江西省南昌市八一中学2020届高三数学（理）第三次模拟试题（Word版附答案） 11页

2020 届南昌市八一中学高三理科数学第三次模拟考试卷 一、选择题（共 12 小题） 1.已知集合 A ＝ 2 3x x   ，集合 B 满足 A ∩ B ＝ A，则 B 可能为( ) A.  1 3x x   B.  2 3x x   C.  3 2x x   D.  3 3x x   2.已知复数 z 满足   iiz 4321  （i 为虚数单位），则在复平面内复数 z 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知角  0 2π   终边上一点的坐标为 7π 7πsin ,cos6 6      ，则  （ ） A． 5π 6 B． 7π 6 C． 4π 3 D． 5π 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 图 1 为某省 2019 年 1 至 4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1 至 4 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比” 指与去年同月相比）（ ） A．2019 年 1 至 4 月的快递业务收入在 3 月最高，2 月最低，差值超过 20000 万元 B．2019 年 1 至 4 月的快递业务收入同比增长率不低于 30%，在 3 月 最高 C．从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率逐月增长 D．从两图来看 2019 年 1 至 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增 长率不完全一致 6.若 a，b 为正实数，直线 4x+(2a-3)y+2=0 与直线 bx+2y-1=0 互相垂直，则 ab 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．2019 年 11 月 26 日，联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为“国际数学日” （昵称：πday），2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”。圆周率π是圆    ”的的两根”是“是方程则“为等比数列若数列 2046,,.4 3 2 42  axxaaan 的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π有许多奇妙性质，如 莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等。小红设计了如图 所示的程序框图，要求输出的 T 值与π非常近似，则①、②中分别填入的可以是 A．S＝（﹣1）i﹣1 ，i＝i+2 B．S＝（﹣1）i﹣1 ，i＝i+1 C．S＝S+（﹣1）i﹣1 ，i＝i+2 D．S＝S+（﹣1）i﹣1 ，i＝i+1 8．已知函数 y＝sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数 y ＝loga（x﹣b）的图象可能是 （ ） A． B． C． D． 9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史， 且 长盛不衰，传遍全球,为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每 壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量 x 克与食客的满意率 y 的关系，通过试验调查研究，发现可选 择函数模型 bx cy ae  来拟合 y 与 x 的关系，根据以下数据： 可求得 y 关于 x 的回归方程为 A. 0.043 4.291xy e  B. 0.043 4.291xy e  C. 0.043 4.2911 100 xy e  D. 0.043 4.2911 100 xy e  10．已知抛物线C ：  2 2 0y px p  的焦点为 F ，点  0 0,2 2 2 pM x x    是抛物线C 上一点，以 点 M 为圆心的圆与直线 2 px  交于 E ，G 两点，若 1sin 3MFG  ，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x B. 2 2y x C. 2 4y x D. 2 8y x 11．如图所示，三棱锥 S 一 ABC 中，△ABC 与△SBC 都是边长为 1 的正三角形， 二面角 A﹣BC﹣S 的大小为 ，若 S，A，B，C 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为 A． π B． π C． π D．3π 12．若函数 f（x）＝2x+sinx•cosx+acosx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A．[﹣1，1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，3] D．[﹣3，﹣1] 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 1a  ， 2b  ，且   2a b a     ，则向量 a 与 b 的夹角为______． 的系数是的展开式中二项式 2 52.14       xxx 15．在棱长为 3 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M，N 分别是棱 B1C1，C1D1 的中点，过 A， M，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 ADD1A1 作投影，则投影图形的面积 为 ． 16. 已知函数    2 1 2 2 ,0 1 2 , 1 0 x x f x m x m x x x           ，若在区间 1,1 上方程   1f x  只有一个 解，则实数 m 的取值范围为______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和，S3＝6，a3 是 a1 与 a9 的等比 中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列     Nnn ab nn n 14 41 2 ，数列{bn}的前 2n 项和为 nP2 ，若 2020 11 nP ， 求正整数 n 的最小值。 18.如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长均为 2， 1 π 3B BA  ． （Ⅰ）证明： 1 1B C AC ； （Ⅱ）若平面 1 1ABB A  平面 ABC ，M 为 1 1AC 的中点，求 1B C 与平面 1AB M 所成角的正弦值． 19. 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越 贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的 100 名高中 生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于 3 项的称为“比较了解”，少于 三项的称为“不太了解”。他们的调查结果如下： 0 项 1 项 2 项 3 项 4 项 5 项 5 项以上 理科生（人） 1 10 17 14 14 10 4 文科生（人） 0 8 10 6 3 2 1 （1）完成如下 2 2 列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有 关？ 比较了解 不太了解 合计 理科生 文科生 合计 （2）在抽取的 100 名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取 10 人的样本. （i）求抽取的文科生和理科生的人数； （ii）从 10 人的样本中随机抽取 3 人，用 X 表示这 3 人中文科生的人数，求 X 的分布列和数 学期望. 参考数据：  2 0P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    . 20. 已知椭圆  01: 2 2 2 2  bab y a xC 与抛物线 xyD 4: 2  有共同的焦点 F，且两曲线的 公共点到 F 的距离是它到直线 4x （点 F 在此直线右侧）的距离的一半。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点，直线 l 过点 F 且与椭圆交于 A，B 两点，以 OA，OB 为邻边作平行 四边形 OAMB．是否存在直线 l，使点 M 落在椭圆 C 或抛物线 D 上？若存在，求出点 M 坐 标；若不存在，请说明理由． 21．（12 分）已知函数     xxxaxxgxxxf cos2,1ln)1()( 2  （1）当 0x 时，总有   mxxxf  2 2 ，求 m 的最小值． （2）对于[0，1]中任意 x 恒有    xgxf  ，求 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 02 22  yxx 。以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为  R  3 ． （1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出直线 l 与曲线 C 的交点 M，N 的极坐标； （2）设 P 是椭圆 14 2 2  yx 上的动点，求△PMN 面积的最大值． 23. （10 分）设函数   .0,  abbxaxxf （1）当 a＝1，b＝1 时，求不等式   3xf 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求 的最小值． 南昌市八一中学 2020 届高三数学三模试卷（理科）参考答案 一、选择题（共 12 小题） DDCAC BDCDC AA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 2π 3 14. -80 15． 16. 1| 1 12m m m        或 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：（1）公差 d 不为零的等差数列{an}，由 a3 是 a1 与 a9 的等比中项，可得 ， 即 a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为 a1＝d， 又 S3＝3a1+3d＝6，可得 a1＝d＝1， 所以数列{an}是以 1 为首项和公差的等差数列，故综上 ；(5 分） （2）由（1）可知 ，(7 分） 所以 ＝ ，(10 分） 所以 ，故 n 的最小值为 505．(12 分） 18. 证明：（Ⅰ）取 AB 中点 D ，连接 1B D ，CD ， 1BC ． ∵三棱柱的所有棱长均为 2， 1 π 3B BA  ， ∴ ABC△ 和 1ABB△ 是边长为 2 的等边三角形，且 1 1B C BC ． ∴ 1B D AB ，CD AB ． ∵ 1B D ，CD  平面 1B CD ， 1B D CD D  ，∴ AB  平面 1B CD ． ∵ 1B C  平面 1B CD ，∴ 1AB B C ． ∵ AB ， 1BC  平面 1ABC ， 1AB BC B  ，∴ 1B C  平面 1ABC ， ∴ 1 1B C AC ．(6 分） 另 证 ： 1 1 1B C AC AC   平 面 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AC AC A B C A B AEAC A B A B AEC A B C E           菱形对角线 平面 （Ⅱ）∵平面 1 1ABB A  平面 ABC ，且交线为 AB ， 由（Ⅰ）知 1B D AB ，∴ 1B D  平面 ABC ． 则 DB ， 1DB ， DC 两两垂直，则以 D 为原点， DB 为 x 轴， DC 为 y 轴， 1DB 为 z 轴， 建立空间直角坐标系． 则  0,0,0D ，  1,0,0A  ，  1 0,0, 3B ，  0, 3,0C ，  1 1, 3, 3C  ，  1 2,0, 3A  ∵ M 为 1 1AC 的中点，∴ 3 3, , 32 2M      ， ∴  1 0, 3, 3B C   uuur ，  1 1,0, 3AB  uuur ， 1 3, , 32 2AM       uuur ， 设平面 1AB M 的法向量为  , ,n x y z ， 则 1 3 0 1 3 3 02 2 AB n x z AM n x y z            uuur r uuur r ，取 1z  ，得  3, 3,1n    ． 设 1B C 与平面 1AB M 所成的角为 ，则 1 1 4 3 2 26sin 136 13 BC n BC n       uuur r uuur r ． ∴ 1B C 与平面 1AB M 所成角的正弦为 2 26 13 ．(12 分） 19. 解：（1）依题意填写列联表如下： 比较了解 不太了解 合计 理科生 42 28 70 文科生 12 18 30 合计 54 46 100 计算        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      2100(42 18 28 12) 3.382 6.63530 70 54 46        ， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.(5 分） （2）（i）抽取的文科生人数是 3010 3100   （人），理科生人数是 7010 7100   （人）.(7 分） （ii） X 的可能取值为 0，1，2，3， 则 0 3 3 7 3 10 7( 0) 24 C CP X C    ， 1 2 3 7 3 10 21( 1) 40 C CP CX    ， 2 1 3 7 3 10 7( 2) 40 C CP X C    ， 3 0 3 7 3 10 1( 3) 120 C CP CX    .(10 分） 其分布列为 X 0 1 2 3  P X 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 7 21 7 1 36 9( ) 0 1 2 324 40 40 120 40 10E X           .(12 分） 20.解：（1）由题意知 F（﹣1，0），因而 c＝1，即 a2＝b2+1， 又两曲线在第二象限内的交点 Q（xQ，yQ）到 F 的距离是它到直线 x＝﹣4 的距离的一半，即 4+xQ＝2（﹣xQ+1）， 得 ，则 ，代入到椭圆方程，得 ． 由 ，解得 a2＝4，b2＝3， ∴所求椭圆的方程为 ． (5 分） （2）当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k（x+1）， 由 ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0， 设 M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ， ，(7 分） 由于 OABM 为平行四边形，得 ， 故 ， 若点 M 在椭圆 C 上，则 ，代入得 ，解得 k 无解； 若点 M 在抛物线 D 上，则 ，代入得 ，解得 k 无解．(10 分） 当直线斜率不存在时，易知存在点 M（﹣2，0）在椭圆 C 上． 故不存在直线 l，使点 M 落在抛物线 D 上，存在直线 l，使点 M（﹣2，0）落在椭圆 C 上．(12 分） 21． 解：（1）令 ， 则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1， ， ∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1， 若 m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增， ∴φ（x）≥φ（0）＝0， 即 m≥1 满足条件， 若 m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0 所以存在 x0 使得φ（x0）＜0 与已知条件矛盾，所以 m≥1，m 的最小值为 1．(4 分） （2）由（1）知 ，如果 ，则必有 f（x）≤g（x）成立． 令 ，则 h（x）＝（a﹣1）x﹣xcosx＝x（a﹣1﹣cosx）， h（x）＝x（a﹣1﹣cosx）≥0，则 a﹣1﹣cosx≥0，a≥1+cosx，a≥2． 若 h（x）≥0，必有 f（x）≤g（x）恒成立，故当 a≥2 时，f（x）≤g（x）恒成立，(8 分） 下面证明 a＜2 时，f（x）≤g（x）不恒成立． 令 f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1）， 当 x＞0 时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增， 故 f1（x）≥f1（0）＝0，即 f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故 x≤f（x）． g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝ ＝ ， 令 ， ＞0， 所以 t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中 0＜m＜1）， 当 x∈（0，m）时，t（x）＜0， 则 g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故 f（x）≤g（x）不恒成立． 综上所述：实数 a 取值范围是[2，+∞）．(12 分） [选做题](10 分) 22.解：（1）曲线 C 的方程为 x2﹣2x+y2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cosθ． 联立 ，得 M（0，0）， ．(5 分） （2）易知|MN|＝1，直线 ． 设点 P（2cosα，sinα），则点 P 到直线 l 的距离 ． ∴ （其中 ）． ∴△PMN 面积的最大值为 ．(10 分） 23.解：（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3， 当 x≥1 时，可得 x﹣1+x+1＜3，解得 1≤x ； 当﹣1＜x＜1 时，可得﹣x+1+x+1＜3，得 2＜3 成立； 当 x≤﹣1 时，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得 x≤﹣1． 综上所述，原不等式的解集为{x| x }；(5 分） （2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0 时等号成立． ∴f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|＝2． 又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2， ∴ ． 当且仅当 时，等号成立， ∴ 的最小值为 ．(10 分）