专题30 平面向量的几何运算与坐标运算-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 9页

考纲要求:‎ ‎1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎2．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；‎ ‎3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 ‎(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝‎ a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；　‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法：‎ ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 应用举例:‎ 类型一、平面向量的线性运算 ‎【例1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研】在直角三角形中，角为直角，且，点是斜边上的一个三等分点，则（ ）‎ A. 0 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例2】【2017浙江省金华、丽水等十二校高三联考】已知， ，为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ‎【答案】C.‎ ‎【例3】【2017浙江省温州市高三月考试题】如图，矩形中，，，，分别为线段，上的点，且满足，‎ 若，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】. ‎ 类型二、平面向量的坐标运算 ‎【例4】【2017江苏泰兴中学高三月考】若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A.a＋b　　　　　 B．－a－b C.a＋b D.a－b ‎【答案】A ‎【解析】设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.‎ ‎【例5】【贵州省黔东南州2018届高三上学期第一次联考】若向量，则（ ）‎ A. -36 B. 36 C. 12 D. -12‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据数量积定义知： ，故选D. ‎ ‎【例6】【贵州省黔东南州2018届高三上学期第一次联考】已知向量， ，且，则向量的坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.向量数量积的两种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos a，b．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎2.平面向量数量积求解问题的策略 ‎ (1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎ （2）两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.‎ (3) 求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎ ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，则|a|＝.‎ 实战演练:‎ ‎1．【广东省兴宁市沐彬中学2018届高三上第二次月考】设若，则m=（ ）‎ A. 0 B. -3 C. D. -7‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎2．【西北师大附中2018届一调】‎ 已知向量（ ）‎ A. -3 B. 2 C. 3 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,选A. ‎ ‎3．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研】已知向量， ，则向量与的夹角为( )‎ A. 135° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则： ，‎ 且，‎ 设所求解的向量的夹角为，由题意可得： ，‎ 则：向量与的夹角为45°.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．已知 （ ）‎ A. B. C. － D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎6．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点， ， ， 两两夹角为120°．‎ 所以．‎ 所以 ‎。‎ 故选D．‎ ‎7．分别是的中线，若，且与的夹角为，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由解得 ‎.‎ 故选C.‎ 点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎8．【江西省赣州市崇义中学2018届高三上学期第二次月考】长方形ABCD中， ，E为CD的中点，则___________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】已知向量， ．若，则实数的值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】向量， ， ，解得，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查向量的坐标表示、向量垂直的性质及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 ‎ 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎10．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】已知向量，则和的夹角等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎