2017-2018学年福建省三明市三地三校高二上学期期中联考数学（文）试题（Word版） 8页

2017-2018 学年福建省三明市三地三校高二上学期期中联考 数学（文科） （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 学校 班级 姓名 座号 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是( ) A．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数 B．若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数 C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D．若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数 2．若 a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A．充要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知命题 p：∃n∈N,2n>1000，则﹁ p 为( ) A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n>1000 C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<1000 4．椭圆的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是 26， 则椭圆的方程为( )． A. x2 144 ＋y2 25 ＝1 B. x2 144 ＋ y2 169 ＝1 C. x2 169 ＋y2 25 ＝1 D. x2 169 ＋ y2 144 ＝1 5．若双曲线 x2－ky2＝1 的一个焦点是(3,0)，则实数 k＝( ) A. 1 16 B.1 4 C.1 8 D.1 2 6. 已知双曲线 C： 2 2 2 2 x y a b  ＝1(a>0，b>0)，以 C 的右焦点为圆心且与 C 的 渐近线相切的圆的半径是( ) A．a B．b C. ab D. a2＋b2 7．已知 f(x)＝xα，若  1f   ＝－4，则α等于( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 8. 与直线 4x－y＋3＝0 平行的抛物线 y＝2x2 的切线方程是( ) A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0 9．函数 f(x)＝ln x x 的单调递减区间是( )． A．[0,1] B．[1，＋∞) C．[0，e] D． [e，＋∞) 10. 直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 11．已知动圆圆心在抛物线 y2＝4x 上，且动圆恒与直线 x＝－1 相切，则此 动圆必过定点( ) A．(2,0) B．(0，－1) C．(0,1) D．(1,0) 12．已知函数 f(x)＝1 3 x3＋x，则不等式 f(2－x2)＋f(2x＋1)>0 的解集是 ( ) A．(－∞，－ 2－1)∪( 2－1，＋∞) B．(－1,3) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．－ 2－1， 2－1) 二、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．命题“若 x＝5，则 x2－8x＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中 正确的个数有 个。 14． 已知点(2,3)在双曲线 C： 2 2 2 2 x y a b  ＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为 4，则 它的离心率为________． 15.函数 y＝f(x)在定义域(－3 2 ，3)内的图象如图所示．记 y＝f(x)的导函数 为 y＝  f x ，则不等式  f x ≤0 的解集为 。 . 16.已知 p(x)：x2＋2x－m＞0，且 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为__________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，第 17、18 题 10 分，19-21 小题各为 12 分，22 题 14 分.解答应写出文字说明、证明过程和推演步骤． 17．已知函数 f(x)＝1 3 x3－x2＋ax＋b 的图象在点 P(0，f(0))处的切线方程 为 y＝3x－2.求实数 a，b 的值 18. 在一次投篮训练中，小明连续投了 2 次．设命题 p 是“第一次投中”， 命题 q 是“第二次投中”． 试用 p，q 以及逻辑联结词“∧，∨，﹁”表示下列命题：(1)两次都没投中； (2)两次都投中了；(3)恰有一次投中；(4)至少有一次投中；(5)至多有一次投 中． 19.抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135°的 直线，被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程． 20．若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y＝f(x) 的极值点．已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点． (1)求 a 和 b 的值； (2)设函数 g(x)的导函数  g x ＝f(x)＋2，求 g(x)的极值点； 21.在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－ 3)、(0， 3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A，B 两点． (1)写出 C 的方程； (2)若OA → ⊥OB → ，求 k 的值． 22．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 2017-2018 学年第一学期三明市三地三校联考协作卷 高二(上)文科数学参考答案 1-12 BCADC BACDA DB 13. 2 14. 2 15. [－1 3 ，1]∪[2,3)． 16. [3,8) 17 解：f′(x)＝x2－2x＋a，.......................................3 分 ∴f′(0)＝a＝3，即 a＝3.....................................5 分 又 P(0，f(0))既在曲线 f(x)上，又在切线 y＝3x－2 上，..........6 分 ∴f(0)＝1 3 ×03－02＋a×0＋b＝3×0－2，即 b＝－2...............9 分 ∴a＝3，b＝－2.............................................10 分 18 解：依题意及逻辑联结词的意义， (1)两次没投中可表示为(﹁ p)∧(﹁ q)；......................2 分 (2)两次都投中了可表示为 p∧q；.............................4 分 (3)恰有一次投中可表示为[p∧(﹁ q)]∨[(﹁ p)∧q]；......... 6 分 (4)至少有一次投中可表示为 p∨q；...........................8 分 (5)至多有一次投中可表示为﹁(p∧q)．...................... 10 分 19 解：如图，依题意可设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，.......1 分 则直线方程为 y＝－x＋1 2p.....................................2 分 设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，.......................3 分 则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p 2＋x2＋p 2， 即 x1＋p 2 ＋x2＋p 2 ＝8.①.......................................5 分 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由 y＝－x＋1 2 p， y2＝2px， 消去 y，得 x2－3px＋p2 4 ＝0，................................7 分 ∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得 p＝2...........................9 分 ∴所求抛物线方程为 y2＝4x.................................10 分 当抛物线方程设为 y2＝－2px 时， 同理：可求得抛物线方程为 y2＝－4x...........................12 分 20 解：(1)由题设知 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，.....................2 分 且 f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，.............4 分 解得 a＝0，b＝－3...........................................5 分 (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x. 因为 f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，...............................6 分 所以 g′(x)＝0 的根为 x1＝x2＝1，x3＝－2， 于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或－2........................7 分 当 x＜－2 时，g′(x)＜0； 当－2＜x＜1 时，g′(x)＞0，故－2 是 g(x)的极值点．...........9 分 当－2＜x＜1 或 x＞1 时，g′(x)＞0，故 1 不是 g(x)的极值点．...11 分 所以 g(x)的极值点为－2.....................................12 分 21 解: (1)设 P(x，y)，.......................................1 分 由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0，－ 3)，(0， 3)为焦点， 长半轴为 2 的椭圆．..........................................2 分 它的短半轴 b＝ 22－ 3 2＝1...............................3 分 故曲线 C 的方程为 x2＋y2 4 ＝1....................................4 分 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 x2＋y2 4 ＝1， y＝kx＋1. 消去 y 并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0..........................6 分 故 x1＋x2＝－ 2k k2＋4 ，x1x2＝－ 3 k2＋4 .............................7 分 若OA → ⊥OB → ，即 x1x2＋y1y2＝0...................................8 分 而 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.................................9 分 于是 x1x2＋y1y2＝－ 3 k2＋4 － 3k2 k2＋4 － 2k2 k2＋4 ＋1＝0..................10 分 化简得－4k2＋1＝0.所以 k＝± 1 2 ..............................12 分 22 解: (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9..............................2 分 令 f′(x)<0，解得 x<－1，或 x>3，............................3 分 ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．.........5 分 单调递増区间为(-1,3)。.....................................6 分 (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， ∴f(2)>f(－2)．............................................7 分 ∵在(－1,3)上 f′(x)>0， ∴f(x)在(－1,2]上单调递增．................................8 分 又由于 f(x)在[－2，－1)上单调递减，........................9 分 ∴f(－1)是 f(x)的极小值，且 f(－1)＝a－5....................10 分 ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2............................................12 分 ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∴f(－1)＝a－5＝－7， 即函数 f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.....................14 分