数学卷·2018届上海师大附中高二上学期期中数学试卷（解析版） 15页

2016-2017 学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷 一.填空题 1．直线 2x﹣y+1=0 的一个单位法向量为 （填一个即可）． 2．若向量 、 满足| |=2，且 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 ． 3．设 =（﹣2，3），| |= | |，且 、 同向，则 的坐标为 ． 4．某个线性方程组的增广矩阵是 ，此方程组的解记为（a，b），则行列式 的 值是 ． 5．已知矩阵 A= ，B= ，C= ，且 A+B=C，则 x+y 的值为 ． 6．直线 x﹣3y+5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为 （用一般式表示） 7．若行列式 中第一行第二列元素的代数余子式的值为 4，则 a= ． 8．如图，根据如图的框图所打印出数列的第四项是 9．已知直线 l 过点 P（3，6）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 是坐标原点，则 当|OA|+|OB|取得最小值时的直线方程是 （用一般式表示） 10．当θ在实数范围内变化时，直线 xsinθ+y﹣3=0 的倾斜角的取值范围是 ． 11．已知位置向量 =（log2（m2+3m﹣8），log2（2m﹣2））， =（1，0），若以 OA、OB 为 邻边的平行四边形 OACB 的顶点 C 在函数 y= x 的图象上，则实数 m= ． 12．直线 l 与两直线 y=1，x﹣y﹣7=0 分别交于 A，B 两点，若直线 AB 的中点是 M（1，﹣1）， 则直线 l 的斜率为 ． 13．在△ABC 所在的平面上有一点 P，满足 + + = ，则△PBC 与△ABC 的面积之比 是 ． 14．在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确 的是 （写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点； ③如果直线 l 经过两个不同的整点，则直线 l 必经过无穷多个整点； ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 二.选择题 15．若 与 ﹣ 都是非零向量，则“ • = • ”是“ ⊥（ ﹣ ）”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 16．两直线 l1，l2 的方程分别为 x+y +b=0 和 xsinθ+y ﹣a=0（a，b 为实 常数），θ为第三象限角，则两直线 l1，l2 的位置关系是（ ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 17．若 ， 是互不平行的两个向量，且 =λ1 + ， = +λ2 ，λ1，λ2 ∈ R，则 A、B、C 三 点共线的充要条件是（ ） A．λ1=λ2=1 B．λ1=λ2=﹣1C．λ1λ2=1 D．λ1λ2=﹣1 18．下列四个命题： ①经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 y﹣y0=k（x﹣x0）表示； ②经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 y=kx+b 表示； ③不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示； ④经过任意两个不同的 点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1） =（x﹣x1）（y2﹣y1）表示； 其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三.解答题 19．已知平面上三个向量 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°． （1）求证： ； （2）若|k |＞1 （k ∈ R），求 k 的取值范围． 20．已知关于 x，y 的方程组（*） ； （1）写出方程组（*）的增广矩阵； （2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论． 21．已知△ABC 的三个顶点 A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）； （1）求 BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线 AD 的方程为 2x﹣3y+6=0，且 S△ABC=7，求点 A 的坐标． 22．已知点 A（0，2），B（4，6）， =t1 +t2 ，其中 t1、t2 为实数； （1）若点 M 在第二或第三象限，且 t1=2，求 t2 的取值范围； （2）求证：当 t1=1 时，不论 t2 为何值，A、B、M 三点共线； （3）若 t1=a2， ⊥ ，且△ABM 的面积为 12，求 a 和 t2 的值． 23．如图，已知直线 l1：kx+y=0 和直线 l2：kx+y+b=0（b＞0），射线 OC 的一个法向量为 = （﹣k，1），点 O 为坐标原点，且 k≥0，直线 l1 和 l2 之间的距离为 2，点 A、B 分别是直线 l1、 l2 上的动点，P（4，2），PM⊥l1 于点 M，PN⊥OC 于点 N； （1）若 k=1，求|OM|+|ON|的值； （2）若| + |=8，求 • 的最大值； （3）若 k=0，AB⊥l2，且 Q（﹣4，﹣4），试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值． 2016-2017 学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题 1．直线 2x﹣y+1=0 的一个单位法向量为 =（ ， ） （填一个即可）． 【考点】直线的一般式方程． 【分析】由直线的一般式方程可得其向量，可得直线的方向向量，进而可得其法向量，单位 化即可． 【解答】解：化直线的方程为斜截式 y=2x+1， ∴直线的斜率为 2， ∴直线的一个方向向量为（1，2）， ∴直线的一个法向量为（2，﹣1）， 其模长为 = ∴单位化可得 = （2，﹣1）=（ ， ） 故答案为： 2．若向量 、 满足| |=2，且 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 ﹣ ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据 在 方向上的投影为| |与向量 ， 夹角余弦值的乘积，即可求得答案 【解答】解：根据向量数量积的几何意义知， 在 方向上的投影为| |与向量 ， 夹角余弦值的乘积， ∴ 在 方向上的投影为| |•cos =2×（﹣ ）=﹣ ， ∴ 在 方向上的投影为﹣ ． 故答案为：﹣ ． 3．设 =（﹣2，3），| |= | |，且 、 同向，则 的坐标为 （﹣4，6） ． 【考点】平行向量与共线向量． 【分析】由| |= | |，且 、 同向，可得 ． 【解答】解：∵| |= | |，且 、 同向， 则 =（﹣4，6）． 故答案为：（﹣4，6）． 4．某个线性方程组的增广矩阵是 ，此方程组的解记为（a，b），则行列式 的 值是 ﹣2 ． 【考点】三阶矩阵． 【分析】先求得方程组的解，再计算行列式的值即可． 【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵是 ，方程组的解记为（a，b）， ∴ ∴ = =2×（﹣3）﹣（﹣4）=﹣2 故答案为：﹣2 5．已知矩阵 A= ，B= ，C= ，且 A+B=C，则 x+y 的值为 6 ． 【考点】二阶行列式与逆矩阵． 【分析】由题意， ，求出 x，y，即可得出结论． 【解答】解：由题意， ，∴x=5，y=1， ∴x+y=6． 故答案为 6． 6．直线 x﹣3y+5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为 3x﹣y﹣5=0 （用一般式表示） 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】把直线方程 x﹣3y+5=0 中的 x 换成 y，y 换成 x，即可得到直线 x﹣3y+5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程． 【解答】解：把直线方程 x﹣3y+5=0 中的 x 换成 y， 同时把直线方程 x﹣3y+5=0 中的 y 换成 x， 即可得到直线 y﹣3x+5=0， 故直线 x﹣3y+5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为 y﹣3x+5=0， 即 3x﹣y﹣5=0． 故答案为：3x﹣y﹣5=0． 7．若行列式 中第一行第二列元素的代数余子式的值为 4，则 a= 2 ． 【考点】二阶行列式的定义． 【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论． 【解答】解：∵行列式 中第一行第二列元素的代数余子式的值为 4， ∴﹣ =4， ∴﹣（a﹣3a）=4， ∴a=2． 故答案为：2． 8．如图，根据如图的框图所打印出数列的第四项是 870 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作 用是输出满足条件 N≤10 时，打印 A 值，模拟程序的运行即可得解． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是：输出 N≤10 时，打印 A 值． 模拟程序的运行，可得 A=3，N=1， 打印 A 的值为 3，N=2， 满足条件 N≤10，执行循环体，A=6，打印 A 的值为 6，N=3， 满足条件 N≤10，执行循环体，A=30，打印 A 的值为 30，N=4， 满足条件 N≤10，执行循环体，A=870，打印 A 的值为 870，N=5， 所以这个数列的第 4 项是 870． 故答案为：870． 9．已知直线 l 过点 P（3，6）且与 x，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O 是坐标原点，则 当|OA|+|OB|取得最小值时的直线方程是 x+y﹣6﹣3 =0 （用一般式表示） 【考点】直线的一般式方程． 【分析】由题意可得：直线的斜率 k＜0，设直线方程为：kx﹣y+6﹣3k=0，可得 B（0，6﹣3k）， A（3﹣ ，0），即可得到|OA|+|OB|，进而利用基本不等式求出最值，并且得到 k 的取值得 到直线的方程． 【解答】解：由题意可得：设直线的斜率为 k， 因为直线 l 与 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点， 所以得到 k＜0． 则直线 l 的方程为：y﹣6=k（x﹣3），整理可得：kx﹣y+6﹣3k=0， 令 x=0，得 y=6﹣3k，所以 B（0，6﹣3k）； 令 y=0，得到 x=3﹣ ，所以 A（3﹣ ，0）， 所以|OA|+|OB|=6﹣3k+3﹣ =9+（﹣3k）+（﹣ ）， 因为 k＜0，则|OA|+|OB|=9+（﹣3k）+（﹣ ）≥9+6 ， 当且仅当﹣3k=﹣ ，即 k=﹣ 时“=”成立， 所以直线 l 的方程为： x+y﹣6﹣3 =0， 故答案为： x+y﹣6﹣3 =0． 10．当θ在实数范围内变化时，直线 xsinθ+y﹣3=0 的倾斜角的取值范围是 [0， ]∪[ ， π） ． 【考点】直线的倾斜角． 【分析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值 范围． 【解答】解：∵直线 y+xsinθ﹣3=0，∴y=﹣xsinθ+3，∴直线的斜率 k=﹣sinθ． 又∵直线 y+xsinθ﹣3=0 的倾斜角为α，∴tanα=﹣sinθ． ∵﹣1≤﹣sinθ≤1， ∴﹣1≤tanα≤1， ∴α ∈ [0， ]∪[ ，π）． 故答案为：[0， ]∪[ ，π）． 11．已知位置向量 =（log2（m2+3m﹣8），log2（2m﹣2））， =（1，0），若以 OA、OB 为 邻边的平行四边形 OACB 的顶点 C 在函数 y= x 的图象上，则实数 m= 2 或 5 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量平行四边形法则，先求出 ，进而得到 C 的坐标，结合点 C 在直线上建立 方程进行求解即可． 【解答】解：以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 的顶点是 C， 则 = + =（log2（m2+3m﹣8），log2（2m﹣2））+（1，0）=（1+log2（m2+3m﹣8），log2 （2m﹣2））=（log2（2m2+6m﹣16），log2（2m﹣2））， 即 C（log2（2m2+6m﹣16），log2（2m﹣2））， ∵顶点 C 在函数 y= x 的图象上， ∴log2（2m﹣2）= log2（2m2+6m﹣16）， 即 2log2（2m﹣2）=log2（2m2+6m﹣16）， 即（2m﹣2）2=2m2+6m﹣16， 即 m2﹣7m+10=0 得 m=2 或 m=5， 检验知 m=2 或 m=5 满足条件， 故答案为：2 或 5． 12．直线 l 与两直线 y=1，x﹣y﹣7=0 分别交于 A，B 两点，若直线 AB 的中点是 M（1，﹣1）， 则直线 l 的斜率为 ． 【考点】直线的斜率． 【分析】设出直线 l 的斜率为 k，又直线 l 过 M 点，写出直线 l 的方程，然后分别联立直线 l 与已知的两方程，分别表示出 A 和 B 的坐标，根据中点坐标公式表示出 M 的横坐标，让表示 的横坐标等于 1 列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值即为直线的斜率． 【解答】解：设直线 l 的斜率为 k，又直线 l 过 M（1，﹣1），则直线 l 的方程为 y+1=k（x﹣1）， 联立直线 l 与 y=1，得到 ， 解得 x= ， ∴A（ ，1）； 联立直线 l 与 x﹣y﹣7=0，得到 ， 解得 x= ，y= ， ∴B（ ， ）， 又线段 AB 的中点 M（1，﹣1）， ∴ ，解得 k=﹣ ． 故答案为： 13．在△ABC 所在的平面上有一点 P，满足 + + = ，则△PBC 与△ABC 的面积之比 是 2：3 ． 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，确定出 2 = ，即点 P 是 CA 边上的 第二个三等分点，由此问题可解． 【解答】解：由 + + = ，得 + + ﹣ =0，即 + + + =0，得 + + =0， 即 2 = ，所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分点，故 = ． 故答案为：2：3 14．在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确 的是 ①③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点； ③如果直线 l 经过两个不同的整点，则直线 l 必经过无穷多个整点； ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①举一例子即可说明本命题是真命题； ②举一反例即可说明本命题是假命题； ③假设直线 l 过两个不同的整点，设直线 l 为 y=kx，把两整点的坐标代入直线 l 的方程，两式 相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线 l 上，利用同样的方法，得到直线 l 经过无穷多个整点，得到本命题为真命题； ④当 k，b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如 k= ，b= ； ⑤举一例子即可得到本命题为真命题． 【解答】解：①令 y=x+ ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确； ②若 k= ，b= ，则直线 y= x+ 经过（﹣1，0），所以本命题错误； 设 y=kx 为过原点的直线，若此直线 l 过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2）， 把两点代入直线 l 方程得：y1=kx1，y2=kx2， 两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线 y=kx 上且为整点， 通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点，则③正确； ④当 k，b 都为有理数时，y=kx+b 可能不经过整点，例如 k= ，b= ，故④不正确； ⑤令直线 y= x 恰经过整点（0，0），所以本命题正确． 综上，命题正确的序号有：①③⑤． 故答案为：①③⑤． 二.选择题 15．若 与 ﹣ 都是非零向量，则“ • = • ”是“ ⊥（ ﹣ ）”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用向量垂直的充要条件是数量积为 0，再利用向量的分配律得到答案． 【解答】解： ⊥（ ﹣ ） ⇔ •（ ﹣ ）=0 ⇔ • = • ， ∴“ • = • ”是“ ⊥（ ﹣ ）”的充要条件， 故选：C 16．两直线 l1，l2 的方程分别为 x+y +b=0 和 xsinθ+y ﹣a=0（a，b 为实 常数），θ为第三象限角，则两直线 l1，l2 的位置关系是（ ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】由题意利用三角函数表示两条直线的斜率，根据斜率乘积判断位置关系． 【解答】解：∵θ是第三象限， ∴1×sinθ+1+ =sinθ+ =sinθ+|sinθ| =sinθ﹣sinθ=0， ∴两直线相交垂直； 故选：A 17．若 ， 是互不平行的两个向量，且 =λ1 + ， = +λ2 ，λ1，λ2 ∈ R，则 A、B、C 三 点共线的充要条件是（ ） A．λ1=λ2=1 B．λ1=λ2=﹣1C．λ1λ2=1 D．λ1λ2=﹣1 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】将三点共线转化为向量共线；利用向量共线的充要条件列出向量满足的等式；利用 平面向量的基本定理列出方程组；得到充要条件． 【解答】解：A、B、C 三点共线 ⇔ 与 共线， ⇔ 存在 k 使得 =k ⇔ λ1 + =k（ +λ2 ）， 则 ， 即λ1λ2=1， 故选：C 18．下列四个命题： ①经过定点 P0（x0，y0）的直线都可以用方程 y﹣y0=k（x﹣x0）表示； ②经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程 y=kx+b 表示； ③不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示； ④经过任意两个不同的 点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1） =（x﹣x1）（y2﹣y1）表示； 其中真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案． 【解答】解：①，过点 P0（x0，y0）且垂直于 x 轴的直线不能用方程 y﹣y0=k（x﹣x0）表示， 故①错误； ②，经过定点 A（0，b）且垂直于 x 轴的直线不能用不能用方程 y=kx+b 表示，故②错误； ③，垂直于两坐标轴的直线不能用方程 + =1 表示，故③错误； ④，当两个不同的点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为 ， 化为（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）后包含两点连线垂直于坐标轴，∴经过任意两个 不同的点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2 ﹣y1）表示，故④正确． ∴正确命题的个数是 1 个． 故选：B． 三.解答题 19．已知平面上三个向量 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°． （1）求证： ； （2）若|k |＞1 （k ∈ R），求 k 的取值范围． 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模． 【分析】（1）利用向量的分配律及向量的数量积公式求出 ；利用向量的数量积为 0 向量垂直得证． （2）利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于 k 的不 等式求出 k 的范围． 【解答】解：（1）证明∵ = =| |•| |•cos120°﹣| |•| |•cos120°=0， ∴ ． （2）解|k |＞1 ⇔ ＞1， 即 ＞1． ∵| |=| |=| |=1，且 相互之间的夹角均为 120°， ∴ =1， =﹣ ， ∴k2+1﹣2k＞1，即 k2﹣2k＞0， ∴k＞2 或 k＜0． 20．已知关于 x，y 的方程组（*） ； （1）写出方程组（*）的增广矩阵； （2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论． 【考点】矩阵的应用；系数矩阵的逆矩阵解方程组． 【分析】（1）根据方程组的增广矩阵的定义，结合已知中方程组，可得答案； （2）方程组的解表示，两条直线交点的个数，分直线平行，重合，相交三种情况，可得不同 情况下解的个数． 【解答】解：（1）方程组（*） 可化为： ； 故方程组（*） 的增广矩阵为： ； （2）①当 m=﹣1 时， 方程组（*） 可化为： ， 此时方程组（*）无解； ②当 m=3 时， 方程组（*） 可化为： 此时方程组（*）有无穷组解； ③当 m≠﹣1 且 m≠3 时，方程组（*）有唯一解． 21．已知△ABC 的三个顶点 A（m，n）、B（2，1）、C（﹣2，3）； （1）求 BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线 AD 的方程为 2x﹣3y+6=0，且 S△ABC=7，求点 A 的坐标． 【考点】直线的一般式方程． 【分析】（1）由两点的斜率公式，算出 BC 的斜率 k=﹣ ，再由直线方程的点斜式列式，化 简即得 BC 边所在直线方程； （2）由两点的距离公式，算出|BC|=2 ，结合 S△ABC=7 得到点 A 到 BC 的距离等于 ， 由此建立关于 m、n 的方程组，解之即可得到 m，n 的值． 【解答】解：（1）∵B（2，1），C（﹣2，3）， ∴kBC= =﹣ ， 可得直线 BC 方程为 y﹣3=﹣ （x+2） 化简，得 BC 边所在直线方程为 x+2y﹣4=0； （2）由题意，得|BC|=2 ， ∴S△ABC= |BC|•h=7，解之得 h= ， 由点到直线的距离公式， 得 = ， 化简得 m+2n=11 或 m+2n=﹣3， ∴ 或 ， 解得 m=3，n=4 或 m=﹣3，n=0， 故 A（3，4）或（﹣3，0）． 22．已知点 A（0，2），B（4，6）， =t1 +t2 ，其中 t1、t2 为实数； （1）若点 M 在第二或第三象限，且 t1=2，求 t2 的取值范围； （2）求证：当 t1=1 时，不论 t2 为何值，A、B、M 三点共线； （3）若 t1=a2， ⊥ ，且△ABM 的面积为 12，求 a 和 t2 的值． 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】（1）由题设条件，得 =（4t2，2t1+4t2），又点 M 在第二象限或第三象限，列出不等 式求出 t2 的取值范围； （2）由平面向量的共线定理，得 =t2 ，能证明 A，B，M 三点共线； （3）由 t1=a2 表示出 、 ，利用 ⊥ 求出 t2=﹣ a2，再由 S△ABM=12 求出 a 的值和 t2 的值． 【解答】解：（1）由 A（0，2），B（4，6）， 得 =（4，4）， ∴ =t1 +t2 =（4t2，2t1+4t2）， 又点 M 在第二象限或第三象限， ∴ ， 又 t1=2， 解得 t2＜0 且 t2≠﹣1， ∴t2 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）； （2）证明：t1=1 时， =t1 +t2 = +t2 ， ∴ ﹣ =t2 ， 即 =t2 ， ∴不论 t2 为何值，A、B、M 三点共线； （3）∵当 t1=a2 时， =（4t2，4t2+2a2）， 又∵ =（4，4）， ⊥ ， ∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0， ∴t2=﹣ a2． ∴ =（﹣a2，a2）； 又∵| |=4 ， 点 M 到直线 AB：x﹣y+2=0 的距离为 d= = |a2﹣1|； ∵S△ABM=12， ∴ | |•d= ×4 × |a2﹣1|=12， 解得 a=±2，此时 t2=﹣ a2=﹣1． 23．如图，已知直线 l1：kx+y=0 和直线 l2：kx+y+b=0（b＞0），射线 OC 的一个法向量为 = （﹣k，1），点 O 为坐标原点，且 k≥0，直线 l1 和 l2 之间的距离为 2，点 A、B 分别是直线 l1、 l2 上的动点，P（4，2），PM⊥l1 于点 M，PN⊥OC 于点 N； （1）若 k=1，求|OM|+|ON|的值； （2）若| + |=8，求 • 的最大值； （3）若 k=0，AB⊥l2，且 Q（﹣4，﹣4），试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值． 【考点】向量在几何中的应用． 【分析】（1）若 k=1，则可得|OM|= ．|ON|=3 ，进而得到|OM|+|ON|的值； （2）若| + |=8，利用柯西不等式可得 ≤32； （3）若 k=0，AB⊥l2，且 Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，当且仅当 B 取点（0，﹣2）时，|BM|+|QB|取得最小值． 【解答】解：（1）∵k=1． ∴射线 OC 的一个法向量为 =（﹣1，1）， ∴射线 OC 的斜率为 1，射线 OC 的方程为：y=x（x≥0）． ∴|PN|= = ，|OP|= =2 ， ∴|ON|= =3 ． 直线 l1：x+y=0，|PM|= =3 ， ∴|OM|= = ． ∴|OM|+|ON|=4 ． （2）k≥0，b＞0，直线 l1 和 l2 之间的距离为 2， ∴ =2，化为：b2=4（k2+1）． 设 A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）． ∵P（4，2），| + |=8， ∴ =（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4）， 则（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（km+2）（kn+b+2）， =（m﹣4）（n﹣4）+（﹣km﹣2）（﹣kn﹣b﹣2） =（m﹣4）（n﹣4）+（km+2）（kn+b+2）≤32， 故 • 的最大值为 32； （3）k=0，直线 l1：y=0，直线 l2：y+2=0，如图所示． 作出点 P 关于直线 y=﹣1 的对称点 M（4，﹣4），则|PA|=|BM|． 设 B（x，﹣2）． ∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2 = + +2， 同理由对称性可得：当且仅当 B 取点（0，﹣2）时， |BM|+|QB|取得最小值 2 =4 ． ∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值为 4 +2．