2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练28+等差数列及其前N项和 8页

课时分层训练(二十八)　‎ 等差数列及其前n项和 ‎ (对应学生用书第228页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为 ‎(　　)‎ A．37　　　　 B．36‎ C．20 D．19‎ A　[am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]‎ ‎2．(2018·兰州模拟)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝(　　)‎ A．4 B．－4‎ C．5 D．－5‎ C　[法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C．‎ 法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C．]‎ ‎3．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S7 B．S6‎ C．S5 D．S4‎ C　[∵∴ ‎∴Sn的最大值为S5.]‎ ‎4．(2018·合肥模拟)已知是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(　　) ‎ ‎【导学号：00090165】‎ A．－ B．－ C． D． A　[设的公差为d，‎ ‎∵a1＝1，a4＝4，‎ ‎∴3d＝－＝－，即d＝－，‎ 则＝＋9d＝－，故a10＝－，故选A．]‎ ‎5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(　　)‎ A．9日 B．8日 ‎ C．16日　　　　　 D．12日 A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2‎ ‎＋96.5n；驽马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A．]‎ 二、填空题 ‎6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________.‎ ‎22　[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.]‎ ‎7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于________．‎ 　[法一：∵a5＝，b5＝，‎ ‎∴＝＝ ‎＝＝＝.‎ 法二：∵等差数列前n项之和的形式为n(an＋b)．‎ ‎∴由＝＝，‎ 可令Sn＝7n2，Tn＝n2＋3n.‎ 可求得：an＝14n－7，bn＝2n＋2.‎ ‎∴＝＝＝.]‎ ‎8．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎ 【导学号：00090166】‎ ‎20　[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ 法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.‎ 由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.‎ 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k. 3分 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. 5分 ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 8分 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝. 12分 ‎10．(2018·华中师大附中模拟)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．‎ ‎(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，‎ ‎∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，‎ ‎∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，‎ ‎∴＝2＋2(n－1)＝2n.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，‎ 则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.‎ 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7.‎ ‎∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.‎ n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn ‎＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.‎ ‎∴Tn＝ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·衡阳模拟)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为(　　)‎ A．3 B．3或4‎ C．4或5 D．5‎ B　[由题意知 由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，‎ ‎∴＝＝－3＋n－1＝n－4，‎ 由n－4≥0，得n≥4，‎ ‎∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.]‎ ‎2．(2018·湛江模拟)若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，且＜－1，那么使Sn取最小正值的项数n＝(　　)‎ A．15 B．17‎ C．19 D．21‎ C　[由于Sn有最大值，所以d＜0，因为＜－1，所以＜0，所以a10‎ ‎＞0＞a11，且a10＋a11＜0.‎ 所以S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＜0，S19＝19a10＞0，‎ 又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12＞…，所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21＞…，‎ 又S19－S1＝a2＋a3＋…＋a19＝9(a10＋a11)＜0，所以S19为最小正值，故选C．]‎ ‎3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎ 【导学号：00090167】‎ ‎[解]　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 2分 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. 5分 ‎(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，‎ 可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1. 7分 令2a2＝a1＋a3，‎ 解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3； 9分 ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列. 12分