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- 2021-06-15 发布
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第58讲 双曲线、抛物线
考试要求 1.双曲线的定义,几何图形和标准方程,简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(A级要求);2.抛物线的定义,几何图形,标准方程及简单的几何性质(A级要求).
诊 断 自 测
1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 .
解析 由已知,a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=2.
答案 2
2.(2016·四川卷改编)抛物线y2=4x的焦点坐标是 .
解析 ∵对于抛物线y2=ax,其焦点坐标为,
∴y2=4x,则为(1,0).
答案 (1,0)
3.(2018·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,那么双曲线的离心率为 .
解析 根据题意,设双曲线的方程为-=1,则=,所以==,即双曲线的离心率为.
答案
4.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,AB=4,则C的实轴长为 .
解析 由题设C:-=1.
∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4,得A(-4,),B(-4,-),
∴AB=2=4,
∴a=2,∴2a=4.
∴C的实轴长为4.
答案 4
5.已知抛物线方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 .
解析 设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1,因此k的取值范围是[-1,1].
答案 [-1,1]
知 识 梳 理
1.双曲线定义
平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2aF1F2时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A2=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长B1B2=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
3.抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
4.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
O(0,0)
对称
轴
y=0
x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
考点一 双曲线、抛物线的定义及标准方程
【例1-1】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得MC1-AC1=MA,
MC2-BC2=MB,
因为MA=MB,
所以MC1-AC1=MC2-BC2,
即MC2-MC1=BC2-AC1=2,
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2=6.
又根据双曲线的定义得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
答案 x2-=1(x≤-1).
【例1-2】 根据下列条件求双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
解 (1)设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a>0,b>0).
由题意知2b=12,e==.
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).
∴解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
规律方法 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方的方法,建立与PF1·PF2的联系.
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值,如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.
(4)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【训练1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
(2)若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则PA+PF取最小值时点P的坐标为 .
解析 (1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0).准线为x=-1,由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.
(2)将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±.
∵>2,∴A在抛物线内部,如图.
设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知PA+PF=PA+d,当PA⊥l时,PA+d最小,最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,∴点P的坐标为(2,2).
答案 (1)9 (2)(2,2)
考点二 双曲线、抛物线的几何性质
【例2】 (1)(2017·盐城三模)若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A,B,当四边形OAFB为菱形时,双曲线的离心率为 .
(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知AB=4,DE=2,则C的焦点到准线的距离为 .
解析 (1)若四边形OAFB为菱形,且点A在圆x2+y2=r2上,则点A坐标为,此时r=c.又点A在渐近线上,所以c=·,即=,所以e= =2.
(2)不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2(r>0),
∵AB=4,DE=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D,
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴∴+8=+5,解得p=4(负值舍去),
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)2 (2)4
规律方法 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2.
【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为 .
(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若AF+BF=4OF,则该双曲线的渐近线方程为 .
解析 (1)离心率e=,由正弦定理得e====.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线的定义:
AF=y1+,BF=y2+,OF=,
所以AF+BF=y1++y2+=y1+y2+p=4OF=2p,
可得y1+y2=p,
联立方程⇒-=1⇒-+1=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-=×b2=p,
∴p=p⇒=⇒=.
∴双曲线渐近线方程为y=±x.
答案 (1) (2)y=±x
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2018·苏北四市联考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且AF=3.
(1)求抛物线E的方程;
(2)(一题多解)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
法一 (1)解 由抛物线的定义得AF=2+.
因为AF=3,即2+=3,解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)证明 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),
所以kGA==,kGB==-.
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
法二 (1)同法一.
(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).
由
得2x2-5x+2=0.
解得x=2或x=,
从而B.
又G(-1,0),
故直线GA的方程为2x-3y+2=0.
从而r==.
又直线GB的方程为2x+3y+2=0.
所以点F到直线GB的距离
d===r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式AB=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 (2016·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);
②求p的取值范围.
(1)解 ∵l:x-y-2=0,∴l与x轴的交点坐标为(2,0).
即抛物线的焦点为(2,0),∴=2,∴p=4.
∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)①证明 设点P(x1,y1),Q(x2,y2).
则则
∴kPQ==,
又∵P,Q关于l对称.∴kPQ=-1,即y1+y2=-2p,
∴=-p,又∵PQ的中点一定在l上,
∴=+2=2-p.
∴线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).
②解 ∵PQ的中点为(2-p,-p),
∴
即∴
即关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0,有两个不等实根.∴Δ>0.
即(2p)2-4(4p2-4p)>0,解得0<p<,
故所求p的范围为.
一、必做题
1.(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 .
解析 ∵方程-=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得
-m20,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 .
解析 由题意易知点F的坐标为(-c,0),A,
B,E(a,0),
∵△ABE是锐角三角形,∴·>0,
即·=·>0,
整理得3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,
∴e(e+1)2(e-2)<0,
解得e∈(0,2),又e>1,∴e∈(1,2).
答案 (1,2)
5.(2016·浙江卷)设双曲线x2-=1的左、焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则PF1+PF2的取值范围是 .
解析 如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而F1F2=4,由对称性不妨设P在右支上,
设PF2=m,
则PF1=m+2a=m+2,
由于△PF1F2为锐角三角形,
结合实际意义需满足解得-1+<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,
∴2<2m+2<8.
答案 (2,8)
6.(2017·全国Ⅱ卷改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为 .
解析 取渐近线y=x,化成一般式bx-ay=0,圆心(2,0)到直线的距离为=,又由c2=a2+b2得c2=4a2,e2=4,e=2.
答案 2
7.(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
解析 设左焦点为F1,PF-PF1=2a=2,
∴PF=2+PF1,△APF的周长为AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1,△APF周长最小即为AP+PF1最小,当A、P、F1在一条直线时最小,过AF1的直线方程为+=1.与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S=S△AF1F-S△F1PF=12.
答案 12
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为 .
解析 由定义知PF1-PF2=2a.
又PF1=4PF2,∴PF1=a,PF2=a.
在△PF1F2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2==-e2.
要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=,
即e的最大值为.
答案
9.(2018·南京师大附中模拟)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过M(-1,0)的直线l与抛物线C交于E,F两点,又过E,F作抛物线C的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.
解 (1)双曲线的离心率e==,
又a>0,∴a=1,双曲线的顶点为(0,1),
又p>0,
∴抛物线的焦点为(0,1),
∴抛物线方程为x2=4y.
(2)由已知可知,直线l的斜率存在且不为零,
设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2),
∵y=x2,∴y′=x,
∴切线l1,l2的斜率分别为,,
当l1⊥l2时,·=-1,∴x1x2=-4,
由得x2-4kx-4k=0,
∴Δ=(-4k)2-4(-4k)>0,
∴k<-1或k>0.①
解x2-4kx-4k=0得x1,2=2k±2.
x1·x2=-4k=-4,∴k=1,满足①,
即直线的方程为x-y+1=0.
10.(2018·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E,试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
解 (1)由题意得点P到准线的距离等于PO,
由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF,
所以PO=PF,即点P在线段OF的中垂线上,
所以=,p=3,
所以抛物线的方程为y2=6x.
(2)四边形AEBF为菱形,理由如下:
由抛物线的对称性,设点A在x轴的上方,所以点A处切线的斜率为,
所以点A处切线的方程为y-y0=,
令上式中y=0,得x=-y,
所以B点坐标为,
又E,F,
所以=,=,
所以=,所以FA∥BE,
又AE∥FB,故四边形AEBF为平行四边形,
再由抛物线的定义,得AF=AE,所以四边形AEBF为菱形.
二、选做题
11.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得(+2)·=0(其中O为坐标原点),且||=
|2|,则双曲线的离心率为 .
解析 ∵=-2,
∴(+)·=(+2)·(-2)=0,
即2-=0,∴|2|=||=c,
在△MF1F2中,边F1F2上的中线等于F1F2的一半,可得1⊥2.
∵||=||,
∴可设|2|=λ(λ>0),|1|=λ,
得(λ)2+λ2=4c2,解得λ=c,
∴|1|=c,|2|=c,
∴根据双曲线定义得2a=|1|-|2|=(-1)c,
∴双曲线的离心率e==+1.
答案 +1
12.(2017·浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y),
过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求PA·PQ的最大值.
解 (1)由题意得P(x,x2),-<x<.
设直线AP的斜率为k,
故k==x-∈(-1,1),
故直线AP斜率的取值范围为(-1,1).
(2)由(1)知P,-<x<,
则直线AP的方程为:y=kx+k+,
直线BQ的方程为:y=-x++,
联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=,
因为PA==(k+1),
PQ=(xQ-x)=-,
所以PA·PQ=-(k-1)(k+1)3,
令f(k)=-(k-1)(k+1)3,
则f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,
当k∈时,f′(k)>0;当k∈时,f′(k)<0,
所以f(k)在区间上单调递增,在区间上单调递减.因此当k=时,PA·PQ取得最大值.