数学理卷·2017届山西省太原市高三第三次模拟考试（2017 12页

太原市2017年高三年级模拟试题（三）‎ 数学试卷（理工类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知随机变量服从正态分布，且，则=（ ）‎ A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.9207‎ ‎4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类似上述过程，则=（ ）‎ A.3 B． C.6 D．‎ ‎5.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的=（ ）‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ ‎6.在中，，，，点是内一点（含边界），若，则的取值范围为（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎7.已知某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎45‎ 由上表可得线性回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ）‎ A．59.5 B．52.5 C．56 D．63.5‎ 附：；‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎10.已知函数是偶函数，是奇函数，且对于任意，，且，都有，设，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知实数，满足条件若恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A．5 B． C. D．‎ ‎12.已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：‎ ‎7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．‎ ‎14.= ．‎ ‎15.在中，，，，点在上，点在上，且，则= ．‎ ‎16.已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为 .‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，.‎ ‎（1）若函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若，，分别是分内角，，所对的边，且，，，求.‎ ‎18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？‎ 购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 ‎（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数的分布列与期望.‎ 附：；‎ ‎0.15‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若存在实数，使得不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与 的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求函数的最小值.‎ 太原市2017年高三年级模拟试题（三）‎ 数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1-5:BCAAC 6-10:DABDB 11、12：DA 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.0.4 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题共70分）‎ ‎17.解：（1），‎ ‎，‎ 的最小正周期为，‎ 令，，则，‎ 的单调递增区间为；‎ ‎（2），，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）由题意可得列联表如下：‎ 购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 ‎20‎ ‎45‎ ‎65‎ 年龄超过40岁 ‎5‎ ‎30‎ ‎35‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，‎ 则.‎ 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数的所有取值为0，1，2，‎ ‎，，，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎19.解：（1）证明：取的中点，连接，，‎ 是的中点，，‎ 是三棱柱，，‎ ‎，平面，‎ 是的中点，，平面，‎ 平面平面，‎ 平面；‎ ‎（2）过点作，垂足为，连接，‎ 侧面底面，平面，‎ ‎，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 分别以，，为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，‎ 由题设可得，，，，，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则令，，‎ ‎，，‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.解：（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，‎ 曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 设其方程为，，，‎ 动点的轨迹的方程为；‎ ‎（2）设，由得，‎ ‎，.‎ ‎，，‎ ‎，或.‎ ‎，舍去，，满足，‎ 直线的方程为，‎ 直线必经过定点.‎ ‎21. 解：（1）由题意得，，‎ ‎，‎ ‎①当时，则，此时无极值；‎ ‎②当时，令，则；令，则；‎ 在上递减，在上递增；‎ 有极小值，无极大值；‎ ‎（2）当时，有（1）知，在上递减，在上递增，且有极小值，‎ ‎①当时，，，‎ 此时，不存在实数，，使得不等式恒成立；‎ ‎②当时，，‎ 在处的切线方程为，‎ 令，，‎ 则，，‎ 令，，‎ 则，‎ 令，则；令，则；‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当，时，不等式恒成立，‎ 符合题意；‎ 由①，②得实数的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）由消去参数可得普通方程为，.‎ ‎，，‎ 由，得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）由（1）得曲线：，其极坐标方程为，‎ 由题意设，，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎23. 解：（1），原不等式为，‎ ‎，或或 或或，‎ 原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意得 ‎，‎