• 807.00 KB
  • 2021-06-15 发布

高一数学必修4平面向量知识点与练习(含答案)

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
3. 平 面 向 量 知识网络结构 向量的运算 几何方法 坐标方法 运算性质 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 减法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 , 数 乘 向 量 1. 是一个向量, 满足: 2. >0 时, 同向; <0 时, 异向; =0 时, . 向 量 的 数 量 积 是一个数 1. 或 时, 2. . 或 时, 1.向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法 ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y) 1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + +  a b b a+ = +    ( ) ( )a b c a b c+ + = + +      ACBCAB =+ 1 2 1 2( , )a b x x y y− = − −  ( )a b a b− = + −    AB BA= −  ABOAOB =− aλ | | | || |a aλ λ=  λ a aλ 与 λ a aλ 与 λ 0aλ =  ( , )a x yλ λ λ= ( ) ( )a aλ µ λµ=  ( )a a aλ µ λ µ+ = +   ( )a b a bλ λ λ+ = +    //a b a bλ⇔ =    1 2 1 2a b x x y y• = +  a b b a• = •    ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ• = • = •      ( )a b c a c b c+ • = • + •       2 2 2 2| | | |=a a a x y= +  即 | | | || |a b a b• ≤    AB a b⋅  0a = 0b = 0a b⋅ =  0a ≠ 0b ≠ | || | cos ,a b a b a b⋅ = < >    (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O |a|=O.单位向量 aO 为单位向量 |aO|=1. (5)相等的向量:大小相等,方向相同:(x1,y1)=(x2,y2) (6) 相反向量:a=-b b=-a a+b=0 (7)平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b. 2.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实 数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件: a∥b a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=O. (3)两个向量垂直的充要条件: a⊥b a·b=O x1x2+y1y2=O. (4)线段的定比分点公式: 设点 P 分有向线段 所成的比为λ,即 =λ ,则 = + (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式) 当λ=1 时,得中点公式: = ( + )或 (5)平移公式: 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′), 则 = +a 或 曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h) (6)正弦定理: 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式] ⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图: ⇔ ⇔    = =⇔ 21 21 yy xx ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 21PP PP1 2PP OP λ+1 1 1OP λ+1 1 2OP       + += + += .1 ,1 21 21 λ λ λ λ yyy xxx OP 2 1 1OP 2OP      += += .2 ,2 21 21 yyy xxx PO ′ OP    +=′ +=′ . , kyy hxx .2sinsinsin RC c B b A a === ( )( )( )cPbPaPP −−− 图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑻△ABC 的判定: △ABC 为直角△ ∠A + ∠B = < △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B< > △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B> 附:证明: ,得在钝角△ABC 中, ⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和. 二。例题。 例 1。已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)。设 且 ; (1)求 ;职 (2)求满足 的实数 m,n 的值; (3)求 M,N 的坐标及向量 ; 例 2。已知 互相垂直, 则 k? ⇔+= 222 bac ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π 2c ⇔+ 22 ba ⇔ 2 π ab cbaC 2cos 222 −+= 222222 ,00cos cbacbaC  +⇔−+⇔ cCA,bBC,aAB === b2CN,c3CM −== c3ba3 −+ cnbma += MN bkabkb,12|b|,5|a| −+== 与 例 3。已知 AD,BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 则 =? 例 4。已知 的夹角。 例 5。已知 夹角是 1500; 计算:(1) ; (2) ; 3. 平 面 向 量 A 组 1.如果 , 是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.在四边形 中,若 ,则四边形 的形状一定是 ( ) (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 3.若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2),(5,7),( 3,4),则第 4 个顶点的坐标不可能 是( ) A.(12,5) B.(-2,9) C. (3,7) D. (-4,-1) 4.已知正方形 的边长为 1, , , , 则 等于 ( ) A. 0 B. 3 C. D. bBE,aAD == BC baba,13|ba|,2|b|,3|a| −+=+== 与求 |b||a|,8|b|,4|a| 与== )ba2)(b2a( −+ |b2a4| − a b a = b 1⋅a b = 2 2≠a b =a b ABCD AC AB AD= +   ABCD − ABCD AB = a BC = b AC = c + +a b c 2 2 2 5.已知 , ,且向量 , 不共线,若向量 与向量 互相垂直,则 实数 的值为 . 6.在平行四边形 ABCD 中, , ,O 为 AC 与 BD 的交点,点 M 在 BD 上, , 则 向 量 用 , 表 示 为 ; 用 , 表 示 为 . 7.在长江南岸渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直 地渡过长江,则航向为 . 8. 三 个 力 , , 的 大 小 相 等 , 且 它 们 的 合 力 为 0 , 则 力 与 的 夹 角 为 . 9. 已 知 平 面 内 三 点 、 、 三 点 在 一 条 直 线 上 , , , ,且 ,求实数 , 的值. B 组 11.已知点 、 、 不在同一条直线上,点 为该平面上一点,且 ,则 ( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 12.已知 D、E、F 分别是三角形 ABC 的边长的边 BC、CA、AB 的中点,且 , , , 则 ① , ② , ③ , ④ 中正确的等式的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知向量 , ,则向量 在 方向上的投影为 . 14.已知 , ,点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点为 N,则 向量 用 、 表示为 . 15.已知向量 , ,若向量 与 的夹角为直角,则实数 的值为 ;若向量 与 的夹角为钝角,则实数 的取值范围 3=a 4=b a b +a k b −a k b k AB = a CB = b 1 3BM OD=  BM a b AM a b 1F 2F 3F 2F 3F A B C ( 2, )OA m= − ( ,1)OB n= (5, 1)OC = − OA OB⊥  m n O A B P 3 2 OA OBOP −=   BC = a CA = b AB = c EF = 1 1 2 2 −c b BE = 1 2 +a b CF = 1 1 2 2 − +a b 0AD BE CF+ + =   a (1, 5)= b ( 3, 2)= − a b OA = a OB = b MN a b a ( 2, 3)m m= − + b (2 1, 2)m m= + − a b m a b m Q P A CB 为 . 16.已知 , , ,点 为坐标原点,点 是直线 上一 点,求 的最小值及取得最小值时 的值. 17.如图,点 、 是线段 的三等分点,求证: (1) 一般地,如果点 , ,… 是 的 等分点,请写出一个结论,使(1) 为所写结论的一个特例.并证明你写的结论. 18.已知等边三角形 的边长为 2,⊙ 的半径为 1, 为⊙ 的 任意一条直径, (Ⅰ)判断 的值是否会随点 的变化而变化,请说明 理由; (Ⅱ)求 的最大值. (2, 1)OP = (1, 7)OA = (5, 1)OB = O C OP CA CB⋅  cos ACB∠ 1A 2A AB 1 2OA OA OA OB+ = +    1A 2A 1nA − AB n ( 3)n ≥ ABC A PQ A BP CQ AP CB⋅ − ⋅    P BP CQ⋅  ED A C B 参考答案或提示:A 组 (1)D (2)A (3)C (4)D (5) (6) ; (7)北偏 西 300 (8) (9)略 (10) 或 略解或提示: 1.由单位向量的定义即得 ,故选(D). 2.由于 ,∴ ,即 ,∴线段 与线段 平行且 相等,∴ 为平行四边形,选(A). 3.估算:画草图知符合条件的点有三个,这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三 点.由 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限,则排除(B)、(D),而符合条 件的点第一象限只有一个点,且位于点(5,7)的右侧,则该点的横坐标要大于 5,∴排除 (A),选(C). 4.由于 ∴ ,∴选(D). 5.向量 与向量 互相垂直,则( ( ,∴ , 而 , ,∴ . 6.∵ ,而 , ∴ ; ∴ . 7.如图,渡船速度 ,水流速度 ,船实际垂直过江的速度 , 依题意, , ,由于 为平行四边形,则 ,又 , ∴在直角三角形 中,∠ = , ∴航向为北偏西 . 8.过点 作向量 、 、 ,使之分别与力 , , 相等,由于 , , 的合力为 ,则以 、 为邻边的平行四边形的对角线 与 的 长度相等,又由于力 , , 的大小相等,∴ ,则三角 形 和三角形 均为正三角形,∴ ,即任意两个力的 夹 角均为 . 3 4 ± 6 -a - b 5 6 a - b 0120 6 3 m n =  = 3 3 2 m n = = 1= =a b AC AB AD= +   AC AB AD− =   BC AD=  BC AD ABCD 2+ + =a b c c 2 2 2+ + = =a b c c +a k b −a k b +a k )⋅b −a k ) 0=b 2 =a 2k 2b 22 9= =a a 22 16= =b b 3 4 = ±k 1 3BM OD=  1 2OD BD=  1 1 1( ) ( )6 6 6BM BD AD AB BC AB= = − = − =      6 -a - b AM AB BM= + =   5 6 a - b OB OA OD 12.5OA = 25OB = OADB BD OA=  OD BD⊥ OBD BOD 30 30 O OA OB OC 1F 2F 3F 1F 2F 3F 0 OC OB OD OA 1F 2F 3F OA OB OC= = OCD OBD 120COB∠ =  120 9.解:由于 ,而 , ∴ , 则 ∥ ,且 ,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一 半. 10.由于 O、A、B 三点在一条直线上,则 ∥ ,而 , ∴ , 又 , ∴ 联立方程组解得 或 . B 组 11.B 12.C 13. 14.2 15. 或 2; 16. 17. 答 案 不 唯 一 , 如 或 18.(Ⅰ) (Ⅱ) . 略解或提示: 11.由于 ,∴ ,即 ,∴ ,则 点 P 在线段 AB 的反向延长线上,选(B). 12.∵ ,又 ,∴ ,即①是错误的; 由 于 , 即 ② 是 正 确 的 ; 同 理 , 而 ,则 ,∴ ,即③是正确的;同理 ,∴ ;即④是正确的.选(C). 13.设 与 的夹角为 ,则向量 在 方向上的投影为 . 14.由于 为 中点, 为 中点,∴ , ,两式 相减得 , DE CE CD= −   1 2CE CB=  1 2CD CA=  1 1 1 1( )2 2 2 2DE CB CA CB CA AB= − = − =      DE AB 1 2DE AB= AC AB (7, 1 )AC OC OA m= − = − −   ( 2, 1 )AB OB OA n m= − = + −   7(1 ) ( 1 )( 2) 0m m n− − − − + = OA OB⊥  2 0n m− + = 6 3 m n =  = 3 3 2 m n = = 7 1313 b 2− a 4 3 − 4 5 5 11 5 5 11( , ) ( ,2)3 2 2 − −−  4 178, 17 −− 1 1 2 2n nOA OA OA OA OA OB− −+ = + = = +       1 2 1 1( )2n nOA OA OA OA OB− −+ + + = +      1BP CQ AP CB⋅ − ⋅ =    3 2 3OP OA OB= −   2 2OP OA OA OB− = −    2AP BA=  1 2AP BA=  1 2EF CB= =  2 − a 0+ + =a b c EF 1 1 2 2 2 = − = +a c b 1 2BE BC CE BC CA= + = +     1 2 = +a b CF = 1 2 +b c 0+ + =a b c = − −c a b CF = 1 1 2 2 − +a b AD = 1 2 +c a AD BE CF+ +   3 ( ) 02 = + + =a b c a b α a b a cosα⋅ = ⋅ =a b b 7 1313 A SM B SN 1 ( )2OA OS OM= +   1 ( )2OB OS ON= +   1 ( )2OB OA ON OM− = −    ∴ ,∴ 2 . 也可直接根据中位线定理 2 . 15.若 与 的夹角为直角,则 ,即 ,∴ 或 2 ; 若 向 量 与 的 夹 角 为 钝 角 , 则 , 且 与 不 共 线 , 则 , 且 , 解 得 或 . 16.由于点 是直线 上一点,设点 C , ∴ , , , ∴ 时 , 的 最 小 值 为 ; 而 时 , , , . 17.解:∵ ,∴ 同理 ,则 ; 一般结论为 证明:∵ ,∴ , 而 ∴ 注:也可以将结论推广为 证明类似,从略. 18. ( Ⅰ ) 由 于 , 而 , 则 ∵ , ∴ ,即 的值不会随点 的变化 而变化; ( Ⅱ ) 由 于 , ∴ , ∵ 2( )MN OB OA= −   MN = b 2− a 2MN AB= =  b 2− a a b 0⋅ =a b ( 2)(2 1) ( 3)( 2) 0m m m m− + + + − = m = 4 3 − a b 0⋅       2AP CB AP CB⋅ ≤ =    AP CB BP CQ⋅ 

相关文档