数学理卷·2018届山东省潍坊市昌乐县第二中学高三下学期一模拉练（2018 10页

山 东 省 昌 乐 二 中 高 三 一 轮 模 拟 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1.已知全集 ，且 ，则满足条 件的A的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中，真命题是（ ） A. ，使得 B. ，且 ，则 C.函数 有两个零点 D. 是 的充分不必要条件 3. 的值为 （ ） A． B． C． D． 4．有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5.在 2017 年高考成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学的成绩有如下关系：甲、乙的成绩 之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成 绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的 弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等 的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 2× 勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾 2+股 2=弦 2．设勾股形中勾股比为 ， 若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ） A. 866 B. 500 C. 300 D. 134 7．若等边△ABC的边长为 6，其所在平面内一点M满足 ， 则 的值为（ ） A.8 B.6 C. D. 8. 已知函数 ，则 的图象大致为（ ） A . B. C . D. 9.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ） (A) (B) (C) (D) 10. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图象，则下列 说法正确的是（ ） 11. 已知直线 过点 且与⊙B： 相切于点D，以坐标轴为对称轴的 双曲线E过点D，一条渐近线平行于 ，则E的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 12.函数 的一个极值点是 ，则 的最大 值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知随机变量服从正态分布 ，且 ，则 ． 14.已知实数 满足条件 ，则 的最小值为 ． 15. 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 ， 且 2sinAcosB+sin （ B+C ） =0 ， ，则△ABC的面积为 ． 16.已知抛物线 的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至 点C，使|OA|=|AC|，过C，D向x轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答写出文字说明、证明或验算步骤 17.（本小题满分 12 分） 公差不为 0 的等差数列 中， 且 成等比数列. (1)求数列 的通项公式和它的前 20 项和 ． (2) 求数列 前n项的和 . 18．（本小题满分 12 分） 某公司对N名员工的综合能力进行测评（满分 120 分），成绩的频率分布直方图如下，已 知成绩在 100﹣110 的员工数有 21 人. （1）求总人数N和成绩在 110﹣115 分的人数 ； （2）现准备从成绩在 分的 名员工（女员工占 ）中选 3 位分配给A工程师进行 指导，设随机变量 表示选出的 3 位员工中女员工的人数，求 的分布列与数学期望 ； （3）为了分析某个员工的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前 7 次考试 的技能成绩 、理论成绩 进行分析，该员工 7 次考试成绩如表 技能（ ） 88 83 117 92 108 100 112 理论（ ） 94 91 108 96 104 101 106 已知该员工的理论成绩 与技能成绩 是线性相关的，求出 关于 的线性回归方程 ．若该员工的技能成绩达到 130 分，请你估计他的理论成绩大约是多少？ 附：对于一组数据 ，其回归方程 的斜率和截距的最 小 二 乘 估 计 分 别 为 ， ． , 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ， ， ， 分别为 的中点，点 在线段 上． （1）求证： 平面 ； （2）如果直线 与平面 所成的角和直线 与平面 所成的角相等，求 的 值． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： x2 a2＋y2＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2 ＝3 相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且 · ＝0，求证：直线l过定点，并 求该定点的坐标． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （1） 当 时，求 的单调区间； （2）当 时， 的图象恒在 的图象上方，求 的 取值范围. 请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以 轴非负半轴 为极轴）中，圆C的方程为 ． （1）求圆C的参数方程； （2）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数），若点 ， 设圆C与直线 交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x―2|，集合A＝{x |f(x)＜3} (1)求A； (2)若s，t∈A，求证：|1―ts|＜|t―1s| 山 东 省 昌 乐 二 中 高 三 一 轮 模 拟 （ 一 ） 理科数学（答案） 一、选择题:DDACD DAAAD BC 二、填空：13.0.1；14. ；15. ；16.8。 三 、 解 答 题 ： 17.(I) 设 数 列 的 公 差 为 ， 则 ， ， 由 成 等 比 数 列 得 ，……………… 2 分 即 ，整理得 ， 解得 或 ． …… 4 分 ∵ ,∴ ，…………… 6 分 于是 ．…………………………………… 8 分 (II) …10 分 = ……………………12 分 18.【解析】（Ⅰ）分数在 100﹣110 内的员工的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35， 所以该班总人数为 ，…………………1 分 分数在 110﹣115 内的员工的频率为：P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1， 分数在 110﹣115 内的人数为 .…………………3 分 （Ⅱ）由题意分数在 内有 6 名员工，其中女生有 3 名，从 6 名员工中选出 3 人， 女生人数 的可能取值为 0，1，2，3. 则 ， ， .所以ξ的分布列为： 0 1 2 3 …………………7 分 ∴ . …………………8 分 （Ⅲ）计算 （88+83+117+92+108+100+112）=100， （94+91+108+96+104+101+106）=100；…………………9 分 由于 与 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 ， 10 分 ，∴线性回归方程为 ，…………………11 分 ∴当x=130 时， ．……………12 分 19.（Ⅰ）证明：在平行四边形 中，因为 ， ， 所以 ．由 分别为 的中点，得 ， 所以 ． ………2 分 因为侧面 底面 ，且 ，所以 底面 ． 又因为 底面 ，所以 ． …………4 分 又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．……6 分 （Ⅱ）解：因为 底面 ， ，所以 两两垂直，以 分 别 为 、 、 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ， 所 以 ， ， ， 设 ， 则 ， 所以 ， ，易得平面 的法向量 ． 设平面 的法向量为 ，由 ， ，得 令 ， 得 ． 因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等， 所以 ，即 ，所以 ， 解得 ，或 （舍）． 综上所得： ……12 分 20 解：(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r＝. 由题意知A(0,1)，F(c,0)， 直线AF的方程为 x c＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直线AF与圆M相切，得 |3＋c－c| c2＋1 ＝， 解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为 x2 3 ＋y2＝1.…………4 分 (2)由 · ＝0 知AP⊥AQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y＝kx ＋t(t≠1)， 联立得 x2 ＋y2＝1，整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 3(t2－1) ， (*)由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)×3(t2－1)＞0，得 3k2＞t2－1.………8 分 由 · ＝0，得 · ＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1 ＋x2)＋(t－1)2＝0，将(*)代入，得t＝－ 1 2.∴直线l过定点 1 2.…………12 分 21.【解析】解： …（1 分） 当 时， ， 时， ， 单调递减 时， ， 单调递增 …（2 分） 当 时，令 得 …（2 分） (i) 当 时， ，故： 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增； …（4 分） (ii) 当 时， ， 恒成立， 在 上单调递增，无减区间； …（5 分） 综上，当 时， 的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 当 时， 的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 当 时， 的单调增区间是 ，无减区间. …（6 分） 由 知 当 时， 的图象恒在 的图象上方 即 对 恒成立 即 对 恒成立 …（7 分） 记 ， …（8 分） (i) 当 时， 恒成立， 在 上单调递增， 在 上单调递增 ，符合题意； （10 分） (ii) 当 时，令 得 时， ， 在 上单调递减 时, 在 上单调递减， 时, ，不符合题意 …（11 分） 综上可得 的取值范围是 . …（12 分） 22.【解析】（1）由 得 ，化为直角坐标方程为 ，即 ，…………3 分所以圆的参数方程为 （ 为参数）.………… 4 分 （2）将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ， 由 ，…………………6 分 故可设 是上述方程的两根，∴ .…………………7 分 又直线过点P ，且P在圆内， ∴ ∴|PA|+|PB|的最小值为 ．………10 分