2017-2018学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版 10页

‎2017-2018学年广东省湛江市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试卷 ‎ 说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“若，则”的否命题是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎2．抛物线的焦点坐标是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知等比数列，，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．在中，角，，的对边长分别为，，，，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，为实数，则“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎6．椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．在空间四边形中，，在线段上，且，为的中点，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．设，，若是与的等比中项，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知等差数列中，前项和为，，则当取最大值时， ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．不等式组表示的平面区域的面积为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D．且 ‎12．在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、、、的中点，为Δ的重心，有一动点在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有条棱与平面平行，则以下各点中，在点的轨迹上的点是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，，，若，则 ． ‎ ‎14．等差数列中, ，，则的通项公式为 ． ‎ ‎15．已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．（用区间表示）‎ ‎16．已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知命题：指数函数 是上的增函数，命题：方程表示双曲线．‎ ‎（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知的三个内角，，的对边长分别为，，，．‎ ‎（Ⅰ）若，请判断三角形的形状；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的边的大小．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，且，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为．‎ ‎（Ⅰ）若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，椭圆的右焦点为，求三角形的面积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过亩，总成本不超过万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩元和每亩元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩万元和每亩万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使农场的总收益最大？最大收益是多少万元？‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ P A B C D 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，‎ ‎，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ 参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B ‎ D C D C A B ‎ A C D ‎ B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）命题p为真命题时，2－a＞1，即a＜1. ……………………2分 ‎（Ⅱ）若命题为真命题，则，所以， ……………………4分 ‎ 因为命题“”为真命题，则至少有一个真命题，‎ ‎“”为假命题，则至少有一个假命题，‎ 所以一个为真命题，一个为假命题 ……………………6分 ‎ 当命题为真命题，命题为假命题时，，则；‎ ‎ 当命题为假命题，命题为真命题时，，则． ………………9分 ‎ 综上，实数的取值范围为． ……………………10分 ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，，……………………3分 ‎ 得，，…………………………………………………5分 又， ‎ ‎∴ 三角形是等边三角形. ……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由，得，……………………………………………………7分 又，‎ ‎∴ ……………………………………………8分 ‎…………………………………………10分 由正弦定理得． ………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由条件得 ‎ ，…………………………………2分 解得， ……………………………………3分 所以错误！不能通过编辑域代码创建对象。通项公式，即……………………4分 ‎（Ⅱ）令，解得， …………………5分 ‎∴ 当时，；当时，‎ ‎ …………………6分 ‎∴…………………8分 ‎ ‎ ‎ …………………10分 ‎ ………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意，，‎ ‎ 又，所以，直线：． …………………2分 ‎ M为的中点，所以，‎ ‎ 代入直线：，则， …………………4分 ‎ 由，所以，‎ ‎ 所以椭圆E的标准方程是． …………………6分 ‎ （Ⅱ）因为直线的斜率为，则，所以椭圆，………8分 又直线：，‎ x y O A B C D 由 解得（舍），或， ‎ 所以． ………………………………10分 因为，‎ 所以三角形的面积为． ………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则 ………………1分 y x M O ‎400‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎………① …………4分 目标函数为， ……………5分 不等式组①等价于 可行域如图所示，……………………………7分 目标函数可化为 由此可知当目标函数对应的直线经过点M时，目标函数取最大值．………………………9分 解方程组 得 的坐标为．…………………………………………………………………………10分 所以．………………………………………………………11分 答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ‎ ‎………………………………………………………………………………12分 P A B C D H M ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）证明：取的中点M，连结. ……1分 由，得，‎ 由，得， ……………………………2分 且.‎ 平面.…………………………………………………………………………3分 平面，‎ ‎. …………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）在平面中，过点作于点， 连结，交于.‎ ‎…………………………………………………………………………………………………5分 ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎. …………………………………………………………………………………6分 由（1）及，‎ 平面，‎ P A B C D H O x y z ‎，…………………………………………………………………………………7分 在中，，即.‎ ‎，.‎ 在中，，.‎ ‎.………………………………8分 以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x ，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，..‎ ‎，.…………………………………………9分 设平面的法向量是，则 ‎，，‎ 即，得其中一个法向量为. …………………………10分 设直线与平面所成角为，又，则.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分 注意：以上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分．‎