值问题，属于难题；本题把曲线与曲线的交点问题转化为函数极值与最值的问题，根据题意先分别求在上无最小值、在上是单调增函数时的的取值范围，此时得到，构造函数，由函数单调性知的极小值为，故两曲线没有公共点．‎ ‎ ‎