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- 2021-06-15 发布
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数学
一、选择题
1.数列,,,,的一个通项公式是an=( )
A. B. C. D.
【答案】B因,,,
所以其通项公式是an=故选:B
2.已知数列为等差数列,前项和为,且则( )
A. B. C. D.
【答案】D因为数列为等差数列且,所以.故选D.
3.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则B等于( )
A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对
【答案】C ∵sin B===,∴B=45°或135°.但当B=135°时不符合题意,
∴B=45°,故选C.
4.2+和2-的等比中项是( )
A.1 B.-1 C.±1 D.2
【答案】C 设2+和2-的等比中项为G,则G2=(2+)(2-)=1,∴G=±1.
5.已知平面向量,,且,则实数m的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B由,,得,,,.故选:B
6.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出( )
A.2 B.6 C.10 D.34
【答案】D因为“”, 根据程序框图, 第一次执行循环体后,
;第二次执行循环体后,;第三次执行循环体后,;此时程序停止,输出. 故选:D.
7.已知,点为斜边的中点,,,,则等于( )
A. -14 B. -9 C. 9 D. 14
【答案】C
A.3 B.2 C. D.4
【答案】C∵,∴=16﹣12+9=13,∴.故选:C.
9.设向量,,若与的夹角大于,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A∵与的夹角大于,∴,∴,
即,∴.故选:A.
10.关于平面向量,,,有下列四个命题,其中正确的命题是( )
A. 若,,则存在,;B. 若,则或;
C. 存在不全为零的实数,使得;D. 若,则.
【答案】A由向量共线定理知A正确;
若,则或或,所以B错;
在,能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数,使得,所以C错误;
若,则,当时,当,不成立,所以D错误.
故选: A.
11.关于函数的描述不正确的是( )
A.其图象可由的图象向左平移个单位得到 B.f(x)在单调递增
C.f(x)在[0,π]有2个零点 D.f(x)在的最小值为
【答案】Bcos2x+sin2xsin(2x),
A.的图象向左平移个单位得到,ysin2(x)sin(2x),故A正确,
B.当00,∴41-2n>0,∴n<,∴n≤20.
三、解答题(每题14分,两问,每问7分)
17.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
解:(1)等比数列{bn}的公比q 所以b1
设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1
(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
18.在中,内角所对的边分别为,若,,且.(1)求角的大小;(2)若,三角形面积,求的值.
解:(1)∵,,且·=
∴-cos2+sin2=, 即-cosA=,又A∈(0,π),∴A=π
(2)S△ABC=bc·sinA=b·c·sinπ= ∴bc=4,
又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bc·cosπ=b2+c2+bc∴16=(b+c)2,故b+c=4
19. 已知向量.(1)若,求x的值;
(2)记,求函数y=f(x)的最大值和最小值及对应的x的值.
解:(1)∵向量.
由,可得:,即,∵x∈[0,π]∴.
(2)由
∵x∈[0,π],∴
∴当时,即x=0时f(x)max=3;当,即时.
20.等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(1) 解:设等差数列的公差为,则.因为
所以,解得,,所以数列的通项公式为.
(2)证明:由题意知,
21.已知数列和中,数列的前项和记为. 若点在函数的图像上,点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和记为.
解:(1)由已知得,因为当时,;
又当时,,所以;
(2)由已知得,所以,
所以,
,
两式相减可得,
整理得.