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- 2021-06-15 发布
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第5讲 简单的三角恒等变换
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名
公式
二倍角的正弦
sin2α=2sinαcosα
二倍角的余弦
cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1
二倍角的正切
tan2α=
[必会结论]
1.降幂公式:cos2α=,sin2α=.
2.升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.
3.公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).
4.辅助角公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),
其中sinφ=,cosφ= .
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( )
(3)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.( )
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(5)存在角α,使得sin2α=2sinα成立.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.[2018·江西九江模拟]计算sin-cos的值为( )
A.0 B.- C.2 D.
答案 B
解析 sin-cos=2=2sin=2sin=-.故选B.
3.[2017·山东高考]已知cosx=,则cos2x=( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 cos2x=2cos2x-1=2×2-1=.故选D.
4.[2018·山西四校联考]已知sin=,-<α<0,则cos的值是( )
A. B. C.- D.1
答案 C
解析 由已知得cosα=,sinα=-,cos=cosα+sinα=-.
5.[2017·江苏高考]若tan=,则tanα=________.
答案
解析 ∵tan=
==,
∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=.
tanα=tan
===.
6.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为________.
答案
解析 f(x)=2cosx+sinx=,
设sinα=,cosα=,则f(x)=sin(x+α),
∴函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.
板块二 典例探究·考向突破
考向 三角函数的化简求值
例 1 (1)[2018·衡水中学二调]-=( )
A.4 B.2
C.-2 D.-4
答案 D
解析 -=-
====-4.
(2)4cos50°-tan40°=( )
A. B.
C. D.2-1
答案 C
解析 4cos50°-tan40°=
==
=
=
=.
触类旁通
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角:善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数.
(2)异名化同名:统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.
(3)异次化同次:统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次.
【变式训练1】 (1)[2018·九江模拟]化简等于( )
A.-2 B.- C.-1 D.1
答案 C
解析 ===-1.
(2)计算:tan20°+4sin20°=________.
答案
解析 原式=+4sin20°=
==
==
==.
考向 三角函数的条件求值
命题角度1 给值求值问题
例 2 (1)[2016·全国卷Ⅱ]若cos=,则sin2α=( )
A. B. C.- D.-
答案 D
解析 解法一:sin2α=cos=cos=2cos2-1=2×2-1=-.故选D.
解法二:cos=(cosα+sinα)=⇒cosα+sinα=⇒1+sin2α=,∴sin2α=-.故选D.
(2)[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈,tanα=2,则cos=________.
答案
解析 cos=cosαcos+sinαsin
=(cosα+sinα).
又由α∈,tanα=2,知sinα=,cosα=,
∴cos=×=.
命题角度2 给值求角问题
例 3 (1)[2018·江苏徐州质检]已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β.
解 ∵0<β<α<,∴0<α-β<.
又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)==.
∵cosα=,0<α<,∴sinα=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.
∵0<β<,∴β=.
(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,求2α-β的值.
解 ∵tanα=tan[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.
又∵tan2α===>0,
∴0<2α<,
∴tan(2α-β)===1.
∵tanβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,
∴2α-β=-.
触类旁通
三角函数的条件求值技巧
(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.
考向 三角恒等变换的综合应用
例 4 [2017·浙江高考]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 (1)由sin=,cos=-,
得f=2-2-2××,
所以f=2.
(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得
f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin,
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
触类旁通
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据两角和差公式、倍角公式把函数表达式变换为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+t或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+t的形式,再进行图象变换.
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤:
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的形式;
②利用公式T=(ω>0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+t或y=Acos(ωx+φ)+t的单调区间.
【变式训练2】 已知函数f(x)=cos2x+cos2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=cos2x+cos2
=+
=sin2x+cos2x+1
=sin+1,
则函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
∵f=,f=+1,f=1+,
∴f(x)min=,f(x)max=+1.
核心规律
重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
满分策略
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.
2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为最简形式y=Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列2——逆向思维构造辅助角公式解题
[2017·北京高考]已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.
解题视点 (1)根据三角恒等变换公式将函数解析式化简为“一角一函数”的形式,(2)证明f(x)≥-时注意x的取值范围.
解 (1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=sin,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)证明:因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
所以sin≥sin=-,
所以当x∈时,f(x)≥-.
[答题模板] 第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式;
第二步:构造f(x)=
;
第三步:和差公式逆用f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
第四步:利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;
第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.
①化简时公式的准确应用是灵魂;②研究三角函数性质时注意整体思想的应用.
跟踪训练
已知函数f(x)=2sinxsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
解 (1)f(x)=2sinx=×+sin2x=sin+.所以函数f(x)的最小正周期为T=π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(2)当x∈时,2x-∈,sin∈,f(x)∈.
故f(x)的值域为.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2017·全国卷Ⅲ]已知sinα-cosα=,则sin2α=( )
A.- B.- C. D.
答案 A
解析 ∵sinα-cosα=,∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,∴sin2α=-.故选A.
2.[2017·山东高考]函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为
( )
A. B. C.π D.2π
答案 C
解析 y=sin2x+cos2x=2sin,T==π.故选C.
3.[2018·武汉模拟]计算tan15°+的值为( )
A. B.2 C.4 D.2
答案 C
解析 tan15°+=+===4.故选C.
4.[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°+cos160°sin70°的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.
答案 C
解析 原式=sin20°cos(180°-70°)+cos(180°-20°)·sin70°=-sin20°cos70°-cos20°sin70°=-(sin20°·cos70°+cos20°sin70°)=-sin90°=-1.故选C.
5.在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,则C等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),
∴=-,即tan(A+B)=-.
又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,0<C<π,∴C=.
6.[2018·大连模拟]若=,则tan2α等于________.
答案
解析 =,等式左边分子、分母同除以cosα,得=,解得tanα=-3,则tan2α==.
7.已知sinα=cos2α,α∈,则tanα=________.
答案 -
解析 sinα=1-2sin2α,∴2sin2α+sinα-1=0.
∴(2sinα-1)(sinα+1)=0,∵α∈,
∴2sinα-1=0.∴sinα=,cosα=-.
∴tanα=-.
8.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是
________.
答案 1
解析 f(x)=1-cos2x+cosx-=-2+1.
∵x∈,∴cosx∈[0,1],
∴当cosx=时,f(x)取得最大值,最大值为1.
9.已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos的值.
解 (1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1
=sin2x+cos2x
=2sin,
∴函数f(x)的最小正周期为T=π,
∵x∈,∴2x+∈,
∴f(x)max=f=2,
f(x)min=f=-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin=,
即sin=,
又∵x0∈,∴2x0+∈,
∴cos<0,
即cos=-=-.
10.[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角,cos=.
(1)求tan的值;(2)求sin的值.
解 (1)因为α∈,所以α+∈,
所以sin==,
所以tan==2.
(2)因为sin=sin
=2sincos=,
cos=cos=2cos2-1=-,
所以sin=sin
=sincos-cossin
=.
[B级 知能提升]
1.[2018·天水模拟]若θ∈,sin2θ=,则sinθ等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为θ∈,所以2θ∈,cos2θ≤0,所以cos2θ=-=-.又因为cos2θ=1-2sin2θ=-,所以sin2θ=,sinθ=.故选D.
2.[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)=sin+cos的最大值为( )
A. B.1 C. D.
答案 A
解析 ∵f(x)=sin+cos
=+cosx+sinx
=sinx+cosx+cosx+sinx
=sinx+cosx=sin,
∴当x=+2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值.故选A.
∵+=,
∴f(x)=sin+cos
=sin+cos
=sin+sin
=sin≤.
∴f(x)max=.故选A.
3.[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
答案 -
解析 因为θ是第四象限角,且sin=,所以θ+为第一象限角,所以cos=,所以tan==
=-=-.
4.已知函数f(x)=2-2sin2.
(1)若f(x)=,求sin2x的值;
(2)求函数F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.
解 (1)由题意知f(x)=1+sinx-(1-cosx)=sinx+cosx,
又∵f(x)=,∴sinx+cosx=,
∴sin2x+1=,∴sin2x=.
(2)F(x)=(sinx+cosx)·[sin(-x)+cos(-x)]+(sinx+cosx)2
=cos2x-sin2x+1+sin2x
=cos2x+sin2x+1
=sin+1,
当sin=1时,F(x)取得最大值,
即F(x)max=+1.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
从而函数F(x)的最大值为+1,单调递增区间为
(k∈Z).
5.[2018·四川检测]已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+
,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解 (1)由已知,有
f(x)=cosx·-cos2x+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由x∈得2x-∈,
则sin∈,
即函数f(x)=sin∈.
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.