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- 2021-06-15 发布
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开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试(四)
文科数学
时量:120分钟满分:150分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合是1~20以内的所有素数,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据交集的定义可知,交集即为两集合的公共元素所组成的集合,求出即可.
【详解】解:,.
∴.
故选B.
【点睛】此题考查了两集合交集的求法.
2. 若复数满足,则复数在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由可求得,即可得出答案.
- 24 -
【详解】解:,则复数在复平面对应的点为
位于第四象限.
故选D.
【点睛】本题考查了复数的运算,复数的除法运算法则是分子分母同时乘以分母的共轭复数.
3. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得到关于m的方程,解方程求得m的值即可确定双曲线方程.
【详解】由题意可得:,
则实轴长为:,虚轴长为,
由题意有:,解得:,
代入可得双曲线方程为.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 已知二次函数,且是偶函数,若满足,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 由的范围决定 D. 由,的范围共同决定
【答案】B
【解析】
【分析】
- 24 -
由是偶函数可得,从而得到函数关于对称,所以,再写出不等式,即可得答案;
【详解】是偶函数,
,函数关于对称,
,,
或,
故选:B.
【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5. 1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,例如求1到2000这2000个整数中,能被3除余1且被7除余1的数的个数,现由程序框图,其中MOD函数是一个求余函数,记表示m除以n的余数,例如,则输出i为( ).
A. 98 B. 97 C. 96 D. 95
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序图可知,能被3除余1且被7除余1的数,就是能被21整除余1的数,运用等差数列的通项公式,以及解不等式即得。
- 24 -
【详解】由题得,运行程序图,当时,且,满足条件,此时,当时,且,此时,可得等差数列,,则,当时,即,,i是正整数,因此.
故选:D
【点睛】本题考查程序框图,由于运行次数较多,因此需要将运行程序的规律转化为数学语言,再进行求解。
6. 若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数与对数函数的图象与性质,分别求得的取值范围,即可求解.
【详解】由指数函数的图象与性质,可得,
由对数函数的图象与性质,可得,可得,
又由,所以,
所以.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小,其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
7. 已知函数则( )
A. 对任意实数,方程无解
B. 存在实数,方程有2个根
C. 存在实数,方程有3个根
- 24 -
D. 对任意实数,方程有1个根
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象,设,则方程,即为,
结合图象,分,,和四种情况讨论,即可求解.
【详解】由题意,函数,作出函数的图象,如图所示,
设,则方程,即为,
结合图象,可得
①当时,此时方程有两个根,其中,
此时方程有1个根或2个根;
②当时,此时方程有两个根,
此时方程没有实数根;
③当时,此时方程只有一个根,其中,
此时方程没有实数根;
④当时,此时方程没有实数根,此时方程没有实数根.
综合可得,存在实数,方程有2个根.
故选:B.
- 24 -
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中作出函数的图象,以及合理使用换元法分析求解是解答的关键,着重考查数形结合思想,以及推理与运算能力.
8. 已知函数,将其图象向右平移个单位后得到的图象,若,则的值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得的解析式,根据和的取值范围,判断出的可能取值.
【详解】,向右平移得到
.
,,,
故“且”或“且”,
即“且”或“且”,
即“且”或“且”,
- 24 -
其中.
所以或,
令,则的值为.
故选:A
【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,考查三角函数的值域,属于中档题.
9. 已知数列的各项均为正数,且满足,,设为数列的前项和,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题中条件,可以整理得到,从而判断出数列是以为首项,以2为公比的等比数列,进而求得,之后应用错位相减法求得,将代入即可求得结果.
【详解】因为,
所以有,
所以,
因为数列的各项均为正数,所以,
即,
又因为,
所以数列是以为首项,以2为公比的等比数列,
- 24 -
所以,所以,
所以①,
②,
①-②得:,
所以,
所以,
故选:C.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用递推公式求数列的通项公式,利用错位相减法对数列求和,属于中档题目.
10. 在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知,,,则( ).
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据余弦定理和可求出,因为A,B,C是三角形的内角,所以可得,再由和余弦定理可得b的值。
【详解】由题得,,,,化简整理得,,又,,,由正弦定理得,.
故按:A
- 24 -
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形,是常考题型。
11. 已知函数的导函数无零点,且对任意,都有,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,可知函数在上是单调函数,可确定为常数,设,可写出,结合题意,求得,从而得到,进而求得,得到结果.
【详解】根据题意,函数在上是单调函数,
且对任意,都有成立,则有为常数,
设,则,则,
解得或(舍),
所以,所以,
故选:C.
【点睛】该题考查的是有关函数单调性的综合应用,属于简单题目.
12. 椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线交于,两点,若,,其中为坐标原点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
- 24 -
由可得,若,有,结合可求得,,最后结合几何图形有即可求得离心率
【详解】由题意,有,即,知
过左焦点的直线交于,两点,令,
有,,且由上知①
又∵有,且知:
∴由知:②,由①、②可知:,
- 24 -
∴结合几何图形知:,即得
故选:C
【点睛】本题考查了求离心率的问题,结合向量的线性关系及模相等,有相关线段的比例关系及等量关系,即求得点的横坐标,结合几何图形根据线段比例求离心率
二、填空题
13. 平面向量与的夹角为,且,,则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据,利用数量积运算求解.
【详解】因为,
所以,
又因为与的夹角为,,
所以,
所以
故答案为:2
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
14. 设实数,满足约束条件,则目标函数的最小值是________.
【答案】
【解析】
- 24 -
【分析】
画出可行域,平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示,平移基准直线到可行域边界点,此时取得最小值为
故答案为:
【点睛】本小题主要考查线性规划求最值,属于基础题.
15. 已知,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和诱导公式,化简求得所求表达式的值.
【详解】
故答案为:
- 24 -
【点睛】本小题主要考查二倍角公式、诱导公式,属于中档题.
16. 已知四棱锥中,底面是梯形,且,,,,且,,则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点,连接,证得平面,从而得到等边三角形,
再取中点,设三棱锥外接球的球心为,半径为,球心到的距离为,在直角和直角中,列出方程组,求得,结合面积公式,即可求解.
【详解】取的中点,连接,因为,可得,
又由底面是梯形,且,,,可得,
所以平面,又由平面,所以所以平面,
在直角中,,
在直角中,,且,所以等边三角形,
取的中点,可得且,
设三棱锥外接球的球心为,半径为,球心到的距离为,
在直角中,可得,
在直角中,可得,
解得,
所以球的表面积为.
故答案为:.
- 24 -
【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算,以及球的组合的性质及应用,其中解答中根据几何体的结构特征,找出球心的位置,结合球的性质列出方程组是解答的关键,着重考查了运算能力和转换能力,以及空间想象能力,属于中档试题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题
17. 设为正项等比数列的前项和,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)设数列的公比为,利用已知条件得,利用定义求得通项公式即可;(2)由,求出的通项公式,利用分组求和法求出即可.
【详解】(1)设数列的公比为,
则,且,
由已知得,
- 24 -
即,
解得,
(2)由,
得,
.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及分组求和.属于较易题.
18. 在新高考改革中,打破了文理分科的“”模式,不少省份采用了“”,“”,“”等模式.其中“”模式的操作又更受欢迎,即语数外三门为必考科目,然后在物理和历史中选考一门,最后从剩余的四门中选考两门.某校为了了解学生的选科情况,从高二年级的2000名学生(其中男生1100人,女生900人)中,采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.
(1)已知抽取的n名学生中含男生110人,求n的值及抽取到的女生人数;
(2)在(1)的情况下对抽取到的n名同学“选物理”和“选历史”进行问卷调查,得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选科目与性别有关?
选物理
选历史
合计
男生
90
女生
30
合计
(3)在(2)的条件下,从抽取的“选历史”的学生中按性别分层抽样再抽取5名,再从这5
- 24 -
名学生中抽取2人了解选政治、地理、化学、生物的情况,求2人至少有1名男生的概率.
参考公式:.
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1);90人;(2)详见解析;(3).
【解析】
【分析】
(1)根据题意列出方程求n,再求出女生人数;(2)根据题意填写列联表,计算的值,对照临界值得出结论;(3)利用分层抽样法和列举法,求出基本事件数,计算所求的概率值。
【详解】解:(1)由题意得,解得,则女生人数为(人).
(2)
选物理
选历史
合计
男生
90
20
110
女生
60
30
90
合计
150
50
200
∴没有99%的把握认为选科与性别有关.
(3)从选历史的学生中按性别分层抽5名学生,则由(2)可知,有2名男生,3名女生,设男生编号为1,2,女生编号为3,4,5,5名学生中再选取2人,则所有等可能的结果为34,
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35,31,32,45,41,42,51,52,12共10种,至少1名男生的结果为31,32,41,42,51,52共7种,∴2人中至少1名男生的概率为.
【点睛】本题考查分层抽样,填写列联表和求的值,以及古典概型,是常考题型。
19. 已知直四棱柱的底面ABCD是菱形,,E是上任意一点.
(1)求证:平面平面;
(2)设,当E为的中点时,求点E到平面的距离.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)由题,,又ABCD是菱形,那么,可知平面,平面BDE,即得证;(2)由等体积法,计算即得。
【详解】解:(1)证明:∵四棱柱是直四棱柱,
∴底面ABCD,而底面ABCD,∴.
又ABCD是菱形,有,∵,故平面
又平面BDE,∴平面平面.
(2)法一:设AC与BD的交点为O,连OE,,由(1)知点E到平面的距离即点E到直线的距离.又在三角形中,,,得OE
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边上的高为,故E到直线的距离.
法二:由,而,,
故.
【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及用等体积法求点到平面的距离,是常考题型。
20. 已知平面上的动点到点的距离为,点在直线:上的射影为,若.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设过定点的直线与轨迹交于,两点,若在直线上存在两点,使直线,交于轨迹上的一点(异于,),是否存在轴上点,使?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,或.
【解析】
【分析】
(1)转化条件为动点到直线距离等于,由抛物线的定义即可得解;
(2)设,,,由直线方程的知识可得、,设直线,联立方程由韦达定理可得、,假设存在点满足条件,由平面向量数量积的坐标表示化简可得
- 24 -
,即可得解.
【详解】(1)由可得动点的横坐标大于,
所以动点到直线的距离等于,
所以点的轨迹为抛物线,点为该抛物线的焦点,直线为其准线,
所以点的轨迹的方程为;
(2)设直线,,,,
则直线的斜率,
所以直线,
当时,,所以点,
同理可得点,
由,消去x化简可得,,
所以,,
假设存在点满足条件,
则,,
则
,
所以,解得或,
- 24 -
所以存在定点或满足条件.
【点睛】本题考查了抛物线定义的应用及直线与抛物线的位置关系的应用,考查了抛物线中定点问题的解决及运算求解能力,属于中档题.
21. 已知函数(,且)
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间内有两个极值点,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,详见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)求得的定义域和导函数,对分成和两种情况进行分类讨论,由此求得的单调区间.
(2)求得的导函数,构造函数,依题意可知在区间上有两个零点,且零点两侧函数值符号相反,利用导数研究的零点,由此求得的取值范围.
【详解】(1)的定义域为,,
当时,在区间和上,递减,在区间上,递增.
当时, 在区间和上,递增,在区间上,递减.
(2),
.
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当时,.
构造函数,依题意可知在区间上有两个零点,且零点两侧函数值符号相反.
,
当时,,在区间上递增,至多有一个零点,不符合题意.
当时,令 ,解得.
(i)若即,则在区间上递减,至多有一个零点,不符合题意.
(ii)若即,则在区间上递增,至多有一个零点,不符合题意.
(iii)若,即,则在区间上递增,在区间上递减.
当时,;当时,;
.
要使在区间上有两个零点,且零点两侧函数值符号相反,则需
,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数研究函数的极值点,属于中档题.
(二)选考题:请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.
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[选修4—4:坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于,两点,且,求直线的倾斜角.
【答案】(1) ; (2) 或.
【解析】
【分析】
(1)根据平方关系消参数得直线的普通方程,根据得曲线的直角坐标方程(2)利用直线参数方程几何意义求解.
【详解】(1)因为直线的参数方程为(为参数),
当时,直线的直角坐标方程为.
当时,直线的直角坐标方程为.
因为,
因为,所以.
所以的直角坐标方程为.
(2)解法1:曲线的直角坐标方程为,
将直线的参数方程代入曲线的方程整理,得.
因为,可设该方程的两个根为,,
则 ,.
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所以 .
整理得,
故.
因为,所以或,
解得或
综上所述,直线的倾斜角为或.
解法2:直线与圆交于,两点,且,
故圆心到直线的距离.
①当时,直线的直角坐标方程为,符合题意.
②当时,直线方程为.
所以,整理得.
解得.
综上所述,直线的倾斜角为或.
点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用,考查综合分析求解能力,属中档题.
[选修4—5:不等式选讲]
23. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
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【分析】
(1)分三种情况,去绝对值求解,即得;(2)结合图像即得。
【详解】解:(1)∵,∴等价,
故不等式的解集为.
(2)∵恒成立,令知其表示过定点的直线,结合图象得,∴实数a的取值范围为.
【点睛】本题考查解含绝对值不等式,以及结合图像的方法解参数,是常考题型。
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