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- 2021-06-15 发布
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蚌埠市 2018 届高三年级第一次教学质量检查考试
数学(文史类)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 , ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ,则 ( )
A.1 B.2 C. D.
3.离心率为 的双曲线的方程是 ( )
A. B. C. D.
4.若 满足约束条件 则 的最小值为( )
A.-3 B.0 C.-4 D.1
5.函数 的大致图象为( )
A. B. C. D.
6.“直线 不相交”是“直线 为异面直线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知 是抛物线 的焦点, 是 上一点, 是坐标原点, 的延长线
{ }1,2,3A = { }2 2 0B x x x m= − + = {1}=BA B =
{ }1 { }1, 2− { }1,3 { }3,1−
z ( )1 2 5i z i− = z =
3 5
13
2
2 2
19 4
x y− =
2 2
117 4
x y− =
2 2
14 9
y x− =
2 2
117 4
y x− =
,x y
0,
2 0,
0,
x y
x y
y
− ≥
+ − ≤
≥
2 5z x y= −
( )f x
,a b ,a b
F 2: 16C y x= M C O FM
交 轴于点 .若 ,则 点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知函数 ,其中 表示不小于 的最小整数,则关于 的性质
表述正确的是( )
A.定义域为 B.在定义域内为增函数
C.周期函数 D.在定义域内为减函数
9.已知 ,下列程序框图设计的是求 的值,
在“”中应填的执行语句是( )
A. B. C. D.
10.如图,格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积可能
为( )
A. B. C. D.
11.已知 ,设直线 是曲线 的一条切线,则( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
12.已知 ,顺次连接函数 与 的任意三个相邻的交点都构成一
y N 2FN OM= M
4 2 8 2− 4 2± 8 2±
( ) { }( )lgf x x x= − { }x x ( )f x
( ) ( ),0 0,−∞ +∞
( ) 2017 20162018 2017 2 1f x x x x= + + + + ( )0f x
2018n i= − 2017n i= − 2018n i= + 2017n i= +
4
3
π + 2π + 42 3
π + 2 2π +
,k b∈R :l y kx b= + xy e x= +
1k < 1b ≤ 1k < 1b ≥
1k > 1b ≤ 1k > 1b ≥
0ω > siny xω= cosy xω=
个等边三角形,则 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知 , 是两个不同的平面向量,满足: ,则
.
14.已知函数 图象关于原点对称.则实数 的值为 .
15.将 2 本相同的语文书和 2 本相同数学书随机排成一排,则相同科目的书不相邻的概率
为 .
16.在 中,角 的对边分别为 ,且满足条件 ,
,则 的周长为 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.)
17. 已知数列 满足 ,且 .
(1)求证:数列 是等差数列;
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
18. 如图,在多面体 中, 是等边三角形, 是等腰直角三角形,
,平面 平面 , 平面 ,点 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 ,求三棱锥 的体积.
ω =
π 6
2
π 4
3
π
3π
( )2,1a = ( )2,b x= ( ) ( )2a b a b+ ⊥ −
x =
( ) ( )2lg 1 4f x x ax= + + a
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2 1b c a bc+ − = =
4cos cos 1 0B C⋅ − = ABC∆
{ }na 1
1
2a = 1
2
2
n
n
n
aa a+ = +
1
na
1n n nb a a += ⋅ { }nb n nS
ABCDM BCD∆ CMD∆
90CMD∠ = ° CMD ⊥ BCD AB ⊥ BCD O CD
OM ∥ ABD
2AB BC= = M ABD−
19. 某图书公司有一款图书的历史收益率(收益率=利润÷每本收入)的频率分布直方图如
图所示:
(1)试估计平均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值)
(2)根据经验,若每本图书的收入在 20 元的基础上每增加 元,对应的销量 (万份)与
(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下 5 组 与 的对应数据:
据此计算出的回归方程为
①求参数 的估计值;
②若把回归方程 当作 与 的线性关系, 取何值时,此产品获得最大收益,
并求出该最大收益.
20. 已知椭圆 经过点 ,离心率 .
(1)求 的方程;
(2)设直线 经过点 且与 相交于 两点(异于点 ),记直线 的斜率为 ,
直线 的斜率为 ,证明: 为定值.
21. 已知函数
(1)若 ,求函数 的极值;
(2)当 时,若 在区间 上的最小值为-2,求 的取值范围.
x y
x x y
ˆ 10.0y bx= −
b
ˆ 10.0y bx= − y x x
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )0,1P 3
2e =
C
l ( )2, 1Q − C ,A B P PA 1k
PB 2k 1 2k k+
( ) ( )2 2 lnf x ax a x x= − + +
1a = ( )f x
0a > ( )f x [ ]1,e a
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程为 , 的参数方程为 ( 为参
数).
(1)将曲线 与 的方程化为直角坐标系下的普通方程;
(2)若 与 相交于 两点,求 .
23.选修 4-5:不等式选讲
已知 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若函数 与 的图象恒有公共点,求实数 的取值范围.
1C 2sin 4cosρ θ θ= 2C
23 2
23 2
x t
y t
= −
= +
t
1C 2C
1C 2C ,A B AB
( ) ( )1 1f x a x x= − + + −
2a = ( ) 0f x ≥
( ) 2 2 1g x x x a= − − + ( )y f x= a
蚌埠市 2018 届高三年级第一次教学质量检查考试
数学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:ADCAD 6-10:BCCAA 11、12:CB
二、填空题
13. 14. 15. 16.3
三、解答题
17.解:(1)∵ ,∴ ,∴ ,
∴数列 是等差数列.
(2)由(1)知 ,所以 ,
∴ ,
18.解:(1)∵ 是等腰直角三角形,
,点 为 的中点,∴ .
∵平面 平面 ,
平面 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
∵ 平面 ,∴ .
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
1
2
− 2± 1
3
1
2
2
n
n
n
aa a+ = + 1
21
2
n
n n
a
a a+
+=
1
1 1 1
2n na a+
− =
1
na
( )
1
1 1 1 31 2 2n
nna a
+= + − × = 2
3na n
= +
( )( )
4 1 143 4 3 4nb n n n n
= = × − + + + +
1 1 1 1 1 14 4 5 5 6 3 4nS n n
= × − + − + + − + +
1 14 4 4 4
n
n n
= × − = + +
CMD∆
90CMD∠ = ° O CD OM CD⊥
CMD ⊥ BCD
CMD BCD CD= OM ⊂ CMD
OM ⊥ BCD
AB ⊥ BCD OM AB∥
AB ⊂ ABD OM ⊄ ABD
OM ∥ ABD
(2)由(1)知 平面 ,
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
∵ , 是等边三角形,点 为 的中点
∴
∴
19.解:(1)区间中值依次为:0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55
取值的估计概率依次为:0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05
平均收益率为
(2)① ,
将 代入 ,得
②设每本图书的收入是 元,则销量为
则图书总收入为 (万元)
,
当 时,图书公司总收入最大为 360 万元,预计获利为 万元.
20.解:(1)因为椭圆 ,经过点 ,所以 .
又 ,所以 ,解得 .
故而可得椭圆的标准方程为: .
(2)若直线 的斜率不存在,则直线 的方程为 ,
此时直线与椭圆相切,不符合题意.
OM ∥ ABD
M ABD O ABD
2AB BC= = BCD O CD
1 1 3
2 2 4BOD BCDS S∆ ∆= = ⋅ ⋅ 2 3 348 2BC = ⋅ =
M ABD O ABD A OBDV V V− − −= =
1 1 3 323 3 2 3BODS AB∆= ⋅ = ⋅ ⋅ =
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.25 0.35 0.30× + × + × + × 0.45 0.10 0.55 0.05 0.275+ × + × =
25 30 38 45 52 190 385 5x
+ + + += = =
7.5 7.1 6.0 5.6 4.8 31 6.25 5y
+ + + += = =
( )38,6.2 10y bx= − 10.0 6.2 0.1038b
−= =
20 x+ 10 0.1y x= −
( ) ( )( )20 10 0.1f x x x= + −
( ) ( )22200 8 0.1 360 0.1 40f x x x x= + − = − −
40x = 360 0.275 99× =
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )0,1P 1b =
3
2e = 3
2
c
a
= 2a =
2
2 14
x y+ =
AB l 2x =
设直线 的方程为 ,即 ,
联立 ,得 .
设 , ,则
所以 为定值,且定值为-1.
21.解:(1) , ,定义域为 ,
又 .
当 或 时 ;当 时
∴函数 的极大值为
函数 的极小值为 .
(2)函数 的定义域为 ,
且 ,
令 ,得 或 ,
当 ,即 时, 在 上单调递增,
∴ 在 上的最小值是 ,符号题意;
当 时, 在 上的最小值是 ,不合题意;
AB ( )1 2y k x+ = − 2 1y kx k= − −
2
2
2 1
14
y kx k
x y
= − − + =
( ) ( )2 2 21 4 8 2 1 16 16 0k x k k x k k+ − + + + =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2
1 2
1 2
1 1y yk k x x
− −+ = + = ( ) ( )2 1 1 2
1 2
2 2 2 2x kx k x kx k
x x
− − + − −
( )( )1 2 1 2
1 2
2 2 2kx x k x x
x x
− + += = ( )( )1 2
1 2
2 22 k x xk x x
+ +−
( ) ( )
( )
2 2 8 2 12 16 1
k k kk k k
+ ⋅ += − =+ ( )2 2 1 1k k− + = −
1 2k k+
1a = ( ) 2 3 lnf x x x x= − + ( )0,+∞
( ) 12 3f x x x
′ = − + = ( )( )2 2 1 12 3 1 x xx x
x x
− −− + =
1x > 10 2x< < ( ) 0f x′ > 1 12 x< < ( ) 0f x′ <
( )f x 1 5 ln 22 4f = − −
( )f x ( )1 2f = −
( ) ( )2 2 lnf x ax a x x= − + + ( )0,+∞
( ) ( ) 12 2f x ax a x
′ = − + + = ( ) ( )( )22 2 1 2 1 1ax a x x ax
x x
− + + − −=
( ) 0f x′ = 1
2x = 1x a
=
10 1a
< ≤ 1a ≥ ( )f x [ ]1,e
( )f x [ ]1,e ( )1 2f = −
11 ea
< < ( )f x [ ]1,e ( )1 1 2f fa
< = −
当 时, 在 上单调递减,
∴ 在 上的最小值是 ,不合题意
故 的取值范围为 .
22.解:(1)曲线 的普通方程为 ,
曲线 的普通方程为
(2)将 的参数方程代入 的方程 ,
得 ,得:
解得 ,
∴ .
23.解:(1)当 时, ,
由 得, ;
(2) ,
该二次函数在 处取得最小值 ,
因为函数 ,在 处取得最大值
故要使函数 与 的图象恒有公共点,
只需要 ,即 .
1 ea
≥ ( )f x [ ]1,e
( )f x [ ]1,e ( ) ( )1 2f e f< = −
a [ )1,+∞
1C 2 4y x=
2C 6 0x y+ − =
2C 1C 2 4y x=
2
2 23 4 32 2t t
+ = −
2 10 2 6 0t t+ − =
1 2 10 2t t+ = − 1 2 6t t⋅ = −
( )2
1 2 1 2 1 24 4 14AB t t t t t t= − = + − =
2a = ( )
2 2 , 1
0, 1 1
2 2 , 1
x x
f x x
x x
+ < −
= − ≤ ≤
− >
( ) 0f x ≥ 1 1x− ≤ ≤
( ) ( )22 2 1 1g x x x a x a= − − + = − −
1x = a−
( )
2 , 1,
2, 1 1,
2 , 1,
a x x
f x a x
a x x
+ < −
= − − ≤ ≤
− >
1x = 2a −
( )t g x= ( )y f x=
2a a− ≥ − 1a ≥