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- 2021-06-15 发布
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3. 平 面 向 量
知识网络结构
向量的运算
几何方法 坐标方法 运算性质
加法 1.平行四边形法则
2.三角形法则
减法 1.平行四边形法则
2.三角形法则 ,
数
乘
向
量
1. 是一个向量,
满足:
2. >0 时, 同向;
<0 时, 异向;
=0 时, .
向
量
的
数
量
积
是一个数
1. 或 时,
2. . 或 时,
1.向量的概念
(1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法 ;字母表示:a;
坐标表示法 a=xi+yj=(x,y)
1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + +
a b b a+ = +
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
ACBCAB =+
1 2 1 2( , )a b x x y y− = − − ( )a b a b− = + −
AB BA= − ABOAOB =−
aλ
| | | || |a aλ λ=
λ a aλ 与
λ a aλ 与
λ 0aλ =
( , )a x yλ λ λ=
( ) ( )a aλ µ λµ=
( )a a aλ µ λ µ+ = +
( )a b a bλ λ λ+ = +
//a b a bλ⇔ =
1 2 1 2a b x x y y• = +
a b b a• = •
( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ• = • = •
( )a b c a c b c+ • = • + •
2 2 2 2| | | |=a a a x y= + 即
| | | || |a b a b• ≤
AB
a b⋅
0a = 0b = 0a b⋅ =
0a ≠ 0b ≠
| || | cos ,a b a b a b⋅ = < >
(3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.
(4)特殊的向量:零向量 a=O |a|=O.单位向量 aO 为单位向量 |aO|=1.
(5)相等的向量:大小相等,方向相同:(x1,y1)=(x2,y2)
(6) 相反向量:a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.
2.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实
数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件: a∥b a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=O.
(3)两个向量垂直的充要条件: a⊥b a·b=O x1x2+y1y2=O.
(4)线段的定比分点公式: 设点 P 分有向线段 所成的比为λ,即 =λ ,则
= + (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ=1 时,得中点公式: = ( + )或
(5)平移公式: 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′),
则 = +a 或
曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h)
(6)正弦定理:
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.
(7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为
P,外接圆、内切圆的半径为 R,r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.
如图:
⇔ ⇔
=
=⇔
21
21
yy
xx
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔ ⇔
21PP PP1 2PP
OP λ+1
1
1OP λ+1
1
2OP
+
+=
+
+=
.1
,1
21
21
λ
λ
λ
λ
yyy
xxx
OP 2
1
1OP 2OP
+=
+=
.2
,2
21
21
yyy
xxx
PO ′ OP
+=′
+=′
.
,
kyy
hxx
.2sinsinsin RC
c
B
b
A
a ===
( )( )( )cPbPaPP −−−
图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr
图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心:三角形三边上的高相交于一点.
旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑻△ABC 的判定:
△ABC 为直角△ ∠A + ∠B =
< △ABC 为钝角△ ∠A + ∠B<
> △ABC 为锐角△ ∠A + ∠B>
附:证明: ,得在钝角△ABC 中,
⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
二。例题。
例 1。已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)。设 且 ;
(1)求 ;职 (2)求满足 的实数 m,n 的值;
(3)求 M,N 的坐标及向量 ;
例 2。已知 互相垂直, 则 k?
⇔+= 222 bac ⇔
2
π
2c ⇔+ 22 ba ⇔
2
π
2c ⇔+ 22 ba ⇔
2
π
ab
cbaC 2cos
222 −+= 222222 ,00cos cbacbaC +⇔−+⇔
cCA,bBC,aAB === b2CN,c3CM −==
c3ba3 −+ cnbma +=
MN
bkabkb,12|b|,5|a| −+== 与
例 3。已知 AD,BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 则 =?
例 4。已知 的夹角。
例 5。已知 夹角是 1500;
计算:(1) ; (2) ;
3. 平 面 向 量
A 组
1.如果 , 是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( )
A. B. C. D.
2.在四边形 中,若 ,则四边形 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
3.若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2),(5,7),( 3,4),则第 4 个顶点的坐标不可能
是( )
A.(12,5) B.(-2,9) C. (3,7) D. (-4,-1)
4.已知正方形 的边长为 1, , , , 则 等于 ( )
A. 0 B. 3 C. D.
bBE,aAD == BC
baba,13|ba|,2|b|,3|a| −+=+== 与求
|b||a|,8|b|,4|a| 与==
)ba2)(b2a( −+ |b2a4| −
a b
a = b 1⋅a b = 2 2≠a b =a b
ABCD AC AB AD= + ABCD
−
ABCD AB = a BC = b AC = c + +a b c
2 2 2
5.已知 , ,且向量 , 不共线,若向量 与向量 互相垂直,则
实数 的值为 .
6.在平行四边形 ABCD 中, , ,O 为 AC 与 BD 的交点,点 M 在 BD 上,
, 则 向 量 用 , 表 示 为 ; 用 , 表 示
为 .
7.在长江南岸渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直
地渡过长江,则航向为 .
8. 三 个 力 , , 的 大 小 相 等 , 且 它 们 的 合 力 为 0 , 则 力 与 的 夹 角
为 .
9. 已 知 平 面 内 三 点 、 、 三 点 在 一 条 直 线 上 , , ,
,且 ,求实数 , 的值.
B 组
11.已知点 、 、 不在同一条直线上,点 为该平面上一点,且 ,则
( )
A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上
C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上
12.已知 D、E、F 分别是三角形 ABC 的边长的边 BC、CA、AB 的中点,且 ,
, , 则 ① , ② , ③ , ④
中正确的等式的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知向量 , ,则向量 在 方向上的投影为 .
14.已知 , ,点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点为 N,则
向量 用 、 表示为 .
15.已知向量 , ,若向量 与 的夹角为直角,则实数
的值为 ;若向量 与 的夹角为钝角,则实数 的取值范围
3=a 4=b a b +a k b −a k b
k
AB = a CB = b
1
3BM OD= BM a b AM a b
1F 2F 3F 2F 3F
A B C ( 2, )OA m= − ( ,1)OB n=
(5, 1)OC = − OA OB⊥ m n
O A B P 3
2
OA OBOP
−=
BC = a CA =
b AB = c EF = 1 1
2 2
−c b BE = 1
2
+a b CF = 1 1
2 2
− +a b
0AD BE CF+ + =
a (1, 5)= b ( 3, 2)= − a b
OA = a OB = b
MN a b
a ( 2, 3)m m= − + b (2 1, 2)m m= + − a b
m a b m
Q
P A
CB
为 .
16.已知 , , ,点 为坐标原点,点 是直线 上一
点,求 的最小值及取得最小值时 的值.
17.如图,点 、 是线段 的三等分点,求证: (1)
一般地,如果点 , ,… 是 的 等分点,请写出一个结论,使(1)
为所写结论的一个特例.并证明你写的结论.
18.已知等边三角形 的边长为 2,⊙ 的半径为 1, 为⊙ 的
任意一条直径,
(Ⅰ)判断 的值是否会随点 的变化而变化,请说明
理由;
(Ⅱ)求 的最大值.
(2, 1)OP = (1, 7)OA = (5, 1)OB = O C OP
CA CB⋅ cos ACB∠
1A 2A AB 1 2OA OA OA OB+ = +
1A 2A 1nA − AB n ( 3)n ≥
ABC A PQ A
BP CQ AP CB⋅ − ⋅ P
BP CQ⋅
ED
A
C
B
参考答案或提示:A 组
(1)D (2)A (3)C (4)D (5) (6) ; (7)北偏
西 300 (8) (9)略 (10) 或
略解或提示:
1.由单位向量的定义即得 ,故选(D).
2.由于 ,∴ ,即 ,∴线段 与线段 平行且
相等,∴ 为平行四边形,选(A).
3.估算:画草图知符合条件的点有三个,这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三
点.由
于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限,则排除(B)、(D),而符合条
件的点第一象限只有一个点,且位于点(5,7)的右侧,则该点的横坐标要大于 5,∴排除
(A),选(C).
4.由于 ∴ ,∴选(D).
5.向量 与向量 互相垂直,则( ( ,∴ ,
而 , ,∴ .
6.∵ ,而 ,
∴ ;
∴ .
7.如图,渡船速度 ,水流速度 ,船实际垂直过江的速度 ,
依题意, , ,由于 为平行四边形,则 ,又 ,
∴在直角三角形 中,∠ = ,
∴航向为北偏西 .
8.过点 作向量 、 、 ,使之分别与力 , , 相等,由于 ,
,
的合力为 ,则以 、 为邻边的平行四边形的对角线 与 的
长度相等,又由于力 , , 的大小相等,∴ ,则三角
形 和三角形 均为正三角形,∴ ,即任意两个力的 夹
角均为 .
3
4
±
6
-a - b 5
6
a - b
0120 6
3
m
n
=
=
3
3
2
m
n
= =
1= =a b
AC AB AD= + AC AB AD− = BC AD= BC AD
ABCD
2+ + =a b c c 2 2 2+ + = =a b c c
+a k b −a k b +a k )⋅b −a k ) 0=b 2 =a 2k 2b
22 9= =a a 22 16= =b b 3
4
= ±k
1
3BM OD= 1
2OD BD=
1 1 1( ) ( )6 6 6BM BD AD AB BC AB= = − = − =
6
-a - b
AM AB BM= + = 5
6
a - b
OB OA OD
12.5OA = 25OB = OADB BD OA= OD BD⊥
OBD BOD 30
30
O OA OB OC
1F 2F 3F 1F
2F
3F 0 OC OB OD OA
1F 2F 3F OA OB OC= =
OCD OBD 120COB∠ =
120
9.解:由于 ,而 ,
∴ ,
则 ∥ ,且 ,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一
半.
10.由于 O、A、B 三点在一条直线上,则 ∥ ,而 ,
∴ , 又 , ∴
联立方程组解得 或 .
B 组
11.B 12.C 13. 14.2 15. 或 2;
16. 17. 答 案 不 唯 一 , 如 或
18.(Ⅰ) (Ⅱ) .
略解或提示:
11.由于 ,∴ ,即 ,∴ ,则
点 P 在线段 AB 的反向延长线上,选(B).
12.∵ ,又 ,∴ ,即①是错误的;
由 于 , 即 ② 是 正 确 的 ; 同 理 , 而
,则 ,∴ ,即③是正确的;同理 ,∴
;即④是正确的.选(C).
13.设 与 的夹角为 ,则向量 在 方向上的投影为 .
14.由于 为 中点, 为 中点,∴ , ,两式
相减得 ,
DE CE CD= − 1
2CE CB= 1
2CD CA=
1 1 1 1( )2 2 2 2DE CB CA CB CA AB= − = − =
DE AB 1
2DE AB=
AC AB (7, 1 )AC OC OA m= − = − −
( 2, 1 )AB OB OA n m= − = + − 7(1 ) ( 1 )( 2) 0m m n− − − − + = OA OB⊥
2 0n m− + =
6
3
m
n
=
=
3
3
2
m
n
= =
7 1313 b 2− a 4
3
− 4 5 5 11 5 5 11( , ) ( ,2)3 2 2
− −−
4 178, 17
−− 1 1 2 2n nOA OA OA OA OA OB− −+ = + = = +
1 2 1
1( )2n
nOA OA OA OA OB−
−+ + + = +
1BP CQ AP CB⋅ − ⋅ = 3
2 3OP OA OB= − 2 2OP OA OA OB− = − 2AP BA= 1
2AP BA=
1
2EF CB= =
2
− a 0+ + =a b c EF 1 1
2 2 2
= − = +a c b
1
2BE BC CE BC CA= + = + 1
2
= +a b CF = 1
2
+b c
0+ + =a b c = − −c a b CF = 1 1
2 2
− +a b AD = 1
2
+c a
AD BE CF+ + 3 ( ) 02
= + + =a b c
a b α a b a cosα⋅ = ⋅ =a b
b
7 1313
A SM B SN 1 ( )2OA OS OM= + 1 ( )2OB OS ON= +
1 ( )2OB OA ON OM− = −
∴ ,∴ 2 .
也可直接根据中位线定理 2 .
15.若 与 的夹角为直角,则 ,即 ,∴
或 2 ; 若 向 量 与 的 夹 角 为 钝 角 , 则 , 且 与 不 共 线 , 则
, 且 , 解 得
或 .
16.由于点 是直线 上一点,设点 C ,
∴ , ,
, ∴ 时 , 的 最 小 值 为 ; 而 时 ,
, , .
17.解:∵ ,∴
同理 ,则 ;
一般结论为
证明:∵ ,∴ ,
而
∴
注:也可以将结论推广为 证明类似,从略.
18. ( Ⅰ ) 由 于 , 而
,
则
∵ ,
∴ ,即 的值不会随点 的变化
而变化;
( Ⅱ ) 由 于 , ∴ , ∵
2( )MN OB OA= − MN = b 2− a
2MN AB= = b 2− a
a b 0⋅ =a b ( 2)(2 1) ( 3)( 2) 0m m m m− + + + − = m = 4
3
−
a b 0⋅ 2AP CB AP CB⋅ ≤ = AP CB
BP CQ⋅