西藏自治区山南市第三高级中学2020届高三第三次模拟考试前自查自测调研考试数学（理）一试卷 20页

理 科 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．抛物线的通径长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某地某所高中年的高考考生人数是年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校年和年的高考情况，得到如下柱状图：‎ 则下列结论正确的是（ ）‎ A．与年相比，年一本达线人数减少 B．与年相比，年二本达线人数增加了倍 C．年与年艺体达线人数相同 D．与年相比，年不上线的人数有所增加 ‎5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于．一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．根据如下样本数据 得到的回归方程为，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎7．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，，，则下列等式中恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的最小正周期是，将函数的 图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．的最大值为 B．在区间上单调递增 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称 ‎10．过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知正方形的边长为，为内一点，满足，‎ 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．展开式中的系数为 ．‎ ‎14．设实数，满足不等式，当时取得最小值时，直线与以为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．‎ ‎15．已知等差数列的公差，，则使得集合，‎ 恰好有两个元素的的值为 ．‎ ‎16．在三棱锥中，，，，若与底面 所成的角为，则点到底面的距离是 ；三棱锥的外接球的表面积是 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知、分别在射线、（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是，，．‎ ‎（1）若，，依次成等差数列，且公差为，求的值；‎ ‎（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，底面，点，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（12分）已知，，，．‎ ‎（1）求的轨迹；‎ ‎（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，，设直线，，的斜率分别是，，，试问在三个斜率都存在且不为的条件下，时候是定值，请说明理由，并加以证明．‎ ‎20．（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21．（12分）年月日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量在与之间，日需求量（件）的频率分布如下表所示：‎ 己知其成本为每件元，售价为每件元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件元．‎ ‎（1）设每天的进货量为，视日需求量的频率为概率，求在每天进货量为 的条件下，日销售量的期望值（用表示）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，写出和的关系式，并判断为何值时，日利润的均值最大．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设，，且．‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，，使得？并说明理由 理 科 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】由可知集合中一定有元素，‎ 所以符合要求的集合有，，，共种情况．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】对复数进行化简：，‎ 所以．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】标准化，通径．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】设年该校参加高考的人数为，则年该校参加高考的人数为．‎ 对于选项A，年一本达线人数为，年一本达线人数为，‎ 可见一本达线人数增加了，故选项A错误；‎ 对于选项B，年二本达线人数为，年二本达线人数为，‎ 显然年二本达线人数不是增加了倍，故选项B错误；‎ 对于选项C，年和年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；‎ 对于选项D，年不上线人数为，年不上线人数为，‎ 不达线人数有所增加．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，‎ ‎，，‎ ‎…，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】画出散点图知，，故选A．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质得，，成等比数列，，化简得．‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】由条件知，结合图像得B．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】在正方体中，四面体的四面与条棱所成的角相等，‎ ‎∴正方体的条棱所在的直线所成的角均相等的平面有个．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，‎ 交点到两焦点的距离分别为，焦距为，‎ 则，‎ 又，，故，，．‎ ‎12．【答案】D ‎【解析】设正方形的边长为，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎∴为等腰三角形，．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】展开式中含的项为，‎ 即的系数为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】当直线过点时，取得最小值，‎ 故，从而圆的面积为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，此时．‎ ‎16．【答案】；‎ ‎【解析】将三棱锥置于长方体中，其中平面，‎ 由与底面所成的角为，可得，即为点到底面的距离，‎ 由，得，‎ 如图，就是长方体（三条棱长分别为，，）外接球的直径，‎ 也是三棱锥外接球的直径，即，‎ 所以球的表面积为．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）周长，时，取得最大值为．‎ ‎【解析】（1），，成等差数列，且公差为，∴，，‎ 又，，∴，‎ 恒等变形得，解得或，‎ 又∵，∴．‎ ‎（2）在中，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴的周长 ‎，‎ 又∵，∴，‎ 当，即时，取得最大值．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段的中点．‎ ‎【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）如图，由（1）知，，，点，分别为，的中点，‎ ‎∴，∴，，‎ 又，∴，，两两垂直，‎ 分别以，，方向为，，轴建立坐标系，‎ 则，，，，‎ 设，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 令，则，，∴，‎ 由已知或（舍去），‎ 故，故线段上存在点，‎ 使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）为定值，详见解析．‎ ‎【解析】（1）方法一：如图因为，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 所以的轨迹以，为焦点的椭圆易知，，‎ 所以方程为．‎ 方法二：设，由，得，‎ 再，得，‎ 移项，平方化简得．‎ ‎（从发现是椭圆方程也可以直接得，）．‎ ‎（2）设，过的斜率为的直线为，‎ 由直线与圆相切可得，即，‎ 由已知可得，是方程（关于）的两个根，‎ 所以由韦达定理：，两式相除，‎ 又因为，所以，‎ 代入上式可得，即为定值．‎ ‎20．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），记，‎ 令，得，函数在上单调递增；，得或，函数在或上单调递减．‎ ‎（2）记，‎ 由，，得或，‎ ‎∵，所以．‎ ‎①当时，，且时，；‎ 时，，‎ 所以，‎ ‎∴时，恒成立；‎ ‎②当时，，‎ 因为，所以，此时单调递增，‎ 且，所以，成立；‎ ‎③当时，，，‎ 所以存在使得，因此不恒成立，‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）件．‎ ‎【解析】（1）当日需求量时，日销售量为；‎ 日需求量时，日销售量为，‎ 故日销售量的期望为：‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎（2），‎ 设每天进货量为，日利润为，‎ 则，，‎ 由，‎ 又∵，，‎ ‎∴最大，所以应进货件时，日利润均值最大．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，消去，得，‎ 所以直线的普通方程为，‎ 由，‎ 得，‎ 将，，代入上式，‎ 得曲线的直角坐标方程为，即．‎ ‎（2）设曲线上的点为，‎ 则点到直线的距离 ‎，‎ 当时，，‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．‎ ‎【解析】（1）由，得，，‎ 当且仅当时成立．‎ 不等式，即为，‎ 当时，不等式为，此时；‎ 当时，不等式成立，此时；‎ 当时，不等式为，此时，‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎（2）由于，，‎ 则，‎ 当且仅当，即，时，取得最小值，‎ 所以不存在实数，，使得成立