2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 9页

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018~2019学年度第二学期高二理科数学期中联考试卷 考试时间120分钟 命题人 ‎ 一．单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.在下列命题中，不是公理的是 (　 　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 ‎2．一条直线和两异面直线b，c都相交，则它们可以确定 （　 　）‎ A．一个平面 B. 两个平面 C. 三个平面 D.四个平面 ‎3下列命题中，错误的是(　　)‎ A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 ‎4．下列命题正确的是 (　 　)‎ A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎5、一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为( )‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AD的中点，O为侧面AA1B1B的中心P为棱CC1上任意一点，则异面直线OP与BM所成的角等于 （ ）‎ ‎ A．90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎7.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为 ‎（ 　 ）‎ A． B. C. D.‎ ‎8．一条线段长为5，其侧视图长为5，俯视图长为，则其正视图长为(　 　)‎ A．5　　 . C．6 D. ‎9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 ( )‎ ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎10.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 ‎ (　　)‎ A.π:6 B.π:2‎ C．π:2 D．5π:12‎ ‎11．在直线坐标系中，设，沿轴把直角坐标平面折成的二面角后，AB的长为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为，若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎ 二．填空题（每题5分共20分）‎ ‎13.如图 是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．‎ ‎14.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，‎ 腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________‎ ‎15．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ．‎ ‎16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则|OP|的最小值时，直线OP与对角面A1ACC1所成的线面角正切值为 ．‎ 三.解答题(第17题10分，其它个题每题12分共70分）‎ ‎17.（本题10分）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：①D，B，F，E四点共面；②若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；‎ ‎18.（本题12分）如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；‎ ‎19．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．‎ ‎(1)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；(2)当BC1⊥B1P时，求二面角C－B1P－C1的余弦值．‎ ‎20．（本小题12分）如图，已知四棱锥，底面是等腰梯形，‎ 且∥，是中点，平面，， 是中点． （1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（本小题12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图2.‎ ‎(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；‎ ‎(3)求四面体NEFD体积的最大值．‎ ‎21、（本小题12分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，‎ ‎∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 ‎（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (14分)‎ ‎ ‎ ‎2018-2019学年高二数学下学期期中联考试卷参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,满分60分，‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B C B A B D B B D B ‎8.解析：选D　把这条线段想象成长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线AC1，AC1的侧视图为DC1＝5，AC1的俯视图为AC＝，AC1的正视图为AD1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a2＋c2＝25，a2＋b2＝34，又a2＋b2＋c2＝50，则b2＝25，c2＝16，AD1＝＝. 12解析：选B　作出两球面相交的一个截面图，如图所示，AB为相交圆的直径，由条件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝，所以△AO1O2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC＝＝，‎ 所以所求圆的面积为π·2＝，故选B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13. 平行四边形 14. 15、1800 16、1/3‎ ‎13.解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．答案：14 恢复后的原图形为一直角梯形16.解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则O(1,1,0)．‎ 设P(x,2,2)(0≤x≤2)．则|OP|＝＝.‎ 所以当x＝1，即P为C1D1中点时，|OP|取最小值.再求线面角。‎ 三. 解答题（本大题共6小题，满分75分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （10分）17①如图所示．‎ 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD．所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．‎ ‎②在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．‎ ‎18.（12分）思路分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.‎ 解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；解法二：通过线面垂直来证明线线垂直；‎ 方法三（向量法）‎ ‎（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，A B C A1‎ B1‎ C1‎ E x y z ∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； ‎ ‎19.（12分）解析　(1）不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AP＝a，则A，C，B1，P的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(，0,2)，(0，－1，a)．＝(0,2,0)，＝(－，－1，a－2)，·＝－2≠0，∴B1P不垂直AC.∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．‎ ‎(2)＝(－，1,2)，由BC1⊥B1P，得·＝0.‎ 即2＋2(a－2)＝0，∴a＝1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P.‎ ‎∴＝(－，1,2)是平面CB1P的法向量．‎ 设平面C1B1P的法向量为n＝(1，y，z)，由则n＝(1，，－2)．设二面角C－B1P－C1的大小为α，则cosα＝＝.∴二面角C－B1P－C1的余弦值的大小为.‎ ‎20.（12分） (1) 证明：由题意， ∥， = ∴四边形为平行四边形，所以. 又∵， ∴∥‎ 又平面，平面 ∴∥平面 ………4分 同理，∥平面，又 ‎∴平面∥平面. …………6分 ‎（2）设求点到平面的距离为.因为V三棱锥A-PCD= V三棱锥P-ACD 即 . ‎ 或用空间向量求得分 12分 ‎21.（12分）[解析]　(1)证明：四边形MNEF和四边形EFDC都是矩形，‎ ‎∴MN∥EF，EF∥CD，MN＝EF＝CD，∴MN綊CD．‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形，∴NC∥MD．‎ ‎∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，∴NC∥平面MFD．4分 ‎(2)证明：连接ED，‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NF⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE⊥平面MNFF，∴NE⊥平面ECDF．∵FC⊂平面ECDF，∴FC⊥NE．∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED．又∵ED∩NE＝E，ED，NE⊂平面NED，∴FC⊥平面NED．‎ ‎∵ND⊂平面NED，∴ND⊥FC． 8分 ‎(3)设NE＝x.则FD＝EC－4－x，其中0