高中数学必修4同步练习：模块综合检测(A) 9页

必修四 模块综合检测(A)‎ 一、选择题 ‎1、已知向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2、已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于(　　)‎ A. B．－‎2 C．－7 D．3‎ ‎3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)‎ A．－16 B．－‎8 C．8 D．16‎ ‎4、已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于(　　)‎ A. B．－ C.或－ D．－ ‎5、函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　)‎ A．y＝－4sin B．y＝4sin C．y＝－4sin D．y＝4sin ‎6、若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎7、为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎8、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎9、若2α＋β＝π，则y＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是(　　)‎ A．7,5 B．7，－ C．5，－ D．7，－5‎ ‎10、已知△ABC中，tan A＝－，则cos A等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎11、将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)‎ A．4 B．‎6 C．8 D．12‎ ‎12、已知向量a＝(sin(α＋)，1)，b＝(4,4cos α－)，若a⊥b，则sin(α＋)等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 二、填空题 ‎13、sin 2 010°＝________.‎ ‎14、已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.‎ ‎15、已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．‎ ‎16、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，－)，则函数f(x)＝________.‎ 三、解答题 ‎17、已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α.‎ ‎18、已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求2cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的最大值．‎ ‎19、设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．‎ ‎(1)若a与b－‎2c垂直，求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求|b＋c|的最大值；‎ ‎(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.‎ ‎20、已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，)．‎ ‎(1)求sin θ和cos θ的值；‎ ‎(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．‎ ‎21、已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，]上的最小值．‎ ‎22、已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f(－π)的值；‎ ‎(2)当x∈[0，)时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[‎ 建立如图所示的直角坐标系．‎ ‎∵＝(2,2)，＝(2,0)，‎ ‎＝(cos α，sin α)，‎ ‎∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．‎ 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.‎ ‎∵||＝2，∴||＝||＝||，‎ 知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.‎ ‎∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.]‎ ‎2、D　[∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)．‎ ‎∴b＝(a＋b)－a＝(1，k)－(2,1)＝(－1，k－1)．‎ ‎∵a⊥b.∴a·b＝－2＋k－1＝0‎ ‎∴k＝3.]‎ ‎3、D　[·＝(＋)·＝2＋·＝2＋0＝16.]‎ ‎4、B　[∵sin(π－α)＝－2sin(＋α)‎ ‎∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.‎ ‎∴sin αcos α＝＝＝＝－.]‎ ‎5、A　[由图可知，A＝4，且 ，解得.‎ ‎∴y＝4sin(x－)＝－4sin(x＋)．]‎ ‎6、B　[由cos 30°＝得 ＝＝ ‎∴a·b＝，故选B.]‎ ‎7、C　[y＝cos(x＋)＝sin(x＋＋)＝sin(x＋)，‎ ‎∴只需将函数y＝sin x的图象向左平移个长度单位，即可得函数y＝cos(x＋)的图象．]‎ ‎8、A　[由于＝2，‎ 得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，‎ 结合＝＋λ，知λ＝.]‎ ‎9、D　[∵β＝π－2α，∴y＝cos(π－2α)－6sin α ‎＝－cos 2α－6sin α＝2sin2α－1－6sin α ‎＝2sin2α－6sin α－1＝22－ 当sin α＝1时，ymin＝－5；当sin α＝－1时，ymax＝7.]‎ ‎10、D　[∵cos‎2A＋sin‎2A＝1，且＝－，‎ ‎∴cos‎2A＋(－cos A)2＝1且cos A<0，‎ 解得cos A＝－.]‎ ‎11、B　[将f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，则为函数f(x)的周期的整数倍，不妨设＝k·(k∈Z)，得ω＝4k，即ω为4的倍数，故选项B不可能．]‎ ‎12、B　[a·b＝4sin(α＋)＋4cos α－＝2sin α＋6cos α－＝4sin(α＋)－＝0，‎ ‎∴sin(α＋)＝.‎ ‎∴sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－，故选B.]‎ 二、填空题 ‎13、－ 解析　sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.‎ ‎14、1‎ 解析　∵a∥b，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0.‎ ‎∴cos2θ＝，‎ ‎∵θ为锐角，∴cos θ＝，‎ ‎∴θ＝，∴tan θ＝1.‎ ‎15、 解析　＝(2,2)，＝(－1,3)．‎ ‎∴在上的投影||cos〈，〉＝＝＝＝.‎ ‎16、sin(＋)‎ 解析　据已知两个相邻最高及最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin(＋φ)，又函数图象过点(2，－)，故f(x)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin(＋)．‎ 三、解答题 ‎17、解　(1)∵|a|＝1，|b|＝1，‎ ‎|a－b|2＝|a|2－‎2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1＋1－2cos(α－β)，‎ ‎|a－b|2＝()2＝，‎ ‎∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝.‎ ‎(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π.‎ 由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，‎ 由sin β＝－得cos β＝.‎ ‎∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×(－)＝.‎ ‎ ‎ ‎18、解　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，‎ ‎∴tan x＝－，‎ ‎2cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝(a＋b)·b＝sin(2x＋)．‎ ‎∵－≤x≤0，∴－≤2x＋≤，‎ ‎∴－1≤sin(2x＋)≤，‎ ‎∴－≤f(x)≤，‎ ‎∴f(x)max＝.‎ ‎19、(1)解　因为a与b－‎2c垂直，‎ 所以a·(b－‎2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，‎ 因此tan(α＋β)＝2.‎ ‎(2)解　由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 ‎|b＋c|＝＝≤4.‎ 又当β＝－时，等号成立，‎ 所以|b＋c|的最大值为4.‎ ‎(3)证明　由tan αtan β＝16得＝，所以a∥b.‎ ‎20、解　(1)∵a·b＝0，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，‎ 即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，‎ ‎∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.‎ 又θ∈(0，)，∴sin θ＝，cos θ＝.‎ ‎(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，‎ ‎∴cos φ＝sin φ.‎ ‎∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.‎ 又∵0<φ<，∴cos φ＝.‎ ‎21、解　(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.‎ 所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋.‎ 由于ω>0，依题意得＝π，所以ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋，‎ 所以g(x)＝f(2x)＝sin＋.‎ 当0≤x≤时，≤4x＋≤，‎ 所以≤sin≤1.‎ 因此1≤g(x)≤.‎ 故g(x)在区间上的最小值为1.‎ ‎22、解　(1)f(x)＝＝＝ ‎＝＝2cos 2x，‎ ‎∴f(－)＝2cos(－)＝2cos ＝.‎ ‎(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)．‎ ‎∵x∈[0，)，∴2x＋∈[，)．‎ ‎∴当x＝时，g(x)max＝，当x＝0时，g(x)min＝1.‎