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- 2021-06-15 发布
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河南省郑州市重点高中2019-2020学年高三期中考试文科数学试题
一、选择题(本大题共12小题)
1. 函数f(x)=的定义域是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式的运算结果为实数的是( )
A. B. C. D.
3. 设集合A={x|x2>4},A∩B={x|x<-2},则集合B可以为( )
A. B. C. D.
4. 函数f(x)=(sinx+cosx)2的最小正周期为( )
A. B. C. D.
5. 在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),=(2,-3),则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
6. 若函数f(x)=1+|x|+x3,则=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则=( )
A. B. 16 C. D. 9
8. 已知函数f(x)=sinx和g(x)=的定义域都是[-π,π],则它们的图象围成的区域面积是( )
A. B. C. D.
9. 函数f(x)=sinx•ln|x|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10. 若存在等比数列{an},使得a1(a2+a3)=6a1-9,则公比q的最大值为( )
A. B. C. D.
11. 已知函数f(x)=2cos2(2x+)+sin(4x+),则下列判断错误的是( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为 D. 的图象关于点对称
12. 已知函数的导函数满足对恒成立,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题)
13. 已知全集U=R,集合,则∁UP=______.
1. 若函数f(x)=arcsin(x-1)-cos()的图象与x轴交于点A,过点A的直线l与函数的图象交于另外两点P、Q,O是坐标原点,则(+)•=______.
2. 若集合A={x|x2-(a+2)x+2-a<0,x∈Z}中有且只有一个元素,则正实数a的取值范围是______
3. 正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,动点P满足,若,其中m、n∈R,则的最大值是______
三、解答题(本大题共6小题)
4. 函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,)
部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)设g(x)=f(x)+sin2x,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
5. 等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn,求T2n.
6.
已知函数,;
若函数在上存在零点,求a的取值范围;
设函数,,当时,若对任意的,总存在,使得,求b的取值范围.
1. 在△ABC中,3sinA =2sinB,tanC=2.
(1)证明:△ABC为等腰三角形.
(2)若△ABC的面积为2,D为AC边上一点,且BD=3CD,求线段CD的长.
2. 已知函数f(x)=(x-a-1)ex+ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若∃x0∈[1,2],f(x0)<0,求a的取值范围.
3.
若数列{an}、{bn}满足|an+1-an|=bn(n∈N*),则称{bn}为数列{an}的“偏差数列”.
(1)若{bn}为常数列,且为{an}的“偏差数列”,试判断{an}是否一定为等差数列,并说明理由;
(2)若无穷数列{an}是各项均为正整数的等比数列,且a3-a2=6,{bn}为数列{an}的“偏差数列”,求的值;
(3)设,{bn}为数列{an}的“偏差数列”,a1=1,a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1,若|an|≤M对任意n∈N*恒成立,求实数M的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:由f(x)=,令x-4≥0,解得x≥4,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≥4}.
故选:A.
函数f(x)有意义即保证二次根式的被开方为非负.
本题考查了二次根式的被开方非负,以及函数定义域的求法问题,是基础题.
2.【答案】D
【解析】解:∵-i(1+i)=1-i;i(1-i)=1+i;(1+i)-(1-i)=2i;(1+i)(1-i)=1-i2=1+1=2,
故选:D.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查运算求解能力,是基础题.
3.【答案】C
【解析】【分析】
考查描述法的定义,一元二次不等式的解法,以及交集的运算.
可解出集合A,然后进行交集的运算即可.
【解答】
解:A={x|x<-2,或x>2};
∴B={x|x<1}时,A∩B={x|x<-2}.
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角恒等变换,考查三角函数的周期性及其求法,属于基础题.
将f(x)=(sinx+cosx)2展开,可得f(x)=1+sin2x,从而可求得其最小正周期.
【解答】
解:∵f(x)=(sinx+cosx)2
=1+2sinxcosx
=1+sin2x,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
故选:B.
5.【答案】A
【解析】解:解:设C(x,y),D(s,t),则:
;
∴;
∴;
∴C(3,-1);
又,;
∴(3-s,-1-t)=(-3,-2);
∴;
∴;
∴点D的坐标为(6,1).
故选:A.
可设C(x,y),D(s,t),从而根据条件得出(x-1,y-2)=(2,-3),从而可求出,即C(3,-1),并可求出,根据即可求出点D的坐标.
考查根据点的坐标求向量的坐标的方法,相等向量的概念.
6.【答案】C
【解析】【分析】
考查对数的运算性质,对数函数的单调性,已知函数求值的方法.
可知,从而可根据f(x)的解析式得出=1+lg2+(lg2)3+1+lg2+(-lg2)3+1+lg5+(lg5)3+1+lg5+(-lg5)3=6.
【解答】
解:
=f(lg2)+f(-lg2)+f(lg5)+f(-lg5)
=1+lg2+(lg2)3+1+lg2+(-lg2)3+1+lg5+(lg5)3+1+lg5+(-lg5)3
=4+2(lg2+lg5)=6.
故选:C.
7.【答案】B
【解析】解:∵∠C=90°,
∴=0.
∴===16.
故选:B.
利用向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则即可得出.
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的三角形法则,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】解:g(x)=的图象为圆心为O半径为π的圆的上半部分,
∵y=sinx是奇函数,
∴f(x)在[-π,0]上与x轴围成的面积与在[0,π]上与x轴围成面积相同,
则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积
S=,
故选:C.
作出f(x)与g(x)的图象,结合图象的对称性进行求解即可.
本题主要考查区域面积的计算,作出两个函数的图象,利用图象的对称性,利用割补法是解决本题的关键,属基础题.
9.【答案】A
【解析】解:f(-x)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
∴函数f(x)的图象关于原点对称,故排除B,C,
当x→+∞时,-1≤sinx≤1,ln|x|→+∞,
∴f(x)单调性是增减交替出现的,故排除,D,
故选:A.
先根据函数的奇偶性,可排除B,C,根据函数值的符号即可排除D
.
本题考查了函数图象的识别,根据根据函数值的符号即可判断,属于基础题.
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
由a1(a2+a3)=6a1-9,化为:a12(q+q2)-6a1+9=0,当q+q2=0时,易知q=-1,满足题意,当q+q2≠0,△≥0,解得q范围即可得出.
【解答】
解:∵a1(a2+a3)=6a1-9,
∴a12(q+q2)-6a1+9=0,
当q+q2=0时,易知q=-1,满足题意,
当q+q2≠0,△=36-36(q+q2)≥0,解得≤q≤且q≠0,q≠-1.
∴q的最大值为.
故选:D.
11.【答案】D
【解析】解:f(x)=1+cos(4x+)+sin(4x+)=1+2sin(4x++)=1+2cos4x,
则A,B,C均正确,D错误.
故选:D.
化简f(x)=1+2cos4x后,根据函数的性质可得.
本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质,运算求解能力,属中档题.
12.【答案】A
【解析】解:由(x+xlnx)f'(x)<f(x),x∈(,+∞),
得(1+lnx)f'(x)-f(x)<0,
令,则<0.
∴故g(x)在(,+∞)递减;
∴g(e)<g(1),即⇒f(e)<2f(1).
故选:A.
令,可得<0.可得g(x)在(,+∞)递减,即可求解.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
13.【答案】(-∞,1]
【解析】解:由P中y=,0<x<1,得到y>1,即P=(1,+∞),
∵全集U=R,
∴∁UP=(-∞,1].
故答案为:(-∞,1]
求出P中y的范围确定出P,根据全集U=R,求出P的补集即可.
此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
14.【答案】2
【解析】解:因为f(1)=0,f(x)=arcsin(x-1)-cos()在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称,
所以点A为(1,0),P、Q两点关于点A对称,所以,
所以()=22=2
,
故答案为:2.
先分别观察函数y=arcsin(x-1)和y=cos()会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称,所以f(x)=arcsin(x-1)-cos()在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称,所以得到点A(1,0),且A为PQ中点,再结合向量的中点公式和数量积运算解题.
本题主要考查三角函数与反三角函数的图象与性质,以及向量的中点公式与数量积,熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.
15.【答案】
【解析】解:∵x2-(a+2)x+2-a<0 且a>0
∴x2-2x+2<a(x+1)
令f(x)=x2-2x+2;g(x)=a(x+1)
∴A={x|f(x)<g(x),x∈Z}
∴y=f(x)是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;
而y=g(x)一次函数,图象是过一定点(-1,0)的动直线.
又∵x∈Z,a>0.数形结合,可得:.
故答案为:(,]
因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为f(x)<g(x)的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数.
此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用,利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题.
16.【答案】1
【解析】解:建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,-1),B(1,-1),D(-1,1),P(,),
所以=(+1,sinθ+1),=(2,0),=(0,2),
又,
所以,
则=,
其几何意义为过点E(-3,-2)与点P(cosθ,sinθ)的直线的斜率,
设直线方程为y+2=k(x+3),
点P的轨迹方程为x2+y2=1,
由直线与圆的位置关系有:
,
解得:,
即的最大值是1,
故答案为:1
由平面向量的坐标运算得:则A(-1,-1),B(1,-1),D(-1,1),P(,),所以=(+1,sinθ+1),=(2,0),=(0,2),
又,所以,则=,其几何意义为过点E(-3,-2)与点P(cosθ,sinθ)的直线的斜率,
由点到直线的距离得:设直线方程为y+2=k(x+3),点P的轨迹方程为x2+y2=1,由点到直线的距离有:,解得:,即的最大值是1
,得解
本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离,属难度较大的题型
17.【答案】解:(1)由函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象知,A=1,=-=,
∴T=π,f(x)的最小正周期为π;
由ω==2,且x=时,f()=1,
∴2×+φ=0,解得φ=-,
∴f(x)的解析式为f(x)=cos(2x-);
(2)函数g(x)=f(x)+sin2x
=cos(2x-)+sin2x
=cos2x+sin2x
=sin(2x+),
当x∈[0,]时,2x+∈[,],sin(2x+)∈[-,1],
∴函数g(x)在区间上的最大值为,最小值为.
【解析】(1)由函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象写出A、T和ω、φ的值,即可写出f(x)的解析式;
(2)化函数g(x)为正弦型函数,求出g(x)在区间上的最大和最小值.
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是中档题.
18.【答案】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由b2+S2=10,a5-2b2=a3.
得,解得
∴an=3+2(n-1)=2n+1,.
(Ⅱ)由a1=3,an=2n+1得Sn=n(n+2),
则n为奇数,cn==,
n为偶数,cn=2n-1.
∴T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)
=
==.
【解析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(Ⅱ)由a1=3,an=2n+1得Sn=n(n+2).则n为奇数,cn==.“分组求和”,利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出.
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.【答案】解:(1)∵f(x)=x2-4x+a+3的函数图象开口向上,对称轴为x=2,
∴f(x)在[-1,1]上是减函数,
∵函数y=f(x)在[-1,1]上存在零点,
∴f(-1)f(1)≤0,即a(8+a)≤0,
解得:-8≤a≤0.
(2)a=3时,f(x)=x2-4x+6,
∴f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,
∴f(x)在[2,4]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(4)=6.
即f(x)在[2,4]上的值域为[2,6].
设g(x)在[1,4]上的值域为M,
∵对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得g(x1)=f(x2),
∴M⊆[2,6].
当b=0时,g(x)=5,即M={5},符合题意,
当b>0时,g(x)=bx+5-2b在[1,4]上是增函数,
∴M=[5-b,5+2b],
∴,解得0<b≤.
当b<0时,g(x)=bx+5-2b在[1,4]上是减函数,
∴M=[5+2b,5-b],
∴,解得-1≤b<0.
综上,b的取值范围是.
【解析】(1)根据f(x)在[-1,1]上单调递减且存在零点可得f(-1)f(1)≤0,从而解出a的范围;
(2)对b进行讨论,判断g(x)的单调性,分别求出f(x),g(x)在[1,4]上的值域,令g(x)的值域为f(x)的值域的子集列出不等式组得出b的范围.
本题考查了二次函数的单调性判断,值域计算,零点的存在性定理,分类讨论思想,属于中档题.
20.【答案】(1)证明:∵tanC=2>0,∴C为锐角,且sinC=,cosC=.
过A做AH⊥BC,垂足为H,则CH=bcosC=,
∵3sinA=2sinB,∴3a=2b,即a=,
∴H是BC的中点,又AH⊥BC,
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)解:AH=bsinC=,
∴S△ABC===2,
解得b=3,∴BC=2,
在△BCD中,由余弦定理得cosC==,
解得:CD=.
【解析】(1)过A做BC的垂线AH,根据C的大小可得H为BC的中点,从而得出AB=AC;
(2)根据面积求出BC,在△BCD中根据余弦定理计算CD.
本题考查了余弦定理,三角形中的几何计算,属于中档题.
21.【答案】解:(1)函数f(x)=(x-a-1)ex+ax的定义域为R,
f′(x)=(x-a)ex-x+a=(x-a)(ex-1).令f′(x)=0,可得x=a,或x=0,
①当a<0时,x∈(-∞,a)∪(0,+∞),f′(x)>0,x∈(a,0),f′(x)<0.
∴函数f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上递增,在(a,0)递减;
②当a=0时,f′(x)≥0恒成立,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上递增;
③当a>0时,x∈(-∞,0)∪(a,+∞),f′(x)>0,x∈(0,a),f′(x)<0.
∴函数f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上递增,在(0,a)递减;
(2)设g(x)=x-ex,g′(x)=1-ex
在[1,2],g′(x)≤0恒成立,∴g(x)单调递减,g(x)≤g(1)=1-e<0
可得f(x0)<0⇔(x0-a-1)e-+ax0<0.
⇔a(x0-e)+e-.
⇔∃x0∈[1,2],使得a>
设h(x)=,x∈[1,2],
,
设φ(x)=,x∈[1,2],φ′(x)=x-ex<0在[1,2]恒成立.
∴φ(x)在[1,2]单调递减,∴φ(x)≤φ(1)=,
∴h′(x)>0在[1,2]恒成立.
∴h(x)在[1,2]单调递增,h(x)min=h(1)=
综上,a的取值范围为()
【解析】(1)求出函数的导数,分a>0,a<0,a=0求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为a(x0-e)+e-.⇔∃x0∈[1,2],使得a>设h(x)=,x∈[1,2],根据函数的单调性求出a的范围即可.
本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数存在性问题,考查转化思想,是一道中档题.
22.【答案】解:(1){an}不一定为等差数列,如,则bn=2为常数列,但{an}不是等差数列,
(2)设数列{an}的公比为q,则由题意,a1、q均为正整数,
因为a3-a2=6,所以a1q(q-1)=6=1×2×3,
解得或,
故或(n∈N*),
①当时,,,
==;
②当时,,,
==;
综上,的值为或;
(3)由a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1得,=
故有:,,
……,
累加得:
=
=,
又a1=1,所以,
当n为奇数时,{an}单调递增,an>0,,
当n为偶数时,{an}单调递减,an<0,,
从而|an|≤,所以M≥,即M的最小值为.
【解析】(1){an}不一定为等差数列,如;
(2)设数列{an}的公比为q,解方程可得首项和公比,由等比数列的通项公式和求和公式,计算可得所求值;
(3)由累加法可得数列{an}的通项公式,讨论n为奇数或偶数,求得极限,由不等式恒成立思想可得M的最小值.
本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,考查分类讨论思想方法,化简运算能力,属于难题.