数学文卷·2017届山东省潍坊市实验中学高三下学期第四次单元过关测试（2017 10页

潍坊实验中学高三年级下学期第四次单元过关检测 数学（文）试题 一、选择题．‎ ‎1. 已知，其中是实数，是虚数单位，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎3. 某校共有高一、高二、高三学生人，其中高一人，高二比高三多人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生人，则该样本中的高三学生人数为 A． B． C． D． ‎ ‎4. 函数的值域为 结束 开始 输入 输出 是 否 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知函数是一个求余函数，其格式为，‎ 其结果为除以的余数，例如. ‎ 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，‎ 则输出的结果为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6. 已知圆与轴相交于两点，则弦所对的圆心角的大小为 ‎ A． 　　　　　B． 　　　　　C． 　　　　　D．‎ ‎7.“”是“函数有零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8. 已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是 A．　 　B．　 　C．　 　 D． ‎ ‎9. 设满足约束条件，则下列不等式恒成立的是 A． 　　 　B．　　 　C． 　　 　D．‎ ‎10. 如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11. 已知不共线的平面向量，满足，，那么 ； ‎ 俯视图 正（主）视图 侧（左）视图 第14题图 ‎12. 已知函数 则 ；‎ ‎13. 已知实数满足，‎ 则的最大值是 ；‎ ‎14. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；‎ ‎15. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的 渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为 ． ‎ 三、解答题.‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ ‎ 年龄 ‎0.005‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 频率 组距 某区工商局、消费者协会在月号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取名群众，按他们的年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，‎ 求被采访人恰好在第组或第组的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知第组群众中男性有人，组织方要从 第组中随机抽取名群众组成维权志愿者服务队，‎ 求至少有两名女性的概率.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量,,实数为大于零的常数，函数,,且函数的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,,求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在正四棱台中，，，，、分别是、的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，．‎ ‎（Ⅰ）求，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为，且点在圆上．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎ （Ⅱ）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．直线交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围． ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，记函数，试求的单调递减区间； ‎ ‎（Ⅲ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，求的最大值．‎ 数学（文科）参考答案及评分标准 D C B C B C A B C D 11. 12. 13. 14． 15．‎ 三、解答题 ‎16. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设第组的频率为 ‎； ………………………………………3分 第组的频率为 所以被采访人恰好在第组或第组的概率为 ‎ ……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）设第组的频数，则 ……………………7分 记第组中的男性为，女性为 随机抽取名群众的基本事件是：，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，共种 ……………………10分 其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共种 所以至少有两名女性的概率为………………………………………………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知 ‎ ………………………5分 因为，所以的最大值为，则 …………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 化简得 因为，所以 则，解得 ……………………………………………………………8分 所以 化简得，则…………………………………………………………10分 所以……………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）连接，，分别交于，连接 由题意，∥‎ 因为平面，平面，所以∥平面 …………3分又因为，所以 又因为、分别是、的中点，‎ 所以 所以 又因为∥，所以∥‎ 所以四边形为平行四边形 所以∥‎ 因为平面，平面，所以∥平面 因为，所以平面∥平面 …………………………………6分 ‎（Ⅱ）连接，因为∥，=，‎ 所以四边形为平行四边形 因为，所以四边形为菱形 所以 ………………………………………………………………………9分 因为平面,平面 所以平面平面，‎ 因为，所以平面 因为平面，所以 因为，所以平面. ………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有 且 即解得：，或，‎ 由于是各项都为正整数的等比数列，所以……………………………………3分 从而，． ……………………………………5分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ， ‎ 两式相除：， ‎ 由，可得：‎ 是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列， …………………………………………………………7分 当为偶数时，‎ ‎ 当为奇数时， ‎ 为偶数 为奇数 ‎ 综上, …………………………………………………………9分 ‎ ‎………………12分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设点的坐标为，由题意可知 ………………………2分 解得： ‎ 所以抛物线的方程为： ………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的焦点 ‎ ‎ 椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合 椭圆半焦距 椭圆的离心率为，，‎ 椭圆的方程为：…………………………………………………………6分 设、，‎ 由得 由韦达定理得：， ………………………………8分 由 或 ………………①……………………………………………………10分 ‎∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，‎ ‎ ‎ ‎………………②‎ 由①、②得实数的范围是或 ………………………13分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 则，‎ 函数的图象在点的切线方程为：，‎ 即 …………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ），，‎ ‎①当时，‎ 由及可得：，的单调递减区间为………6分 ‎②当时， ‎ 由可得：‎ 设其两根为，因为，所以一正一负 设其正根为，则 ‎ 由及可得：‎ 的单调递减区间为…………………………………………8分 ‎（Ⅲ），由 由于函数在区间上不存在极值，所以或 ………………………10分对于，对称轴 当或，即或时，； ‎ 当，即时，； ‎ 当，即时，；‎ 综上可知： ……………………………………………14分