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- 2021-06-15 发布
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吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学
本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条
形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案
的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、
笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案
无效。
4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。
1. 已知全集,则图中阴影部分表示的 集合是
A. B.
C. D.
2. 设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为
A. B. C. D.
3. 已知表示两个不同平面,直线是内一条直线,则“∥” 是“∥”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知是公差为的等差数列,前项和为,若,则的值是
A. B. C. D.
是
否
5. 《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位
所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由
筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“
李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三
遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,
右图为该问题的程序框图,若输出的值为0,则开始输
入的值为
A. B.
C. D.
6. 已知向量和的夹角为,且, 则等于
A. B. C. D.
7. 有如下四个命题:
若,则
其中假命题的是
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的一条渐近线为,则该双曲线的离心率
等于
A. B. C. D.
9. 已知函数对任意都满足,则
函数的最大值为
A.5 B.3 C. D.
10.如图所示,在边长为1的正方形组成的网格中,
画出的是一个几何体的三视图,则该几何体的
体积是
A. B.
C. D.
11. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,,给出下列命题:
① 当时,;
② 函数的单调递减区间是;
③ 对,都有.
其中正确的命题是
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②
12. 已知为抛物线的焦点,点在该抛物线上且位于轴的两侧,而且
(为坐标原点),若与的面积分别为和,则 最小值是
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知实数满足条件, 则的最大值是
14. 某公司招聘员工,有甲、乙、丙三人应聘并进行面试,结果只有一人被录用,当三人
被问到谁被录用时,
甲说:丙没有被录用;乙说:我被录用;丙说:甲说的是真话.
事实证明,三人中只有一人说的是假话,那么被录用的人是
15. 已知数列中,前项和为,且,则的最大值为
16. 三棱锥中,底面是边长为的等边三角形,面,,则三棱锥外接球的表面积是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在中,角所对边分别是,满足
(1)求角;
(2)若,求面积的最大值.
18.(12分)
已知各项均为正数的等比数列,前项和为,.
(1)求的通项公式;
(2)设,的前项和为,证明:.
19.(12分)
某高中一年级600名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的600名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
20.(12分)
四棱锥中,底面为菱形,,为等边三角形
(1)求证: ;
(2)若,求二面角
的余弦值.
21.(12分)
设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为,短轴长为,已知是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线上两点关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点,若的面积为,求直线的方程.
22.(12分)
已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)令,讨论的单调性并判断有无极值,若有,求出极值.
吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
A
D
C
D
B
C
C
A
B
B
二、填空题
13. 7 ; 14. 甲 ; 15. 2 ; 16.
三、解答题
17.
解(1)由已知得: --------------------------------2分
--------------------------------------4分
因为,所以, ------------------------------------------5分
(2) 由余弦定理得:
, ------------------------------------------7分
当时取等号 ---------------------------------------------------8分
所以面积的最大值为 ---------------------------------------------------------10分
18.
解(1)设公比为,由题意 ---------------------------------------------------------------1分
, ----------------------------------------------------------------3分
由(2)得:
将(1)代入得: ------------------------------------------5分
代入(1)得:,所以 -------------------------------------------------------------6分
(2) --------------------------------9分
------------------------------------------------------12分
19.
解:(1)(0.02+0.04)×10=0.6, 1-0.6=0.4
样本分数小于70的频率为0.4, 所以总体中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计 为0.4 ---------------------------------------------4分
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为,
分数在区间内的人数为. -----------------6分
所以总体中分数在区间内的人数估计为. --------------8分
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为,
所以样本中分数不小于70的男生人数为. -------------------------10分
所以样本中的男生人数为,女生人数为,男生和女生人数的比例为.
所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为. ----------12分
20.
(1)证明:取AD中点E,连结PE,BE --------------------------------------------------1分
ABCD为菱形,,为等边三角形
-------------------------------------------------------------------------------3分
为等边三角形,
----------------4分
(2) 为等边三角形,边长为2
-------------------------------------------------------------6分
如图,以EA,EB,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系
--------------------------------7分
设平面PCD的法向量为
,
取,则 ------------------------9分
设平面PCB的法向量为
,
取,则 ---------------------------------------------10分
设二面角的平面角为
二面角的余弦值等于0 -------------------------------------------------------------12分
21.
解(1) -------------------1分
,所以椭圆方程为 ----------------------------------------------3分
所以抛物线方程为 ---------------------------------------------5分
(2)设直线AP方程为,与直线的方程联立
可得点,
联立AP跟椭圆方程消去x,整理得,
解得,可得, -----------------------------------------7分
由,直线BQ方程,
令y=0,解得,即 --------------------------------------------9分
所以有, --------------------------------10分
整理得, 解得 ---------------------------11分
所以,直线AP的方程为:
-----------12分
22.
解:(1) ------------2分
则切线方程为y=1 ------------------------4分
(2)g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)
g′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)
=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna). ------------------------------------6分
令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.
∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0. --------------------------------7分
当a≤0时,ex﹣a>0,
∴x>0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)单调递增;
x<0时,g′(x)<0,函数g(x)在(﹣∞,0)单调递减.
∴x=0时,函数g(x)取得极小值,
无极大值 ------------------------------------------------------------------------------8分
当a>0时,令g′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.解得x1=lna,x2=0.
①0<a<1时,
x∈(﹣∞,lna)时,ex﹣elna<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
x∈(lna,0)时,ex﹣elna>0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,ex﹣elna>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴当x=0时,函数g(x)取得极小值,.
当x=lna时,函数g(x)取得极大值,
g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. -------------------9分
②a=1时,lna=0,x∈R时,g′(x)≥0,
∴函数g(x)在R上单调递增.无极值 --------------------------------------------------10分
③a>1时,lna>0,
x∈(﹣∞,0)时,ex﹣elna<0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
x∈(0,lna)时,ex﹣elna<0,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;
x∈(lna,+∞)时,ex﹣elna>0,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
∴当x=0时,函数g(x)取得极大值,.
当x=lna时,函数g(x)取得极小值,
g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].------------------------11分
综上所述:
当a≤0时,函数g(x)在(0,+∞)单调递增;在(﹣∞,0)单调递减.
g(x)极小值为﹣1﹣2a.无极大值
当0<a<1时,
函数g(x)在(﹣∞,lna),(0,+∞)上单调递增;在(lna,0)上单调递减.
极小值g(0)=﹣2a﹣1.极大值g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
当a=1时,函数g(x)在R上单调递增.无极值
当a>1时,函数g(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;在(0,lna)上单调递减.
极大值g(0)=﹣2a﹣1.极小值g(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
-----------------------------------------------------------------------12分
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