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  • 2021-06-15 发布

北京师大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.从每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知i是虚数单位,复数z满足,则复平面内表示z的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标,从而得到答案.‎ ‎【详解】复数,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为 所以复平面内表示z的点在第四象限.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系,属于基础题.‎ ‎2.已知,为虚数单位,若为纯虚数,则的值为( )‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题知为纯虚数,实部为.故 .故本题选.‎ ‎3.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于( )‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:设出等差数列的首项和公差,由a3=6,S3=12,联立可求公差d.‎ 解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 由a3=6,S3=12,得:‎ 解得:a1=2,d=2.‎ 故选C.‎ 考点:等差数列的前n项和.‎ ‎4.已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知c=3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e==.‎ ‎5.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】解:若方程表示的曲线为椭圆,则,且,‎ 则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合椭圆的方程求出,的关系是解决本题的关键.‎ ‎6.设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等体积法有,可求出答案.‎ ‎【详解】设点到平面的距离是,由等体积法有 ‎,有 所以,解得:‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查点到面的距离,考查等体积法,属于基础题.‎ ‎7.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E,F分别是C1D1,CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值.‎ ‎【详解】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 设正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中棱长为2,E,F分别是C1D1,CC1的中点,‎ A(2,0,0),E(0,1,2),B(2,2,0),F(0,2,1),‎ ‎=(﹣2,1,2),=(﹣2,0,1),‎ 设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ,‎ 则cosθ=== ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,注意向量法的合理运用,属于基础题.‎ ‎8.如图,已知三棱锥S–ABC中,SA=SB=CA=CB=,AB=2,SC=,则二面角S–AB–C的平面角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB的中点O,连接SO,CO,由题设条件推导出AB⊥平面SOC,由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC,在△SOC中,求得∠SOC.‎ ‎【详解】如图,取AB的中点O,连接SO,CO,由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC,∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC.在△SOA中,SO=,同理CO=,在△SOC中,SO=CO=SC=,∴∠SOC=60°,二面角S–AB–C的平面角的大小为60°.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查面面角的大小的求法,解题时要认真审题,合理转化空间问题为平面问题,属于中档题.‎ ‎9.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线 上任意一点,是线段的中点,则直线的斜率的最大值为( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设,,是线段的中点,所以.‎ 直线的斜率为:.‎ 显然时的斜率较大,此时,当且仅当,‎ 时,斜率最大为1.‎ 故选B.‎ ‎10.已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值的几何意义,由可得,曲线与方程的曲线必相交于,为了使曲线与双曲线恰好有两个不同的公共点,则两曲线无其它公共点,将代入方程,整理可得,分类讨论,可得出结论,根据对称性可得出时的情形.‎ ‎【详解】双曲线的方程为,‎ 所以,曲线的图象与曲线的图象必相交于点,‎ 为了使曲线与曲线恰好有两个公共点,‎ 将代入方程,整理可得.‎ ‎①当时,满足题意;‎ ‎②当时,由于曲线与曲线恰好有两个公共点,‎ ‎,且是方程根,‎ 则,解得.‎ 所以,当时,.‎ 根据对称性可知,当时,可求得.‎ 因此,实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围,在解题时要对变量的取值进行分类讨论,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.‎ 二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎11.是虚数单位,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的运算,是基础题.‎ ‎12.双曲线的渐近线方程为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令,解得.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为.‎ 答案:‎ ‎13.设是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且,则△的面积等于___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义有,结合可得,,又,则三角形面积可求.‎ ‎【详解】由椭圆有.‎ 由椭圆的定义有,又 所以,,又.‎ 在△中, ‎ 所以△为直角三角形, △的面积为 ‎ 故答案为:4‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.‎ ‎14.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则____________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(‎ 抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.‎ ‎15.已知等比数列{an}各项均为正数,,若存在正整数,使得,请写出一个满足题意的k值_________.‎ ‎【答案】4~12的正整数均可 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出等比数列的通项公式,然后由条件有,求解即可.‎ ‎【详解】在等比数列{an}中,设公比为,数列各项均为正数,所以 ‎,则,所以,解得:或(舍) ‎ 又,所以.‎ ‎ 则 即,即 ‎ 当,即,也即 时,有成立.‎ 又正整数,且 又当时,,显然有成立.‎ 当时,也有成立.‎ 所以4~12的正整数均可满足条件.‎ 故答案为:4~12的正整数均可 ‎【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前项和以及解不等式,属于中档题.‎ ‎16.已知数列的各项均为正整数,Sn为其前n项和,对于n=1,2,3,…,有,其中为使为奇数的正整数,当时,的最小值为__________;当时,___________.‎ ‎【答案】 (1). 5 (2). 910‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设可知当时,解得或,因为的各项均为正整数,为正整数,所以当时,有最小值.当时,可求出 ,得到数列是周期为2的周期数列,可求出结果.‎ ‎【详解】数列的各项均为正整数 ‎,其中为使为奇数的正整数.‎ 当时,或.‎ 即或,则或(舍)‎ 所以或.‎ 则或,因为的各项均为正整数,为正整数.‎ 显然当时,有最小值.‎ 当时,,‎ ‎,其中为使为奇数的正整数,所以,‎ 所以,‎ ‎,其中为使为奇数的正整数,所以,‎ ‎……………………‎ 所以数列是周期为2的周期数列,奇数项为1,偶数项为8.‎ 故答案为(1) 5 (2)910‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用,考查周期数列求和问题,属于难题.‎ 三、解答题:共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎17.已知各项均不相同的等差数列的前四项和,且、、成等比数列 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设为数列的前n项和,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列的前4项和,以及、、成等比数列,建立关于首项和公差的方程,解出即可. (2)由(1)可得,用裂项相消求和法可求解出答案.‎ ‎【详解】设等差数列的首项为,公差为.‎ 由等差数列的前4项和,以及、、成等比数列 ‎ ,又,解得 ‎ 所以 ‎ ‎(2)由(1)可得 则 所以 ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项相消法求和,属于中档题.‎ ‎18.如图所示,在正四棱柱中,,点E、F分别是棱BC、DC的中点.‎ ‎(1)求证:BD∥平面;‎ ‎(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由点E、F分别是棱BC、DC的中点,则EF∥BD,可得证. (2) 以D为原点,所在直线为轴,轴,‎ 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面的一个法向量,然后即可求线面角.‎ ‎【详解】证明:(1)∵点E、F分别是棱BC、DC的中点,∴EF∥BD.‎ 又平面平面,∥平面.‎ ‎(2)以D为原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系 则 设平面的一个法向量为 由 可得 令 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解,属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线的准线方程是.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)利用排趋性的准线方程求出p,即可求解抛物线的方程;(Ⅱ)直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线联立,通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON 试题解析:(Ⅰ)解:因为抛物线的准线方程为,‎ 所以, 解得,‎ 所以 抛物线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)证明:设,.‎ 将代入,‎ 消去整理得.‎ 所以.‎ 由,,两式相乘,得,‎ 注意到,异号,所以.‎ 所以直线与直线的斜率之积为,‎ 即.‎ 考点:直线与抛物线的位置关系;抛物线的标准方程 ‎20.已知点和椭圆.‎ ‎(1)设椭圆的两个焦点分别为,试求△的周长;‎ ‎(2)若直线与椭圆C交于两个不同的点A,B,直线与x轴分别交于M,N两点,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的定义可得,则三角形的周长可求. (2)要证,则需证明以∠PMN=∠PNM,设直线PA与PB的斜率分别为 ‎,只需证明,将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理可证明结论.‎ ‎【详解】(1)由题意可知,,所以.‎ 因为是椭圆C上的点,由椭圆定义得,‎ 所以△的周长为.‎ ‎(2)由得.‎ 因为直线与椭圆C有两个交点,并注意到直线不过点P,‎ 所以解得或.‎ 设,则,‎ ‎.‎ 显然直线PA与PB的斜率存在,设直线PA与PB的斜率分别为,‎ 则 ‎.‎ 因为,所以∠PMN=∠PNM.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义的运用,考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化,考查运算能力,属于难题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若点A、B为椭圆C的左右顶点,直线与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A、B的动点,直线AP、BP分别交直线于E、F两点,当点P在椭圆C上运动时,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)为定值1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由题意可知,,结合,可求出椭圆方程.‎ ‎(2) 设,则直线AP的方程为,求出,同理得出,将点在椭圆上这个条件代入,可得到答案.‎ ‎【详解】(1)由题意可知 又因为且,解得,‎ 所以椭圆C的方程为;‎ ‎(2)为定值1.‎ 由题意可得:,设,由题意可得:,‎ 所以直线AP的方程为,令,则,‎ 即;‎ 同理:直线BP的方程为,令,则,‎ 即;‎ 所以 而,即,‎ 代入上式得,‎ 所以为定值1.‎ ‎【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题,考查运算能力,属于难题.‎ ‎22.已知数列、,其中,,数列满足,,数列满足. ‎ ‎(1)求数列、的通项公式;‎ ‎(2)是否存在自然数,使得对于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;‎ ‎(3)若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)存在,;(3)‎ ‎.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2,bn+1=2bn可知{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m,满足条件,先求出,将问题转化成可求得的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn,然后写成分段函数的形式.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由,即. ‎ 又,所以 ‎ . ‎ 当时,上式成立,‎ 因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 故. ‎ ‎(2) 由(1)知,则 ‎.‎ 假设存自然数,使得对于任意有恒成立,即恒成立,由,解得. ‎ 所以存在自然数,使得对于任意有恒成立,此时,的最小值为16. ‎ ‎(3)当为奇数时,‎ ‎ ‎ ‎ ;‎ 当为偶数时,‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 因此. ‎ 点睛:数列求和时,要根据数列项的特点选择不同的方法,常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等.‎

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