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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版 简单的三角恒等变换 学案

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第5讲 简单的三角恒等变换 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α=2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1‎ 二倍角的正切 tan2α= ‎[必会结论]‎ ‎1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.‎ ‎2.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.‎ ‎3.公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).‎ ‎4.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),‎ 其中sinφ=,cosφ= .‎ ‎[考点自测]‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(  )‎ ‎(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(  )‎ ‎(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(  )‎ ‎(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(  )‎ ‎(5)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.(  )‎ 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√‎ ‎2.[2018·江西九江模拟]计算sin-cos的值为(  )‎ A.0 B.- C.2 D. 答案 B 解析 sin-cos=2=2sin=2sin=-.故选B.‎ ‎3.[2017·山东高考]已知cosx=,则cos2x=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.故选D.‎ ‎4.[2018·山西四校联考]已知sin=,-<α<0,则cos的值是(  )‎ A. B. C.- D.1‎ 答案 C 解析 由已知得cosα=,sinα=-,cos=cosα+sinα=-.‎ ‎5.[2017·江苏高考]若tan=,则tanα=________.‎ 答案  解析 ∵tan= ‎==,‎ ‎∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=.‎ tanα=tan ‎===.‎ ‎6.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为________.‎ 答案  解析 f(x)=2cosx+sinx=,‎ 设sinα=,cosα=,则f(x)=sin(x+α),‎ ‎∴函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 三角函数的化简求值 例 1 (1)[2018·衡水中学二调]-=(  )‎ A.4 B.2‎ C.-2 D.-4‎ 答案 D 解析 -=- ‎====-4.‎ ‎(2)4cos50°-tan40°=(  )‎ A. B. C. D.2-1‎ 答案 C 解析 4cos50°-tan40°= ‎== ‎= ‎= ‎=.‎ 触类旁通 三角函数式化简的常用方法 ‎(1)异角化同角:善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数.‎ ‎(2)异名化同名:统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.‎ ‎(3)异次化同次:统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次.‎ ‎【变式训练1】 (1)[2018·九江模拟]化简等于(  )‎ A.-2 B.- C.-1 D.1‎ 答案 C 解析 ===-1.‎ ‎(2)计算:tan20°+4sin20°=________.‎ 答案  解析 原式=+4sin20°= ‎== ‎== ‎==.‎ 考向 三角函数的条件求值 命题角度1 给值求值问题 例 2 (1)[2016·全国卷Ⅱ]若cos=,则sin2α=(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 解法一:sin2α=cos=cos=2cos2-1=2×2-1=-.故选D.‎ 解法二:cos=(cosα+sinα)=⇒cosα+sinα=⇒1+sin2α=,∴sin2α=-.故选D.‎ ‎(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈,tanα=2,则cos=________.‎ 答案  解析 cos=cosαcos+sinαsin ‎=(cosα+sinα).‎ 又由α∈,tanα=2,知sinα=,cosα=,‎ ‎∴cos=×=.‎ 命题角度2 给值求角问题 例 3 (1)[2018·江苏徐州质检]已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β.‎ 解 ∵0<β<α<,∴0<α-β<.‎ 又∵cos(α-β)=,‎ ‎∴sin(α-β)==.‎ ‎∵cosα=,0<α<,∴sinα=,‎ ‎∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.‎ ‎∵0<β<,∴β=.‎ ‎(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.‎ 解 ∵tanα=tan[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.‎ 又∵tan2α===>0,‎ ‎∴0<2α<,‎ ‎∴tan(2α-β)===1.‎ ‎∵tanβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,‎ ‎∴2α-β=-.‎ 触类旁通 三角函数的条件求值技巧 ‎(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.‎ ‎(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.‎ 考向 三角恒等变换的综合应用 例 4 [2017·浙江高考]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解 (1)由sin=,cos=-,‎ 得f=2-2-2××,‎ 所以f=2.‎ ‎(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得 f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin,‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ 触类旁通 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用 ‎(1)图象变换问题 先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+t或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+t的形式,再进行图象变换.‎ ‎(2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤:‎ ‎①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式;‎ ‎②利用公式T=(ω>0)求周期;‎ ‎③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;‎ ‎④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的单调区间.‎ ‎【变式训练2】 已知函数f(x)=cos2x+cos2,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ 解 (1)f(x)=cos2x+cos2 ‎=+ ‎=sin2x+cos2x+1‎ ‎=sin+1,‎ 则函数f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎∵f=,f=+1,f=1+,‎ ‎∴f(x)min=,f(x)max=+1.‎ 核心规律 重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.‎ 满分策略 ‎1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.‎ ‎2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.‎ 板块三 启智培优·破译高考 规范答题系列2——逆向思维构造辅助角公式解题 ‎[2017·北京高考]已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.‎ 解题视点 (1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式,(2)证明f(x)≥-时注意x的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x ‎=sin2x+cos2x ‎=sin,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)证明:因为-≤x≤,‎ 所以-≤2x+≤.‎ 所以sin≥sin=-,‎ 所以当x∈时,f(x)≥-.‎ ‎[答题模板] 第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式;‎ 第二步:构造f(x)= ;‎ 第三步:和差公式逆用f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);‎ 第四步:利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;‎ 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.‎ ‎①化简时公式的准确应用是灵魂;②研究三角函数性质时注意整体思想的应用.‎ 跟踪训练 已知函数f(x)=2sinxsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.‎ 解 (1)f(x)=2sinx=×+sin2x=sin+.所以函数f(x)的最小正周期为T=π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时,2x-∈,sin∈,f(x)∈.‎ 故f(x)的值域为.‎ 板块四 模拟演练·提能增分 ‎[A级 基础达标]‎ ‎1.[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα-cosα=,则sin2α=(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 ∵sinα-cosα=,∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,∴sin2α=-.故选A.‎ ‎2.[2017·山东高考]函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 ‎(  )‎ A. B. C.π D.2π 答案 C 解析 y=sin2x+cos2x=2sin,T==π.故选C.‎ ‎3.[2018·武汉模拟]计算tan15°+的值为(  )‎ A. B.‎2 C.4 D.2 答案 C 解析 tan15°+=+===4.故选C.‎ ‎4.[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°+cos160°sin70°的值为(  )‎ A.0 B.‎1 C.-1 D. 答案 C 解析 原式=sin20°cos(180°-70°)+cos(180°-20°)·sin70°=-sin20°cos70°-cos20°sin70°=-(sin20°·cos70°+cos20°sin70°)=-sin90°=-1.故选C.‎ ‎5.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),‎ ‎∴=-,即tan(A+B)=-.‎ 又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,0<C<π,∴C=.‎ ‎6.[2018·大连模拟]若=,则tan2α等于________.‎ 答案  解析 =,等式左边分子、分母同除以cosα,得=,解得tanα=-3,则tan2α==.‎ ‎7.已知sinα=cos2α,α∈,则tanα=________.‎ 答案 - 解析 sinα=1-2sin2α,∴2sin2α+sinα-1=0.‎ ‎∴(2sinα-1)(sinα+1)=0,∵α∈,‎ ‎∴2sinα-1=0.∴sinα=,cosα=-.‎ ‎∴tanα=-.‎ ‎8.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是 ‎________.‎ 答案 1‎ 解析 f(x)=1-cos2x+cosx-=-2+1.‎ ‎∵x∈,∴cosx∈[0,1],‎ ‎∴当cosx=时,f(x)取得最大值,最大值为1.‎ ‎9.已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若f(x0)=,x0∈,求cos的值.‎ 解 (1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin,‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为T=π,‎ ‎∵x∈,∴2x+∈,‎ ‎∴f(x)max=f=2,‎ f(x)min=f=-1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x0)=2sin=,‎ 即sin=,‎ 又∵x0∈,∴2x0+∈,‎ ‎∴cos<0,‎ 即cos=-=-.‎ ‎10.[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角,cos=.‎ ‎(1)求tan的值;(2)求sin的值.‎ 解 (1)因为α∈,所以α+∈,‎ 所以sin==,‎ 所以tan==2.‎ ‎(2)因为sin=sin ‎=2sincos=,‎ cos=cos=2cos2-1=-,‎ 所以sin=sin ‎=sincos-cossin ‎=.‎ ‎[B级 知能提升]‎ ‎1.[2018·天水模拟]若θ∈,sin2θ=,则sinθ等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 因为θ∈,所以2θ∈,cos2θ≤0,所以cos2θ=-=-.又因为cos2θ=1-2sin2θ=-,所以sin2θ=,sinθ=.故选D.‎ ‎2.[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)=sin+cos的最大值为(  )‎ A. B.‎1 C. D. 答案 A 解析 ∵f(x)=sin+cos ‎=+cosx+sinx ‎=sinx+cosx+cosx+sinx ‎=sinx+cosx=sin,‎ ‎∴当x=+2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值.故选A.‎ ∵+=,‎ ‎∴f(x)=sin+cos ‎=sin+cos ‎=sin+sin ‎=sin≤.‎ ‎∴f(x)max=.故选A.‎ ‎3.[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.‎ 答案 - 解析 因为θ是第四象限角,且sin=,所以θ+为第一象限角,所以cos=,所以tan==‎ =-=-.‎ ‎4.已知函数f(x)=2-2sin2.‎ ‎(1)若f(x)=,求sin2x的值;‎ ‎(2)求函数F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.‎ 解 (1)由题意知f(x)=1+sinx-(1-cosx)=sinx+cosx,‎ 又∵f(x)=,∴sinx+cosx=,‎ ‎∴sin2x+1=,∴sin2x=.‎ ‎(2)F(x)=(sinx+cosx)·[sin(-x)+cos(-x)]+(sinx+cosx)2‎ ‎=cos2x-sin2x+1+sin2x ‎=cos2x+sin2x+1‎ ‎=sin+1,‎ 当sin=1时,F(x)取得最大值,‎ 即F(x)max=+1.‎ 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),‎ ‎∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 从而函数F(x)的最大值为+1,单调递增区间为 (k∈Z).‎ ‎5.[2018·四川检测]已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+‎ ,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)由已知,有 f(x)=cosx·-cos2x+ ‎=sinx·cosx-cos2x+ ‎=sin2x-(1+cos2x)+ ‎=sin2x-cos2x=sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T==π.‎ ‎(2)由x∈得2x-∈,‎ 则sin∈,‎ 即函数f(x)=sin∈.‎ 所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.‎

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