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  • 2021-06-15 发布

高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-2 平面与平面平行的判定

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一、选择题 ‎1.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面(  )‎ A.平行 B.相交 C.垂直 D.都可能 ‎[答案] D ‎[解析] 过直线的平面有无数个,考虑两个面的位置要全面.‎ ‎2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列正确的是(  )‎ A.平面ABCD∥平面ABB′A′‎ B.平面ABCD∥平面ADD′A′‎ C.平面ABCD∥平面CDD′C′‎ D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′‎ ‎[答案] D ‎3.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD‎1A1与平面BCF1E1的位置关系是(  )‎ A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 ‎[答案] A ‎[解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D‎1C1的中点,‎ ‎∴A1D1∥E‎1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E‎1F1⊂平面BCF1E1,‎ ‎∴A1D1∥平面BCF1E1.‎ 又E1和E分别是A1B1和AB的中点,‎ ‎∴A1E1綊BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,‎ ‎∴A1E∥BE1,‎ 又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,‎ ‎∴A1E∥平面BCF1E1,‎ 又A1E⊂平面EFD‎1A1,A1D1⊂平面EFD‎1A1,A1E∩A1D1=A1,‎ ‎∴平面EFD‎1A1∥平面BCF1E1.‎ ‎4.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是(  )‎ A.l∥β,l⊂α⇒α∥β B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β ‎[答案] D ‎[解析] 如图所示,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B‎1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1,B‎1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B‎1C1,AD⊂平面AC,B‎1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.‎ ‎5.下列结论中:‎ ‎(1)过不在平面内的一点,有且只有一个平面与这个平面平行;‎ ‎(2)过不在平面内的一条直线,有且只有一个平面与这个平面平行;‎ ‎(3)过不在直线上的一点,有且只有一条直线与这条直线平行;‎ ‎(4)过不在直线上的一点,有且仅有一个平面与这条直线平行.‎ 正确的序号为(  )‎ A.(1)(2) B.(3)(4)‎ C.(1)(3) D.(2)(4)‎ ‎[答案] C ‎6.若平面α∥平面β,直线a∥α,点B∈β,则在平面β内过点B的所有直线中(  )‎ A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 ‎[答案] A ‎[解析] 当直线a⊂β,B∈a上时满足条件,此时过B不存在与a平行的直线,故选A.‎ ‎7.过平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1‎ 任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有(  )‎ A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 ‎[答案] D ‎[解析] 如图所示,以E为例,易证EI,EQ∥平面DBB1D1.‎ 与E处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q,故有符合题意的直线=8条.以I为例,易证IE∥平面DBB1D1,与I处于同等地位的点还有J,K,L,故有符合题意的直线4条.∴共有8+4=12(条).‎ ‎8.如图是四棱锥的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:‎ ‎①平面EFGH∥平面ABCD;‎ ‎②平面PAD∥BC;‎ ‎③平面PCD∥AB;‎ ‎④平面PAD∥平面PAB.‎ 其中正确的有(  )‎ A.①③ B.①④‎ C.①②③ D.②③‎ ‎[答案] C ‎[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧面,则它们两两相交.‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴平面PCD∥AB.‎ 同理平面PAD∥BC.‎ 二、填空题 ‎9.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是________.‎ ‎[答案] 平行 ‎10.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).‎ ‎[答案] 平行 ‎[解析] 假若α∩β=l,则在平面α内,与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a.故α∥β.‎ ‎11.‎ 如图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.‎ ‎[答案] 点M在FH上 ‎[解析] ∵FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN=H,‎ ‎∴平面FHN∥平面B1BDD1,‎ 又平面FHN∩平面EFGH=FH,‎ ‎∴当M∈FH时,MN⊂平面FHN,‎ ‎∴MN∥平面B1BDD1.‎ ‎12.如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,‎ ‎①BM∥平面DE;‎ ‎②CN∥平面AF;‎ ‎③平面BDM∥平面AFN;‎ ‎④平面BDE∥平面NCF.‎ 以上四个命题中,正确命题的序号是________.‎ ‎[答案] ①②③④‎ ‎[解析] 展开图可以折成如图a所示的正方体.‎ 在正方体中,连接AN,如图b所示.‎ ‎∵AB∥MN,且AB=MN,‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形.‎ ‎∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴①②‎ 正确;‎ 如图c所示,连接NF,BE,BD,DM,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.‎ 三、解答题 ‎13.在三棱锥P-ABC中,E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上,且===,求证平面EFG∥平面ABC.‎ ‎[分析] 要证平面EFG∥平面ABC,依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行,考虑已知条件的比例关系可产生平行线,故应从比例关系入手先找线线平行关系.‎ ‎[证明] 在△PAB中,∵=,∴EF∥AB,‎ ‎∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ ‎∴EF∥平面ABC,同理FG∥平面ABC,‎ ‎∵EF∩FG=F,且FG⊂平面EFG,EF⊂平面EFG,‎ ‎∴平面EFG∥平面ABC.‎ 总结评述:欲证“面面平行”,可证“线面平行”;证“线面平行”,可通过证“线线平行”来完成,这是立体几何最常用的化归与转化的思想.‎ ‎14.如图,F,H分别是正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱CC1,AA1的中点,求证:平面BDF∥平面B1D1H.‎ ‎[证明] 取DD1中点E,‎ 连AE、EF.‎ ‎∵E、F为DD1、CC1中点,‎ ‎∴EF綊CD.‎ ‎∴EF綊AB,‎ ‎∴四边形EFBA为平行四边形.‎ ‎∴AE∥BF.‎ 又∵E、H分别为D1D、A‎1A中点,‎ ‎∴D1E綊HA,∴四边形HAED1为平行四边形.‎ ‎∴HD1∥AE,‎ ‎∴HD1∥BF,‎ 由正方体的性质易知B1D1∥BD,且已证BF∥D1H.‎ ‎∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,‎ ‎∴B1D1∥平面BDF.‎ ‎∵HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,‎ ‎∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1=D1,‎ ‎∴平面BDF∥平面B1D1H.‎ ‎15.如图所示,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点,求证:‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1;‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎[证明] (1)如图所示,连接SB.‎ ‎∵E,G分别是BC,SC的中点,‎ ‎∴EG∥SB.‎ 又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连接SD.∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.‎ 又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,‎ ‎∴FG∥平面BDD1B1.‎ 又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,‎ ‎∴平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎16.如图所示,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,点D为AC 的中点,点D1是A‎1C1上的一点,当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?‎ ‎[解析] =1.‎ 证明如下:如图所示,‎ 此时D1为线段A‎1C1的中点,连接A1B交AB1于O,连接OD1.‎ 由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,‎ ‎∴点O为A1B的中点.‎ 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A‎1C1的中点,‎ ‎∴OD1∥BC1.‎ 又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,‎ ‎∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.‎

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